Hunter-Saxton方程的對稱約化與群不變解

檀美英,　胡恒春

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海　200093)

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Hunter-Saxton方程的對稱約化與群不變解

檀美英,胡恒春

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海200093)

借助符號計算軟件Maple,根據(jù)微分方程單參數(shù)不變?nèi)汉腿翰蛔兘獾母拍?利用李群對稱的待定系數(shù)法,得到Hunter-Saxton方程的包含5個任意常數(shù)和一個任意函數(shù)的一般形式的對稱.通過該對稱中任意的函數(shù)和常數(shù)的不同選取,將Hunter-Saxton方程約化為不同形式的常微分方程.最后對約化后的常微分方程進(jìn)行變換求解,進(jìn)一步得出Hunter-Saxton方程的一些群不變解和精確解.

Hunter-Saxton方程; 李群對稱; 群不變解

對稱在自然科學(xué)中扮演著重要角色,在孤立子理論中,研究非線性系統(tǒng)的對稱也尤為重要.因?yàn)橥ㄟ^方程的對稱方程,能夠用經(jīng)典李群法和非經(jīng)典李群法將非線性偏微分方程進(jìn)行約化,利用約化方程可以求出該方程的群不變解.目前一些方程的對稱方程已經(jīng)被求出,如Korteweg-de Vries方程[1],Modified Korteweg-de Vries方程[2],Ablowitz-Kaup-Newell-Segur方程[3]等.現(xiàn)在求取對稱方程的常用方法是經(jīng)典李群變換法[4],但這個方法涉及到方程的延拓結(jié)構(gòu),對有些方程來說計算量很大也很復(fù)雜.而用待定系數(shù)求方程對稱的方法與經(jīng)典李群變換法求對稱頗為相似,但卻避免了有關(guān)延拓結(jié)構(gòu)的復(fù)雜計算,顯得簡單而直接,也可以進(jìn)一步從求出的對稱中找到單參數(shù)不變?nèi)汉腿翰蛔兘?

1　Hunter-Saxton方程簡介

考慮Hunter-Saxton(HS)方程

(1)

該方程最早由Hunter和Saxton[5]推導(dǎo)出來,引起了物理和數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注.很多研究者在此基礎(chǔ)上取得了一定的研究成果[5-12].文獻(xiàn)[6]中,作者對HS方程的另一種形式

(2)

采用經(jīng)典李群變換法得到方程(2)的對稱并對該方程的守恒律進(jìn)行了分析.在文獻(xiàn)[7]中,作者對方程(2)的相似解的幾種類型進(jìn)行了深入探討,并給出了不同形式的精確解.文獻(xiàn)[8]中,作者求出了Hunter-Saxton方程的逆散射方程及其精確解.在文獻(xiàn)[9]中,作者則用動力系統(tǒng)分岔方法求出了廣義二分量Hunter-Saxton方程系統(tǒng)的單峰孤立波和Compacton解.由于用一般的經(jīng)典李群變換法求方程(1)的對稱方程計算量太大,本文提出了采用待定系數(shù)法求其對稱方程的方法[4],避免了經(jīng)典李群變換法中有關(guān)延拓的計算,使得計算過程與計算量都大幅減少.在求出Hunter-Saxton方程的對稱方程后,進(jìn)一步選取一些特殊對稱,得到方程(1)的單參數(shù)不變?nèi)汉腿翰蛔兘?分情況將方程(1)約化為常微分方程,并求出部分精確解.

2　Hunter-Saxton方程的對稱

對于非線性發(fā)展方程

(3)

稱函數(shù)σ(x,t,ux,ut,…)為方程(3)的一個對稱,如果

(4)

對任意的u都成立,其中

考慮Hunter-Saxton方程(1),令

(5)

式中,ε是參數(shù),并且ε?1.將式(5)代入方程(1)中會得到有關(guān)ε的一元二次方程組,提出有關(guān)ε的一次項(xiàng)系數(shù),得到方程(1)的對稱應(yīng)滿足的方程為

(6)

設(shè)方程(1)有形如

(7)

的對稱,這時

將式(8)～(12)代入方程(6)并化簡.由u的各階偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)為0,得到a,b,c,d應(yīng)滿足下列條件:

由上列7組關(guān)系式,得到a,b,c,d的解為

其中,k1,k2,k3,k4,k5為任意常數(shù),f(t)為t的任意函數(shù).由此可以得出Hunter-Saxton方程uxxt+2uxuxx+uuxxx=0的對稱為

3　單參數(shù)不變?nèi)杭捌淙翰蛔兘?/h2>

根據(jù)文獻(xiàn)[13],對稱σ有其相應(yīng)的單參數(shù)不變?nèi)?不妨取k1=k2=k3=k4=k5=0,f(t)=t,此時,σ=tux-1.由對稱與相應(yīng)的單參數(shù)不變?nèi)旱年P(guān)系[13]可知,只需解下列常微分方程就可得到其單參數(shù)不變?nèi)?

(14)

(15)

再由對稱和群不變解的關(guān)系[4]可知,要尋找方程(1)的群不變解,只需要解下列方程組

(16)

現(xiàn)在來尋找方程(1)的一些群不變解.

a. 當(dāng)k1=k2=k3=k4=0,f(t)+k5≠0時,此時,σ=[f(t)+k5]ux-f′(t).解方程[f(t)+k5]ux-f′(t)=0得

(17)

(18)

代入uxxt+2uxuxx+uuxxx=0有

(19)

故σ=k3ut時,若f(ξ)是方程(19)的解,則 u=f(x)就是方程(1)的群不變解.

(20)

代入方程uxxt+2uxuxx+uuxxx=0,得

(21)

4　方程的對稱約化和精確解

下面利用得到的對稱,約化方程(1),考慮以下幾種情況.

(22)

代入方程(1)并化簡,可將方程(1)約化為

(23)

對式(23)積分一次,得到2ff″+f′2=a.其中,a為積分常數(shù).特別地,當(dāng)a為0時,得到方程(23)的解為

(24)

式中,a1,a2為任意常數(shù),所以方程(1)的精確解為

(25)

(26)

代入方程(1),將方程(1)約化為

(27)

所以,若f(ξ)為方程(27)的解,則u=f(xt-1)為方程(1)的解

(28)

將式(26)代入方程(1),可將方程(1)約化為

(29)

該方程與對情況1的約化方程積分一次后的形式一樣,故由情況1解得其精確解為

(30)

式中,a1,a2為任意常數(shù)

(31)

代入方程(1),知滿足方程uxxt+2uxuxx+uuxxx=0,所以方程(1)的精確解為

(32)

式中,f(t)為t的任意函數(shù).

(33)

代入方程(1),易知滿足方程uxxt+2uxuxx+uuxxx=0，故方程(1)的精確解為

(34)

式中，f(t)為t的任意函數(shù).

情況6f(t)=f′(t),k1=k2=k3=k4=k5=0時.有σ=f(t)ux-f′(t),由f(t)ux-f′(t)=0的特征方程

(35)

可以得到方程(1)的相似變量和相似解為

(36)

代入方程(1),知滿足方程uxxt+2uxuxx+uuxxx=0.所以方程(1)的精確解為

(37)

式中,f(t)為t的任意函數(shù).

(38)

(39)

所以,若f(ξ)為方程(39 )的解,則

(40)

為HS方程(1)的解.

5　結(jié)　論

本文用李對稱的待定系數(shù)法求出了Hunter-Saxton方程的對稱,然后利用對稱將該方程約化,求出了方程的群不變解.這種方法具有普遍性,可以將其推廣到其他非線性偏微分方程中,這為求解非線性偏微分方程及探索它們新的物理規(guī)律提供了一種途徑和方法,有一定的實(shí)際意義.而用其他更為簡便的方法去尋求Hunter-Saxton方程的各種形式的解,是今后的一個研究重點(diǎn).

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(編輯:丁紅藝)

Symmetry Reduction and Group Invariant Solutions of Hunter-Saxton Equations

TAN Meiying,HU Hengchun

(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

By using the symbolic computation software Maple,according to the concepts of single parameter invariant groups and group invariant solutions of differential equations,the general symmetry of the Hunter-Saxton equation was obtained with the help of its symmetry equation,which included five arbitrary constants and one arbitrary function.The Hunter-Saxton equation was reduced to some types of different ordinary differential equations by selecting different constants and function.Finally,with the transformational solving of the ordinary differential equations,group invariant solutions and exact solutions of the Hunter-Saxton equation were obtained directly.

Hunter-Saxton equation; Lie symmetry group; group-invariant solutions

1007-6735(2016)04-0313-05

10.13255/j.cnki.jusst.2016.04.002

2015-12-24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(110711640);國家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(11201302);上海市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10ZR1420800);上海市重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目(XTKX2012)

檀美英(1990-),女,碩士研究生.研究方向:孤立子與可積系統(tǒng).E-mail:tanmy1207@163.com

胡恒春(1976-),女,副教授.研究方向:孤立子與可積系統(tǒng).E-mail:hhengchun@163.com

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