雙樹復(fù)小波和雙譜在軸承故障診斷中的應(yīng)用

侯少飛，李彥生，胥永剛，馬朝永

（北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院 先進(jìn)制造技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

雙樹復(fù)小波和雙譜在軸承故障診斷中的應(yīng)用

侯少飛，李彥生，胥永剛，馬朝永

（北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院 先進(jìn)制造技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

針對(duì)非線性、非平穩(wěn)且包含強(qiáng)烈的噪聲的軸承故障振動(dòng)信號(hào)難以有效提取故障特征信息進(jìn)行故障識(shí)別的問題，提出基于雙樹復(fù)小波變換和雙譜的故障診斷方法。首先利用雙樹復(fù)小波變換將故障軸承振動(dòng)信號(hào)分解為若干個(gè)不同頻帶的分量，選擇出包含故障特征的分量；然后對(duì)該分量進(jìn)行希爾伯特包絡(luò)解調(diào)；最后對(duì)包絡(luò)信號(hào)求其雙譜圖，從而有效地提取出故障信號(hào)的特征頻率，準(zhǔn)確地進(jìn)行故障識(shí)別。滾動(dòng)軸承故障實(shí)驗(yàn)和工程應(yīng)用表明，該方法能有效地提取故障軸承的故障特征頻率，并且?guī)缀蹩梢酝耆种圃肼?，?yàn)證了方法的可行性和有效性。

振動(dòng)與波；雙樹復(fù)小波；雙譜；希爾伯特包絡(luò)；滾動(dòng)軸承；故障診斷

旋轉(zhuǎn)機(jī)械是電力、化工、冶金、和機(jī)械制造等重要工程領(lǐng)域中的關(guān)鍵設(shè)備［1］，滾動(dòng)軸承作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備的重要組成部件［2］，同樣也是易損壞的零件，而滾動(dòng)軸承故障是導(dǎo)致機(jī)械設(shè)備運(yùn)行過程中產(chǎn)生故障的主要原因之一。其中滾動(dòng)軸承故障大多數(shù)發(fā)生在內(nèi)圈與外圈上，其它故障則基本發(fā)生在滾動(dòng)體上，很少有保持架發(fā)生故障［3］。軸承的運(yùn)行狀態(tài)將直接影響到整臺(tái)機(jī)器的性能，因此對(duì)滾動(dòng)軸承進(jìn)行故障診斷具有非常重要的意義。然而實(shí)際工程中測(cè)得的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)通常表現(xiàn)出非線性、非平穩(wěn)特征［4］，并且混有大量強(qiáng)噪聲，很難有效地提取其故障特征信息，給滾動(dòng)軸承故障診斷帶來很大困難。如何從軸承的振動(dòng)信號(hào)中提取相應(yīng)的故障特征信息對(duì)診斷滾動(dòng)軸承故障具有十分重要的意義［5］。

雙樹復(fù)小波變換最開始由Kingsbury等提出，后來經(jīng)過學(xué)者Selesnick進(jìn)一步發(fā)展并得以推廣應(yīng)用［6-7］。雙樹復(fù)小波變換保留了復(fù)小波變換的優(yōu)良特性，而且采用雙樹濾波器的形式，保證了信號(hào)的完全重構(gòu)性。因此，雙樹復(fù)小波變換是一種具有近似平移不變性、良好的方向選擇性、有限的數(shù)據(jù)冗余性、完全重構(gòu)性和計(jì)算效率高等良好特性的小波變換，已經(jīng)成功應(yīng)用于信號(hào)降噪處理［8］、故障診斷［9］等領(lǐng)域。

高階譜分析技術(shù)是近年來信號(hào)處理的新技術(shù)，是分析非Gauss信號(hào)的良好工具。雙譜是高階譜中運(yùn)算最簡單且應(yīng)用最廣泛的分析方法，在理論上可完全抑制Gauss噪聲的影響，識(shí)別信號(hào)中的二次相位耦合頻率成分，適合分析非線性、非平穩(wěn)信號(hào)，并且在軸承故障診斷中取得了成功的應(yīng)用。軸承信號(hào)常表現(xiàn)為二次相位耦合模式，如軸承故障特征頻率自身的耦合及故障特征頻率與轉(zhuǎn)頻的耦合［10］。用雙譜分析軸承振動(dòng)信號(hào)更易獲得故障特征信息。

本文提出基于雙樹復(fù)小波和雙譜的滾動(dòng)軸承故障診斷方法，并成功地將其應(yīng)用于機(jī)械故障診斷。模擬實(shí)驗(yàn)和工程應(yīng)用均表明，該方法可以有效地提取滾動(dòng)軸承的故障特征頻率，從而識(shí)別軸承的故障類型。

1　雙樹復(fù)小波的基本原理

雙樹復(fù)小波變換（dual-tree complex wavelet transform，DT-CWT）采用兩個(gè)并行的實(shí)小波變換來實(shí)現(xiàn)信號(hào)的分解和重構(gòu)，分別稱為實(shí)部樹和虛部樹，DT-CWT的分解與重構(gòu)過程如圖1所示［6-7］。在信號(hào)的分解與重構(gòu)過程中，始終保持虛部樹的采樣位置位于實(shí)部樹的中間，使雙樹復(fù)小波變換能有效綜合利用實(shí)部樹和虛部樹的小波分解系數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)實(shí)部樹和虛部樹的信息互補(bǔ)。這種小波分解算法使雙樹復(fù)小波變換具有近似平移不變性，并減少了有用信息的丟失。雙樹復(fù)小波變換在各層的分解過程中，利用小波系數(shù)二分法減少了多余的計(jì)算，從而提高了計(jì)算速度。根據(jù)雙樹復(fù)小波的構(gòu)造方法，復(fù)小波可表示為

圖1　雙樹復(fù)小波變換的分解和重構(gòu)過程

式中ψh（t），ψg（t）表示兩個(gè)實(shí)小波；i為復(fù)數(shù)單位。

由于雙樹復(fù)小波變換由兩個(gè)并行的小波變換組成，因此，根據(jù)小波理論，上面實(shí)部樹小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)可由式（2）和式（3）計(jì)算

同理，下面虛部樹小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)可由式（4）和式（5）計(jì)算

因此，可以得到雙樹復(fù)小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)

最后，雙樹復(fù)小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)可由式（8）和式（9）進(jìn)行重構(gòu)

雙樹復(fù)小波變換后的重構(gòu)信號(hào)可表示為

圖1所示為3層雙樹復(fù)小波分解和重構(gòu)過程，在分解過程中，h0、h1分別為實(shí)部樹對(duì)應(yīng)的低通濾波器和高通濾波器，g0、g1分別為虛部樹對(duì)應(yīng)的低通濾波器和高通濾波器。同樣，在重構(gòu)時(shí)，h0'、h1'為實(shí)部樹濾波器組，g0'、g1'為虛部樹濾波器組，本文采用Kingsbury所構(gòu)造的Q-shift雙樹濾波器［7］。

2　雙譜的基本原理

傳統(tǒng)的自相關(guān)和功率譜方法只是利用了信號(hào)的2階統(tǒng)計(jì)量信息，對(duì)于平穩(wěn)、高斯過程，這已經(jīng)能夠反映信號(hào)的特征，但是對(duì)于實(shí)際的機(jī)械系統(tǒng)來講，非線性、非平穩(wěn)、非高斯過程更具有普通性和一般性，這就需要從更高的階次上來反映信號(hào)特征。高階譜是分析非高斯信號(hào)、非平穩(wěn)、非線性系統(tǒng)的有力工具，有著廣泛的應(yīng)用。雙譜在高階譜方法中階數(shù)最低，處理方法最簡單，能夠抑止高斯噪聲，突出非高斯特征，所以在高階譜方法中受到的關(guān)注最多，應(yīng)用也最為廣泛［11］。

零均值平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) x（n）的3階累積量d（τ1、τ2）定義為

式中τ1、τ2為時(shí)間延遲；E［?］為統(tǒng)計(jì)均值。

雙譜B（ω1、ω2）定義為3階累積量d（τ1、τ2）的二維傅里葉變換，即

若x（n）是一個(gè)具有有限能量的確定性信號(hào)，則傅立葉變換、功率譜和雙譜的定義分別如下

上式中“*”表示復(fù)共扼。

從該定義可以看出雙譜為復(fù)數(shù)值，定義在由自變量ω1和ω2分別表示的兩個(gè)頻率軸f1和f2構(gòu)成的二維平面上，包含相位信息。雙譜B（ω1，ω2）的幅值表示頻率分量ω1、ω2和ω1+ω2之間的耦合量。由故障軸承振動(dòng)信號(hào)解調(diào)出的包絡(luò)信號(hào)的頻譜表現(xiàn)為由故障頻率及其倍頻組成的一系列等間隔的譜峰。假設(shè)f0為故障頻率，則f0、2f0，…處均會(huì)出現(xiàn)峰值，這些譜峰即為故障模式。當(dāng)ω1、ω2為故障頻率或者其倍頻，可知ω1+ω2也為故障頻率或者其倍頻，雙譜圖在（ω1、ω2）處將出現(xiàn)峰值。且B（ω1、ω2）將是ω1、ω2、ω1+ω2個(gè)故障相關(guān)頻率共同作用結(jié)果，其值得到明顯增強(qiáng)。而其他位置的頻率點(diǎn)則沒有這種效果，受到抑制。因此雙譜能夠增強(qiáng)故障特征頻率，抑制噪聲頻率干擾，比功率譜更適合分析由故障振動(dòng)信號(hào)解調(diào)得到的包絡(luò)信號(hào)［12］。

3　雙樹復(fù)小波和雙譜的診斷方法

其診斷具體步驟如下：

（1）對(duì)故障軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行雙樹復(fù)小波分解，得到幾個(gè)不同頻段的分量。

（2）選擇出包含故障特征的分量；然后對(duì)包含故障特征的分量進(jìn)行希爾伯特包絡(luò)解調(diào)。

（3）最后對(duì)包絡(luò)信號(hào)求其雙譜圖，從而有效地提取出故障信號(hào)的頻率特征，便能準(zhǔn)確地識(shí)別故障類型，實(shí)現(xiàn)故障診斷。

4　實(shí)驗(yàn)分析

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)由軸承故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)、筆記本電腦和HG 3604故障診斷儀組成。軸承故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖2所示。

圖2　軸承故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)

由兩個(gè)6307深溝球滾動(dòng)軸承支撐，通過撓性聯(lián)軸器與電機(jī)相連。在靠近電機(jī)側(cè)安裝正常軸承（即圖2中③），遠(yuǎn)離電機(jī)側(cè)安裝故障軸承（即圖2中⑤），用于模擬各種軸承故障。實(shí)驗(yàn)中，利用HG 3604故障診斷儀在故障軸承所在的軸承座測(cè)取振動(dòng)加速度信號(hào)。故障軸承的型號(hào)為6307，軸承的大徑D=80 mm，小徑d=35 mm，滾動(dòng)體個(gè)數(shù)為8個(gè)，壓力角α=0，故障類型為裂紋，故障大小為一條寬0.5 mm，深0.5 mm的槽模擬裂紋故障，實(shí)驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)速1 496 r/min，對(duì)采集到的軸承故障數(shù)據(jù)進(jìn)行分析采樣點(diǎn)數(shù)是8 192，采樣頻率15 360 Hz，根據(jù)上述參數(shù)經(jīng)過公式計(jì)算得到轉(zhuǎn)頻為24.933 3 Hz，軸承外、內(nèi)圈故障特征頻率為76.728 Hz、122.738 Hz。

4.1軸承外圈故障診斷

圖3為軸承外圈裂紋故障的時(shí)域波形及其幅值譜，從時(shí)域波形可以看出原始信號(hào)中確實(shí)存在沖擊性成分，但周期性不是很明顯。幅值譜中亦出現(xiàn)了邊頻帶成分，同時(shí)也存在強(qiáng)烈的干擾成分，無法根據(jù)波形及頻譜有效識(shí)別故障。

故利用雙樹復(fù)小波對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行4層分解，然后進(jìn)行重構(gòu)，得到如圖4所示的重構(gòu)信號(hào)a4、d4、d3、d2和d1，各重構(gòu)信號(hào)對(duì)應(yīng)的幅值譜如圖5所示。

根據(jù)雙樹復(fù)小波分解原理可知，各重構(gòu)信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻率范圍分別為a4（0～480 Hz）、d4（480 Hz～960 Hz）、d3（960 Hz～1 920 Hz）、d2（1 920 Hz～3 840 Hz）和d1（3 840 Hz～7 680 Hz），從圖3的幅值譜中可以看到在1 000 Hz～2 000 Hz之間存在邊頻帶成分，與之對(duì)應(yīng)的是圖5中的第三個(gè)分量d3。

故將第三個(gè)分量d3作為研究對(duì)象，d3分量對(duì)應(yīng)的幅值譜如圖5所示。可以從圖5中看到明顯的邊頻成分，但是還存在一定的噪聲干擾。故直接對(duì)d3分量做包絡(luò)解調(diào)，然后求其雙譜，得到雙譜等高線圖，如圖6所示。

圖3　軸承外圈裂紋故障的時(shí)域波形及幅值譜

圖4　外圈故障雙樹復(fù)小波重構(gòu)信號(hào)時(shí)域波形

圖5　外圈故障雙樹復(fù)小波重構(gòu)信號(hào)的幅值譜

圖6　d3分量包絡(luò)后的雙譜等高線圖

從圖6中可以清楚地看到（76.88、76.88）、（76.88、153.8）、（153.8、76.88）等處出現(xiàn)峰值，這與理論計(jì)算的外圈故障特征頻率76.728 Hz及其倍頻十分接近，由此可以斷定此軸承外圈發(fā)生了故障，與模擬故障相符，證明了該方法的有效性。

4.2軸承內(nèi)圈故障診斷

圖7為軸承內(nèi)圈裂紋故障的時(shí)域波形及其幅值譜，從時(shí)域波形可以看出原始信號(hào)中確實(shí)存在沖擊性成分，但周期性不是很明顯。幅值譜中亦出現(xiàn)了邊頻帶成分，同時(shí)也存在強(qiáng)烈的干擾成分，無法根據(jù)波形及頻譜有效識(shí)別故障。

圖7　軸承內(nèi)圈裂紋故障的時(shí)域波形及幅值譜

故利用雙樹復(fù)小波對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行4層分解，然后進(jìn)行重構(gòu)，得到如圖8所示的各層重構(gòu)信號(hào)a4、d4、d3、d2和d1，各重構(gòu)信號(hào)對(duì)應(yīng)的幅值譜如圖9所示，各重構(gòu)信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻率范圍分別為a4（0～480 Hz）、d4（480 Hz～960 Hz）、d3（960 Hz～1 920 Hz）、d2（1 920 Hz～3 840 Hz）和d1（3 840 Hz～7 680 Hz）。同理，從圖7的幅值譜中可以看到在2 000 Hz～4 000 Hz存在邊頻帶成分，與這個(gè)頻段相對(duì)應(yīng)的分量是圖9中的第二個(gè)分量d2。

故將第二個(gè)分量d2作為研究對(duì)象，d2分量對(duì)應(yīng)的幅值譜如圖9所示。

可以從圖9中明顯地看到邊頻成分，但是還存在一定的噪聲干擾。故直接對(duì)d2分量做包絡(luò)解調(diào)，然后求其雙譜，得到雙譜等高線圖，如圖10所示。

可以清楚地看到（121.9、121.9）、（121.9、245.6）、（245.6、121.9）等處出現(xiàn)峰值，這與理論計(jì)算的外圈故障特征頻率121.9 Hz及其倍頻十分的接近，由此可以斷定此軸承外圈發(fā)生了故障，與模擬故障相符，證明了該方法的有效性。

圖8　內(nèi)圈故障雙樹復(fù)小波重構(gòu)信號(hào)時(shí)域波形

圖9　內(nèi)圈故障雙樹復(fù)小波重構(gòu)信號(hào)的幅值譜

圖10　d2分量包絡(luò)后的雙譜等高線圖

5　工程案例

某鋼廠的二高線精軋機(jī)增速箱出現(xiàn)了問題，故障位置為增速箱II軸上型號(hào)為162250D的軸承，軸承外圈出現(xiàn)斷裂故障，斷裂的軸承外圈如圖11所示。

圖11　軸承外圈斷裂

事故發(fā)生時(shí)該設(shè)備的轉(zhuǎn)速為1 169 r/min，采樣頻率為10 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為2 048。根據(jù)軸承故障頻率計(jì)算公式得到外圈故障特征頻率為503.25 Hz。早期故障數(shù)據(jù)的時(shí)域波形圖及其幅值譜如圖12所示。

圖12　工程信號(hào)的時(shí)域波形及幅值譜

從時(shí)域波形和幅值譜中我們無法得到有用的信息，無法準(zhǔn)確識(shí)別故障軸承對(duì)應(yīng)的特征頻率。

利用雙樹復(fù)小波對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行4層分解，然后進(jìn)行重構(gòu)，得到如圖13所示的各層重構(gòu)信號(hào)a4、d4、d3、d2和d1，對(duì)應(yīng)幅值譜如圖14所示，各重構(gòu)信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻率范圍分別為a4（0～312.5 Hz）、d4（312.5 Hz～625 Hz）、d3（625 Hz～1 250 Hz）、d2（1 250 Hz～2 500 Hz）和d1（2 500 Hz～5 000 Hz）。同理，從圖12的幅值譜中可以看到在1 000 Hz～2 500 Hz存在邊頻帶成分，與這個(gè)頻段相對(duì)應(yīng)的分量是圖14中的第二個(gè)分量d2。

選擇選擇第二個(gè)分量d2作為研究對(duì)象，d2分量對(duì)應(yīng)的幅值譜如圖14所示，從圖中可以看到邊頻成分并不明顯，同時(shí)還存在一定的噪聲干擾。故直接對(duì)d2分量做包絡(luò)解調(diào)，然后求其雙譜，得到雙譜等高線圖，如圖15所示。

從圖15中，可以清楚地看到（502.9、502.9）、（502.9、1006）、（1006，502.9）等處出現(xiàn)峰值，這與理論計(jì)算的外圈故障特征頻率503.25 Hz及其倍頻十分的接近，由此可以斷定此軸承外圈發(fā)生了故障，這與拆箱檢查的結(jié)果相符，證明了該方法的可行性和有效性。

圖13　工程信號(hào)雙樹復(fù)小波重構(gòu)信號(hào)時(shí)域波形

圖14　工程信號(hào)雙樹復(fù)小波重構(gòu)信號(hào)幅值譜

圖15　d2分量包絡(luò)后的雙譜等高線圖

6　結(jié)語

本文對(duì)雙樹復(fù)小波和雙譜的滾動(dòng)軸承的故障診斷進(jìn)行了研究，通過滾動(dòng)軸承故障實(shí)驗(yàn)和工程應(yīng)用驗(yàn)證了方法的有效性。

（1）對(duì)軸承故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行雙樹復(fù)小波分解和重構(gòu)，得到幾個(gè)不同頻段的分量。選擇出包含有故障特征的分量。既保留了信號(hào)中的有用成分，又達(dá)到了一定的降噪效果，再對(duì)含有故障特征的分量進(jìn)行雙譜分析，雙譜能夠抑止高斯噪聲，突出非高斯特征，可以有效地提取故障信號(hào)中沖擊成分，得到故障特征頻率，進(jìn)行故障診斷。

（2）將雙樹復(fù)小波和雙譜應(yīng)用于滾動(dòng)軸承的故障診斷中，可以有效和準(zhǔn)確地提取故障特征信息并且?guī)缀蹩梢酝耆种圃肼?，從而?shí)現(xiàn)軸承的故障診斷。

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Applications of Dual-tree Complex Wavelet Transform and Bi-spectrum in Roller Bearing Fault Diagnosis

HOU Shao-fei，LI Yan-sheng，XU Yong-gang，MA Chao-yong
（College of Mechanical Engineering andApplied Electronics Technology，Key Laboratory ofAdvanced Manufacturing Technology，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

It is difficult to extract fault characteristic signals from the nonlinear，non-stationary and strong noise included fault vibration signals of roller bearings for fault identification.In this paper，a new fault diagnosis method is proposed based on dual-tree complex wavelet transform（DT-CWT）and bi-spectrum.Firstly，the fault vibration signal is decomposed into several components with different frequency-band through DT-CWT，and the components which contain the fault feature information are selected.Then，the Hilbert envelope demodulation is used to the components.Finally，the bispectrum diagram of the envelop signals is acquired and the fault signal frequency feature can be effectively extracted to identify the fault accurately.The results of the roller bearing fault tests and engineering application show that the fault feature frequency of the fault roller bearing in operation can be extracted accurately by this method and the noise can be almost completely suppressed.Thus，the feasibility and effectiveness of this method are verified.

vibration and wave；dual-tree complex wavelet transform；bi-spectrum；Hilbert envelope；rolling bearing；fault diagnosis

TH133.3；TH165

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.05.028

1006-1355（2016）05-0133-06

2016-03-11

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51375020）；北京市教委科研計(jì)劃資助項(xiàng)目（KM201310005013）

侯少飛（1988-），男，河北省邢臺(tái)市人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)電設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷。

胥永剛（1975-），男，河北省定州市人，博士，副教授。E-mail:xyg@bjut.edu.cn