抽象函數(shù)對稱問題的求解與拓展

侯有岐　白麗萍

(陜西省漢中市405學(xué)校，723312)

?

抽象函數(shù)對稱問題的求解與拓展

侯有岐白麗萍

(陜西省漢中市405學(xué)校，723312)

一、引例

2016年全國高考數(shù)學(xué)文理科試卷中有這樣兩道題:

(A)0(B)m(C)2m(D)4m

(A)0(B)m(C)2m(D)4m

這兩道題貌似接近,實(shí)則相去甚遠(yuǎn),它們代表了本質(zhì)上完全不同的兩類函數(shù)圖象的對稱問題.

事實(shí)上，根據(jù)函數(shù)圖象的概念及對稱圖形的定義，不難證明以下結(jié)論：

推論1若函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镽,且滿足條件f(a+x)=f(a-x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

推論2若函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镽,且滿足條件f(x)=f(2a-x)),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

可以看出，函數(shù)f(x)滿足的條件中x的系數(shù)一個(gè)為1,另一個(gè)為-1時(shí),相應(yīng)解析式相加除以2,可得y=f(x)圖象的對稱軸方程.

推論3若函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镽,且滿足條件f(a+x)=f(a-x), 又若方程f(x)=0有n個(gè)根,則此n個(gè)根的和為na.

推論2若函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镽,且滿足條件f(a+x)+f(a-x)=0(a為常數(shù)),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱.

推論1函數(shù)y=f(x-a)與函數(shù)y=f(a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

推論2函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=f(a-x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱.

在理解并記憶以上定理及推論時(shí),極易混淆,因而造成很多學(xué)生對這兩道高考題解答時(shí)出錯(cuò).

二、試題解答

根據(jù)上述結(jié)論，不難得到上述兩道試題的具體解答過程如下：

題1因?yàn)閥=f(x),y=|x2-2x-3| 都關(guān)于x=1對稱,所以它們的交點(diǎn)也關(guān)于x=1 對稱.

因此選B.

故選B.

三、本質(zhì)挖掘

常用結(jié)論中四個(gè)定理的本質(zhì)完全不同.定理1是探討一個(gè)函數(shù)的圖象本身關(guān)于某條直線的對稱的問題,即自身軸對稱問題；定理2是探討一個(gè)函數(shù)的圖象本身關(guān)于某點(diǎn)的對稱的問題,即自身中心對稱問題；定理3是探討兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于某條直線的對稱的問題,即相互軸對稱問題；定理4是探討兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于某點(diǎn)的對稱的問題,即相互中心對稱問題.解題時(shí)要注意它們的區(qū)別.

進(jìn)一步拓展問題，不難證明上述四個(gè)定理的更一般形式：

讀者不妨自行給出相應(yīng)證明.