一類(lèi)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

王　江　林慧敏

(湖北省團(tuán)風(fēng)中學(xué)，438800)

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一類(lèi)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

王江林慧敏

(湖北省團(tuán)風(fēng)中學(xué)，438800)

最近,在教學(xué)中發(fā)現(xiàn),形如y=a|x-m|+b(a>0,a≠1)的指數(shù)型函數(shù),在近幾年的各地高考題、模擬題中屢見(jiàn)不鮮.考查形式有判斷函數(shù)圖象、求最值、求參數(shù)范圍、比較大小、解不等式等等. 解決這類(lèi)指數(shù)型函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵是利用函數(shù)圖象的性質(zhì).

一、一個(gè)重要結(jié)論

結(jié)論函數(shù)f(x)=a|x-m|+b(a>0,a≠1)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=m對(duì)稱(chēng).

證明設(shè)P(x0,y0)是函數(shù)f(x)=a|x-m|+b(a>0,a≠1)圖象上的任意一點(diǎn),則

f(x0)=a|x0-m|+b=y0.

點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)x=m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q(2m-x0,y0).

∵f(2m-x0)=a|2m-x0-m|+b

=a|x0-m|+b=f(x0)=y0,

∴點(diǎn)Q(2m-x0,y0)也在函數(shù)f(x)=a|x-m|+b(a>0,a≠1)的圖象上.即函數(shù)f(x)=a|x-m|+b(a>0,a≠1)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=m對(duì)稱(chēng).

同時(shí),我們也可以直接作出f(x)=a|x-m|+b(a>0,a≠1)的圖象,觀察其圖象知,f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=m對(duì)稱(chēng),并且有：

當(dāng)a>1時(shí),如圖1，f(x)在(-∞,m)上單調(diào)遞減,在(m,+∞)上單調(diào)遞增,且f(x)的最小值為f(m)=1+b,值域?yàn)閇1+b,+∞);

當(dāng)0

二、應(yīng)用舉例

例1(2012年上海高考題)已知函數(shù)f(x)=e|x-a|(a為常數(shù)),若f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),則a的取值范圍是______.

解易知函數(shù)f(x)=e|x-a|的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng).

令t=|x-a|,則t=|x-a|在[a,+∞)上單調(diào)遞增,又y=et為單調(diào)增函數(shù),所以若函數(shù)f(x)=e|x-a|在[1,+∞)上是增函數(shù),則有[1,+∞)?[a,+∞),所以a≤1,即a的取值范圍為(-∞,1].

評(píng)注這里利用了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(“同增異減”)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而確定a的取值范圍.

例2(2015年福建高考題)若函數(shù)f(x)=2|x-a|(a∈R)滿(mǎn)足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)m的最小值等于______.

解∵f(x)=2|x-a|(a∈R),∴f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng).

又由f(1+x)=f(1-x)得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng),∴a=1，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得f(x)在[1,+∞)上遞增,

∴[m,+∞)?[1,+∞),故m≥1,

∴實(shí)數(shù)m的最小值等于1.

評(píng)注本題還是抓住函數(shù)f(x)=a|x-m|+b(a>0,a≠1)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=m對(duì)稱(chēng)求解.可以看出,這道高考題實(shí)則是2012年上海高考題的同類(lèi)變式題.

例3(2015年天津高考題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2|x-m|-1(m為實(shí)數(shù))是偶函數(shù),記a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關(guān)系為()

(A)a

(C)a

解∵f(x)=2|x-m|-1為偶函數(shù),而它的圖象又關(guān)于直線(xiàn)x=m對(duì)稱(chēng)，

∴m=0.

∴f(x)=2|x|-1,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

又a=f(log0.53)=f(|log0.53|)=f(log23),b=f(log25),c=f(0)，

∴b=f(log25)>a=f(log23)>c=f(2m)=f(0),即b>a>c,故選B.

評(píng)注本題先直接利用函數(shù)的圖象特征,求出m的值為0,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.

(1)作出圖象;

(2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間;

(3)由圖象指出當(dāng)x取什么值時(shí)函數(shù)有最值.

解(1)方法1由函數(shù)解析式，可得

其圖象由兩部分組成,如圖3所示:

另一部分是:y=3x(x<0)

(2)由圖象知函數(shù)在(-∞,-1]上是增函數(shù),在[-1,+∞)上是減函數(shù).

評(píng)注本題考查了形如f(x)=a|x-m|+b(a>0,a≠1)這類(lèi)指數(shù)型函數(shù)的圖象及性質(zhì),通常解法是利用絕對(duì)值意義,分段討論轉(zhuǎn)化為指數(shù)型的分段函數(shù),再通過(guò)函數(shù)圖象變換求解；而直接利用其函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=m對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求解,顯得快速簡(jiǎn)單,應(yīng)當(dāng)熟練掌握這類(lèi)函數(shù)的圖象性質(zhì).

綜上,解答形如f(x)=a|x-m|+b(a>0,a≠1)類(lèi)函數(shù)題時(shí),只要充分抓住其圖象關(guān)于直線(xiàn)x=m對(duì)稱(chēng)即可. 一個(gè)題型出現(xiàn)一次,也許僅僅是一個(gè)題型,但多次出現(xiàn)就可能是一個(gè)性質(zhì)、一個(gè)規(guī)律、一個(gè)高頻考點(diǎn),學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要做一個(gè)細(xì)心的“有心人”,要善于觀察發(fā)現(xiàn)、歸納總結(jié)和思考領(lǐng)悟.

三、鞏固練習(xí)

1.已知函數(shù)f(x)=2|2x-m|+1(m為常數(shù)),若f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù),則m的取值范圍是______.

3.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且f(x)=f(x-4).又

(A)(-∞,2](B)[2,+∞)

(C)[-2,+∞) (D)(-∞,-2]

參考答案

4.B；

f(0)+a=a-1<0,f(2)+a=a≥0,

因此,存在唯一t∈(0,2],使得