Knight不確定下基于無(wú)窮純跳Levy過(guò)程的一般風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的動(dòng)態(tài)最小定價(jià)

劉悅瑩+王向榮+黃虹

摘 要 研究了具有Knight不確定性的金融市場(chǎng)下的一般風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的動(dòng)態(tài)最小定價(jià)，利用倒向隨機(jī)微分方程（BSDE）理論以及時(shí)間-風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)方法，推導(dǎo)出了基于無(wú)窮純跳Levy過(guò)程的一般風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在實(shí)際概率測(cè)度下的動(dòng)態(tài)定價(jià)公式及其在Knight不確定性控制集合上的動(dòng)態(tài)最小定價(jià).最后給出了一個(gè)歐式看漲期權(quán)動(dòng)態(tài)最小定價(jià)的例子，并導(dǎo)出期權(quán)價(jià)格的顯示表達(dá)式.在Knight不確定環(huán)境下， 引入Levy過(guò)程來(lái)描述股票價(jià)格的動(dòng)態(tài)走勢(shì)，更加符合實(shí)際市場(chǎng)，可廣泛地應(yīng)用于一般風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的定價(jià)過(guò)程，這為投資分析提供一定的理論依據(jù).

關(guān)鍵詞 金融數(shù)學(xué)；最小定價(jià)；風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格；BSDE；Levy過(guò)程；Knight不確定性

中圖分類號(hào) F272 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Abstract By using the theories of backward stochastic differential equation and time-risk discount method， dynamic minimal pricing of general risk assets was studied under the financial market with Knight uncertainty. Dynamic pricing formula of general risk assets was deduced based on infinite pure jump Levy process under real probability measure. Moreover， dynamic minimal pricing formula was calculated in a set of Knight uncertainty. Finally， a case of dynamic minimal pricing of European call option was presented and the explicit solutions of the price of the option was obtained. The Levy process was introduced to describe dynamic movements of stock prices under Knight uncertain environment， which was more in line with actual market and could be widely used in general risk assets pricing， because it provided the theoretical basis for investment analysis.

Key words financial mathematics； minimal pricing； market prices of risk； backwardstochastic differential equation； Levy process； Knight uncertainty

1 引 言

Black和Scholes（1973）在股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下，獲得了著名的B-S期權(quán)定價(jià)公式[1]，隨后鞅方法和偏微分方程方法也開(kāi)始被普遍用于各種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的定價(jià).但是，B-S 理論主要用于解決與市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)的資產(chǎn)定價(jià)問(wèn)題，而對(duì)于套利行為一旦離開(kāi)了資產(chǎn)的可交易性就失去了意義.類似于死亡風(fēng)險(xiǎn)等的保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)的資產(chǎn)是不可交易的，因此，借用等價(jià)鞅測(cè)度方法或 B-S 理論來(lái)做保險(xiǎn)合同的定價(jià)問(wèn)題是缺乏根據(jù)的.于是在理論上提出這樣一個(gè)問(wèn)題：能否以及如何發(fā)展一般風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)定價(jià)？目前有不少學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究.陳典法（2003）提出時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)（Time-Risk discount）方法， 并運(yùn)用于人壽保單定價(jià)問(wèn)題[2].馮建芬（2006）在陳典法的思想基礎(chǔ)上給出了一般風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的定價(jià)模型[3].張慧（2010）明確給出了Knight不確定環(huán)境下一般風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的動(dòng)態(tài)定價(jià)公式[4]. 但是，上述文獻(xiàn)在研究風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)定價(jià)時(shí)，均假設(shè)股票的價(jià)格變化過(guò)程是幾何布朗運(yùn)動(dòng)，從而可以推斷出股票價(jià)格是關(guān)于時(shí)間的連續(xù)函數(shù).但在實(shí)際市場(chǎng)中，由于外界及內(nèi)部大大小小的偶然事件的干擾，股票價(jià)格往往會(huì)呈現(xiàn)出復(fù)雜的跳躍現(xiàn)象，同時(shí)股票收益率曲線服從正態(tài)分布的假設(shè)也與市場(chǎng)所呈現(xiàn)的尖峰厚尾的特征相違背， 因而需要引入新的過(guò)程來(lái)描述股票價(jià)格動(dòng)態(tài)走勢(shì).已有大量文獻(xiàn)對(duì)股票價(jià)格的波動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了研究，提出了多種資產(chǎn)價(jià)格模型，如：Chan（1999）提出的的幾何Levy過(guò)程模型[5]，Jan（2000）提出的的指數(shù)Levy過(guò)程模型[6].為了更好地刻畫(huà)股票價(jià)格走勢(shì)，引入Levy過(guò)程來(lái)描述股票價(jià)格的動(dòng)態(tài)走勢(shì).

Knight（1921）把未來(lái)的不確定性分成兩種情況：風(fēng)險(xiǎn)（risk）和Knight不確定性（uncertainty， ambiguity）[7].這表明，現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)上的Knight不確定性是不容忽視的普遍現(xiàn)象.Ellsberg（1961）提出了著名的Ellsberg悖論，表明當(dāng)事人的選擇行為會(huì)受Knight不確定性的影響，單一概率測(cè)度的觀點(diǎn)無(wú)法解釋這種行為[8].Basili M（2001）表明資產(chǎn)定價(jià)研究考慮Knight不確定性，可以較好地解釋像經(jīng)紀(jì)商的買(mǎi)賣(mài)差價(jià)、價(jià)格突變以及期權(quán)平價(jià)公式的背離等金融現(xiàn)象[9].Chen Zengjing和Larry Epstein（2002）利用BSDE的有關(guān)理論第一次建立起數(shù)學(xué)模型，研究了連續(xù)時(shí)間的資產(chǎn)定價(jià)模型，既體現(xiàn)了風(fēng)險(xiǎn)，也體現(xiàn)了Knight不確定性[10].因此，資產(chǎn)定價(jià)研究也需要考慮Knight不確定性.

為了更好地刻畫(huà)股票價(jià)格的市場(chǎng)特征，在帶有漂移項(xiàng)和 Brown 擴(kuò)散項(xiàng)的基礎(chǔ)上，加入Levy過(guò)程刻畫(huà)的無(wú)窮純跳項(xiàng)，從而更好地反映金融市場(chǎng)的實(shí)際狀況，并進(jìn)而推導(dǎo)出了在 Knight不確定環(huán)境下一般風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的動(dòng)態(tài)定價(jià)公式，給出了一般風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在實(shí)際概率測(cè)度下的動(dòng)態(tài)價(jià)格表達(dá)形式（定理1）.Knight不確定性可以通過(guò)一個(gè)參數(shù)可行控制集合Θ來(lái)刻畫(huà)，而由于 Knight 不確定性的干擾，投資者難以選擇用哪個(gè)概率測(cè)度來(lái)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)，因此進(jìn)一步給出了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在這個(gè)參數(shù)控制集合Θ上的動(dòng)態(tài)最小定價(jià)公式（定理2）.最后，給出了一個(gè)在Knight不確定環(huán)境下基于無(wú)窮純跳Levy過(guò)程的歐式看漲期權(quán)的動(dòng)態(tài)最小定價(jià)的例子（定理3），獲得了期權(quán)買(mǎi)入價(jià)格的顯示表達(dá)式.endprint

5 結(jié) 論

假設(shè)股票價(jià)格過(guò)程遵循Levy過(guò)程，在BSDE 經(jīng)典相關(guān)理論的基礎(chǔ)上，假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、波動(dòng)率及預(yù)期收益率均為時(shí)間t的函數(shù)，推導(dǎo)出了在 Knight不確定環(huán)境下一般風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在實(shí)際概率測(cè)度下的動(dòng)態(tài)價(jià)格表達(dá)式.由于Knight不確定的存在，推導(dǎo)了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的動(dòng)態(tài)最小定價(jià)公式.最后，給出了一個(gè)在Knight不確定環(huán)境下基于無(wú)窮純跳Levy過(guò)程的歐式看漲期權(quán)的動(dòng)態(tài)最小定價(jià)的例子，并導(dǎo)出了期權(quán)價(jià)格的顯示表達(dá)式.本文的結(jié)論完全包含文獻(xiàn)[4]的結(jié)論.

參考文獻(xiàn)

[1] Black F， Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Econo-my， 1973， 81（3）： 637-654.

[2] Chen Dianfa， Xiang George. Time-risk discount valuation of life contracts[J].Acta Mathematicae Applicates Sinaca， English Series， 2003， 19（4）： 647-662.

[3] 馮建芬， 陳典發(fā). 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的一般定價(jià)模型[J]. 南開(kāi)大學(xué)學(xué)報(bào)， 2006， 39（2）：25-28.

[4] 張慧. Knight不確定性與一般風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的動(dòng)態(tài)最小定價(jià)[J]. 統(tǒng)計(jì)與決策， 2010， 2010（06）：37-39.

[5] Chan T. Pricing contingent claims on stocks driven by levy processes[J].Annals of Appl Prob， 1999， 9（2）： 5-528.

[6] Kallsen Jan. Optimal portfolios for exponential levy processes [J]. Mathematical Methods of Operations Research， 2000， 51（3）： 357-377.

[7] Knight F H. Risk， Uncertainty and profit [M ]. Boston： Houghton Mifflin，1921.

[8] Ellsberg D. Risk， Ambiguity， and the savage Axioms[J]. Quarterly Journal of Economics， 1963， 75（4）：643- 669.

[9] Basili M. Knightian uncertainty in financial markets： Anassessment[J]. Economic Notes， 2001， 30（1）：1- 26.

[10]Chen Zengjing， Larry Epstein. Ambiguity， risk， and asset returns in continuous time[J]. Econo-metrica， 2002， 70（4）： 1403-1443.

[11]K. Bahlali， M. Eddahbi， E. Essaky. BSDE associated with levy processes and application to PDIE[J]. Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis， 2003， 16 （1）： 1-17.

[12]N. EI Karoui， S. Peng， M. C. Quenez. Backward stochastic differential equations in finance[J]. Mathematical Finance， 1997，7（1）： 1-71.

[13]張慧， 陳曉蘭， 聶秀山. 不確定環(huán)境下再裝股票期權(quán)的穩(wěn)健定價(jià)模型[J]. 中國(guó)管理科學(xué)，2008，16（1）： 25-31.

[14]David Applebaum. Levy Process and Stochastic Calculus[M]. Cambridge University Press， 2004.

[15]張慧，聶秀山. Knight不確定環(huán)境下歐式股票期權(quán)的最小定價(jià)模型[J]. 山東大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2007， 42（11）： 121-126.endprint