A-調(diào)和方程與微分形式關(guān)系

顧志華,陳亞婷

(河北農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，河北保定　071001)

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A-調(diào)和方程與微分形式關(guān)系

顧志華,陳亞婷

(河北農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，河北保定071001)

A-調(diào)和方程和微分形式在電磁學(xué)與流體力學(xué)中占有重要的地位，研究他們之間的關(guān)系尤為重要.介紹了2類加權(quán)微分形式，并證明了微分形式與A-調(diào)和方程之間的關(guān)系.

A-調(diào)和方程；黎曼流形； 微分形式；算子

MSC2010:43A15；35J60

A-調(diào)和方程理論在偏微分方程、位勢(shì)理論和擬共形分析等領(lǐng)域發(fā)揮著非常重要的作用.求解調(diào)和方程是電磁學(xué)、流體力學(xué)和天文學(xué)等領(lǐng)域經(jīng)常遇到的一類重要的數(shù)學(xué)問題,其中A-調(diào)和方程解的性質(zhì)為研究的重點(diǎn)[1-6].而流形上的微分形式在物理學(xué)科也有著特殊的意義,所以研究調(diào)和方程與微分形式之間的關(guān)系也顯得尤為重要.近幾年中，A-調(diào)和形式理論的研究已經(jīng)取得了顯著的進(jìn)步.該理論的結(jié)論以及它們的應(yīng)用已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)[7-9].在本文中，引入了2類微分形式，這2類微分表達(dá)式與擬線性橢圓方程之間有著密切的關(guān)系.本文中用到的符號(hào)、表述都可以在文獻(xiàn)[9]中見到.

設(shè)M和N是C3類的黎曼流形，算子*：∧k(M)→∧n-k(M)稱為Hodge星算子，具有以下性質(zhì)：對(duì)于任意的α，β∈∧k(M)，a,b∈R,*(aα+bβ)=a*α+b*β,對(duì)于任意的γ∈∧k(M)，有*(*γ)=(-1)k(n-k)γ.對(duì)于任意的α，β∈∧k(M)，內(nèi)積〈α,β〉=*-1〈α,*β〉=*(α∧*β),Hodge星算子的逆算子記為*-1，滿足*-1(*γ)=*(*-1γ)=γ.

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設(shè)ω(x)為權(quán)函數(shù)，若ω(x)∈Lloc(M)，ω(x)>0，則μ(E)=∫Eω(x)dx.

1　黎曼流形上的微分形式

(1)

則稱α是弱閉的微分形式.

定義2設(shè)γ是黎曼流形M上弱閉的微分形式，

(2)

若存在弱閉的微分形式θ，

(3)

使得幾乎處處有

v0|θ|q≤ωq-1〈γ，*θ〉+v1ωq|θ|,

(4)

其中v0、v1是常數(shù),則稱γ是黎曼流形M上的DF1類.

定義3設(shè)γ是黎曼流形M上滿足(2)的弱閉的微分形式，若存在弱閉的微分形式(3)，使得幾乎處處有

(5)

和

|θ|≤v3ω|γ|p-1,

(6)

其中v2、v3是常數(shù)，則稱γ是黎曼流形M上的DF2類.

定理1DF1和DF2滿足DF2?DF1.

2　擬線性橢圓方程

設(shè)A:Λk(T(M))→Λk(T(M))是定義在k維切向量空間的Λk(T(M))的映射，即對(duì)于幾乎處處的點(diǎn)m∈M，映射A(m,·):ξ∈Λk(T(M))→Λk(T(M)).假設(shè)對(duì)于幾乎處處的點(diǎn)m∈M和任意ξ∈Λk(T(M))，

(7)

其中常數(shù)q>1,v0、v1>0.

(8)

(9)

證明：設(shè)微分形式γ，degγ=k-1是式(8)的弱解，即滿足式(9)，微分形式α(m)在點(diǎn)m處等于A(m,dγ)，且θ=*-1α.由POINCARE′引理知dγ是弱閉的微分形式，且θ滿足下式

滿足式(4).證畢.

假設(shè)A(m,ξ)滿足

(10)

(11)

其中v1、v2、v3是常數(shù).

證明：θ、dγ的假設(shè)如同定理2，由式(10)和式(11)可得

相反，若dγ∈DF2，則存在弱閉的微分形式θ(滿足式(5)和式(6)).

定義

其中α=*θ，則由弱閉的微分形式θ可得到γ是式(8)的弱解，且由式(5)、(6)得式(10)、(11)成立.

[1]IWANIECT,MARTING.Geometricfunctiontheoryandnonlinearanalysis[M].Oxford:ClarendonPress，2001.

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(責(zé)任編輯：王蘭英)

RelationshipbetweenA-harmonicequationanddifferentialform

GUZhihua,CHENYating

(CollegeofScience,AgriculturalUniversityofHebei,Baoding071001,China)

A-Harmonicequationanddifferentialformsareveryimportantinelectromagneticandfluidmechanics,andtheirrelationshipisparticularlyimportant.Thispaperintroducestwotypesofweighteddifferentialforms,andprovestherelationshipbetweendifferentialformandA-harmonicequation.

A-harmonicequation;Riemannianmanifold;differentialform;operator

10.3969/j.issn.1000-1565.2016.03.002

2015-04-18

保定市科學(xué)技術(shù)研究與發(fā)展計(jì)劃指導(dǎo)項(xiàng)目(12ZS005；12ZS006；14ZN001)；河北省高等學(xué)校科學(xué)技術(shù)研究青年基金項(xiàng)目(QN2016243)

顧志華(1981-)，女，河北邯鄲人，河北農(nóng)業(yè)大學(xué)講師，主要從事偏微分方程的研究.

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A