一題為基一通百通

張文珠　周麗萍

概率問題的探究旨在讓同學(xué)們在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)和發(fā)展隨機(jī)觀念，初步形成用隨機(jī)觀念觀察和分析問題的意識.“等可能條件下的概率”是初中數(shù)學(xué)概率部分的重點(diǎn)，用樹狀圖或列表法列舉所有等可能事件的結(jié)果來計算概率是學(xué)好本章的關(guān)鍵，也是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容.本文以“摸球?qū)嶒灐睘榛灸Ｐ?，和同學(xué)們一起來探究在列舉的過程中如何有條理地思考，并把思考過程有序、直觀、簡捷地呈現(xiàn)出來，使得列舉的結(jié)果不重不漏，從而解決問題并形成解題模型，達(dá)到“一通百通”的目的.

一、一題為基，外形多變

例1 一只不透明的袋子中裝有1個白球和3個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，求摸到紅球的概率.

變1：一只不透明的袋子中裝有1個白球和3個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回，攪勻，再從中任意摸出1個球.求兩次都摸到紅球的概率.

變2：一只不透明的袋子中裝有1個白球和3個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后不放回，攪勻，再從中任意摸出1個球.求兩次都摸到紅球的概率.

變3：一只不透明的袋子中裝有1個白球和3個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出3個球.求三次都摸到紅球的概率.

【分析】 一問：“摸球幾次？”

請同學(xué)們仔細(xì)閱讀以上例題和變式，你會發(fā)現(xiàn)題目雷同卻存不同，在摸球?qū)嶒炛?，若摸一次球，則利用事件A發(fā)生的概率公式 P（A）=[mn]（m為事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)；n為所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)）直接計算概率，如上題中的“例題”直接可求出P（摸到紅球）=[34]；若摸球次數(shù)為2次或2次以上，則可以用樹狀圖或列表法列舉所有等可能事件的結(jié)果來計算概率.這“一問”是解題基礎(chǔ)，“摸幾次”的答案直接將題目進(jìn)行分類，從而將題目“定性”；若摸球次數(shù)為2次或2次以上，可根據(jù)摸球的次數(shù)再次將樹狀圖或表格進(jìn)行“定形”.所以，同學(xué)們在審題時，一定要找準(zhǔn)這審題第一問的答案，為以下解題筑好基礎(chǔ).

二問：“摸球以后放不放回？”

在多數(shù)摸球?qū)嶒炛?，摸球次?shù)為2次或2次以上，所以，“二問”將目光瞄準(zhǔn)了此類題目.同學(xué)們在審題過程中，要找準(zhǔn)摸球?qū)嶒灥囊?guī)則和方法，找準(zhǔn)關(guān)鍵詞“放回”“不放回”.如“變1”強(qiáng)調(diào)了“放回”，“變2”強(qiáng)調(diào)了“不放回”.此類題目在樹狀圖或表格法的繪制上略有不同，如下：

在變1、2題中，相同之處為摸球2 次，在樹狀圖中表現(xiàn)為樹狀圖分為兩層（如圖1、圖2）；在表格的繪制上表現(xiàn)為表格的第一行和第一列（如圖3、圖4）.若摸球3次（如變3題），則樹狀圖分為三層，以此類推.

兩張樹狀圖的不同之處在于圖1第二層每個枝丫下分了4支，圖2每個枝丫下則分為了3支；兩張表格的不同之處在實驗結(jié)果的矩形對角線上.導(dǎo)致這些不同之處的原因，相信同學(xué)們都已經(jīng)找到了答案，那就是摸球后“放不放回”起了關(guān)鍵性的作用.

由此可見，同學(xué)們在解題時，一定要找準(zhǔn)關(guān)鍵詞“放回”“不放回”，這是解此類概率題的易錯點(diǎn)，也是畫對樹狀圖和表格的重中之重.但是，有一類題沒有明確的導(dǎo)向性字眼，如變3題，敘述為“摸出3個球”，其試驗?zāi)Ｐ蜑椤安环呕亍?，這就需要同學(xué)們在審題時結(jié)合生活情境仔細(xì)分析，從而得出“放回”“不放回”的結(jié)論用于解題.這也需要同學(xué)們接觸題目時多思考多總結(jié)，找到題目特征，形成一套正確的判斷標(biāo)準(zhǔn).

三問：“樹狀圖和表格法哪個更適用？”

“工欲善其事，必先利其器”，只有選對了工具，才能事半功倍.在題目涉及用樹狀圖和表格法解決時，同學(xué)們要思考一下：“樹狀圖和表格法哪個更適用？”當(dāng)試驗中摸球2次，則樹狀圖和表格法都可以用.但實際繪制中可以發(fā)現(xiàn)，所有等可能事件的結(jié)果數(shù)量較少時，樹狀圖是一個很好的選擇；反之，所有等可能事件的結(jié)果數(shù)量較多時，表格法更加清晰明了.當(dāng)試驗中摸球3次或3次以上，則表格法就不適用了，這時樹狀圖更加適合.

【解答】當(dāng)審題三問都明確答案后，進(jìn)入解題程序：

第一步：用樹狀圖或列表法列舉所有等可能事件的結(jié)果；

第二步：結(jié)合題意挑選出符合要求的結(jié)果（為了不漏解，可在圖表上做上恰當(dāng)?shù)臉?biāo)注），并做好分析，如變1分析為“共有16種等可能的結(jié)果，其中‘2次都摸到紅球的有9種”；

第三步：計算概率，下好結(jié)論，如變1的計算過程為“P（2次都摸到紅球）=[916]，即2次都摸到紅球的概率是[916]”.

【點(diǎn)評】“等可能條件下的概率”中概率值的求得，一定要明確三個要點(diǎn)：1.明確題型列結(jié)果；2.找準(zhǔn)目的取所需；3.精準(zhǔn)計算得概率.第一個要點(diǎn)是在“三問”的基礎(chǔ)上得出的；第二個要點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了要根據(jù)題意明確目的找自己需要的結(jié)果，在這一環(huán)節(jié)上，同學(xué)們較容易犯錯，少解、漏解情況頻頻發(fā)生；第三個要點(diǎn)要注意計算的正確性.

二、一題為基，方法多解

例2 在一個盒子中裝有紅球、綠球、白球各1個，這三個球除顏色外都相同，小明先從盒子中摸出2個球后放回，小李再從盒子中摸出2個球.請用列表或畫樹狀圖法求他們摸到的4個球恰好包含所有顏色的概率.

【解答】設(shè)紅—R、綠—G、白—W；

法1：畫出樹狀圖：

共有36種等可能的結(jié)果，其中“4個球包含所有顏色”的結(jié)果有24種；

P（4個球包含所有顏色）=[2436]=[23]，

所以4個球包含所有顏色的概率為[23].

法2：畫出樹狀圖：

共有9種等可能的結(jié)果，其中“4個球包含所有顏色”的結(jié)果有6種.P（4個球包含所有顏色）=[69]=[23]，所以4個球包含所有顏色的概率為[23] .

法3：畫出樹狀圖：

共有9種等可能的結(jié)果，其中“4個球包含所有顏色”的結(jié)果有6種.P（4個球包含所有顏色）=[69]=[23]，所以4個球包含所有顏色的概率為[23].

【點(diǎn)評】法1體現(xiàn)了“一通百通”的精髓，即：摸球摸了4次，小明、小李摸球以后都不放回，但是在樹狀圖的繪制上較復(fù)雜，在找需要的等可能結(jié)果時工作量也較大，容易犯錯；法2用枚舉法直接列舉了小明、小李摸球2次的結(jié)果，將結(jié)果看成整體繪制樹狀圖，本質(zhì)為“不放回”，較為簡潔，但是在枚舉時容易遺漏；法3則是換了一個角度思考問題，考慮的是小明、小李摸球兩次后剩下的球，本質(zhì)為“不放回”，樹狀圖也較為簡潔，但是在找需要的等可能結(jié)果時也需要反向思維.三種方法在解題時都遵循了三要素：明確題型列結(jié)果；找準(zhǔn)目的取所需；精準(zhǔn)計算得概率.在解題過程中的“化繁為簡”也是同學(xué)們在方法、技巧學(xué)習(xí)上的一個升華，這樣往往能夠達(dá)到事半功倍的效果.

本章內(nèi)容緊密聯(lián)系生活實際，涉及的題目背景內(nèi)容寬泛，但萬變不離其宗，對于題目的“華麗變身”，我們要建立“摸球試驗”的模型，找異同、抓本質(zhì)，審題時緊扣“三問”、解題時踐行“三步”、檢驗時遵循“三要”，靈活機(jī)動考慮問題.相信同學(xué)們抓住了這些，就能做到真正的“一通百通”.

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區(qū)第一實驗學(xué)校）