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    突破“集中趨勢”,縮小“離散程度”

    2016-11-07 23:37:07張偉俊
    初中生世界·九年級 2016年10期
    關(guān)鍵詞:預(yù)賽平均數(shù)中位數(shù)

    張偉俊

    一、求平均數(shù)

    例1 (2016·江蘇鹽城)甲、乙兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)測試,各項成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?/p>

    如果數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐的成績按3:3:2:2計算,那么甲、乙的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績分別為多少分?

    【解析】運(yùn)用加權(quán)平均數(shù)的計算公式進(jìn)行計算:甲的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績?yōu)閇90×3+93×3+89×2+90×23+3+2+2]=90.7(分),乙的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績?yōu)閇94×3+92×3+94×2+86×23+3+2+2]=91.8(分).

    【點評】在實際生活中,一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)的重要程度并不總是相同的,有時有些數(shù)據(jù)比其他數(shù)據(jù)更重要.所以,我們在計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時,往往根據(jù)其重要程度,分別給每個數(shù)據(jù)一個“權(quán)”.一般地,對于n個數(shù)x1, x2,…, xn,它們的權(quán)依次為w1 , w2 ,…,wn,則稱 [x1w1+x2w2 +…+xnwnw1+w2 +…+wn]為這組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù).

    二、求中位數(shù)和眾數(shù)

    例2 (2016·江蘇蘇州)根據(jù)國家發(fā)改委實施“階梯水價”的有關(guān)文件要求,某市結(jié)合地方實際,決定從2016年1月1日起對居民生活用水按照新的“階梯水價”標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi),某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們在社會實踐活動中調(diào)查了30戶家庭某月的用水量,如下表所示:

    則這30戶家庭該月用水量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( ).

    A.25 ,27.5 B.25,25

    C.30 ,27.5 D.30,25

    【解析】由統(tǒng)計表可知,這組數(shù)據(jù)一共有30個數(shù)據(jù),分別是3個15,6個20,7個25,9個30和5個35,其中30出現(xiàn)的次數(shù)最多,達(dá)9次,因此所求眾數(shù)為30; 同時可以將這30個數(shù)據(jù)理解成是從小到大排列的,中位數(shù)是第15、16個數(shù)據(jù)的平均數(shù),由于第15、16個數(shù)據(jù)都是25,因此所求中位數(shù)為25.故選D.

    【點評】眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,處于最中間位置的一個數(shù),或者是處于最中間位置上的兩個數(shù)的平均數(shù).也就是說:如果一組數(shù)據(jù)共有n個,那么按照大小順序排列后,當(dāng)n為奇數(shù)時,中位數(shù)就是第[n+12]個數(shù),當(dāng)n為偶數(shù)時,中位數(shù)就是第[n2]、 ( [n2][+1])個數(shù)的平均數(shù).

    例3 (2016·山東威海)某電腦公司銷售部為了定制下個月的銷售計劃,對20位銷售員本月的銷售量進(jìn)行了統(tǒng)計,繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖,則這20位銷售人員本月銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)分別是( ).

    A. 19,20,14 B. 19,20,20

    C. 18.4,20,20 D. 18.4,25,20

    【解析】由扇形統(tǒng)計圖可知:銷售12臺的人數(shù)是20×20%=4(人),銷售14臺的人數(shù)是20×25%=5(人),銷售20臺的人數(shù)是20×40%=8(人),銷售30臺的人數(shù)是20×15%=3(人),所以這20位銷售人員本月銷售量的平均數(shù)為[12×4+14×5+20×8+30×320]=18.4(臺);把這些數(shù)從小到大排列,第10、11個數(shù)均為20,所以中位數(shù)為20;銷售20臺的人數(shù)最多,所以眾數(shù)為20.故答案選C.

    【點評】扇形統(tǒng)計圖中的信息,還可以直接理解成“12臺”的權(quán)為“20%”,“14臺”的權(quán)為“25%”,“20臺”的權(quán)為“40%”,“30臺”的權(quán)為“15%”,所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為12×20%+14×25%+20×40%+30×15%=18.4(臺);扇形統(tǒng)計圖中,從“12臺”起順時針方向排列可以看成是將數(shù)據(jù)從小到大排列,累計第50%、51%的位置都對應(yīng)“20臺”,所以中位數(shù)為20;“20臺”的權(quán)重最大,達(dá)“40%”,所以眾數(shù)為20.這樣一種理解,既簡單,也更趨于本質(zhì).

    三、求方差

    例4 (2016·四川達(dá)州)已知一組數(shù)據(jù)0,1,2,2,x,3的平均數(shù)是2,則這組數(shù)據(jù)的方差是 .

    【解析】由“這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2”易求得x=4,然后運(yùn)用方差公式求出這組數(shù)據(jù)的方差為=[16][(0-2)2+(1-2)2+(2-2)2+(2-2)2+(4-2)2+(3-2)2]=[53].故答案為[53].

    【點評】描述一組數(shù)據(jù)的離散程度的方差是指這組數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù),如果一組數(shù)據(jù)x1、 x2、…、xn 的平均數(shù)為[x],那么它的方差可表示為s2=[1n][(x1-[x])2+(x2-[x])2+…+(xn -[x])2].

    四、數(shù)據(jù)集中趨勢的靈活應(yīng)用

    例5 (2016·湖南懷化)某校進(jìn)行書法比賽,有39名同學(xué)參加預(yù)賽,只能有19名同學(xué)參加決賽,他們預(yù)賽的成績各不相同,其中一名同學(xué)想知道自己能否進(jìn)入決賽,不僅要了解自己的預(yù)賽成績,還要了解這39名同學(xué)預(yù)賽成績的( ).

    A. 平均數(shù) B. 中位數(shù)

    C. 方差 D. 眾數(shù)

    【解析】39個不同的成績按大小順序排列后,中位數(shù)之前的共有19個數(shù),所以只要知道自己的成績和中位數(shù)就可以知道是否進(jìn)入決賽.故答案選B.

    【點評】當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)的大小差異很大時,通常用中位數(shù)來描述這組數(shù)據(jù)的集中程度.中位數(shù)從“中等水平”的角度(位置處于“最中間”)描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢,克服了極端值對“平均水平”的影響.

    例6 (2015·浙江寧波)在端午節(jié)到來之前,學(xué)校食堂推薦了A,B,C三家粽子專賣店,對全校師生愛吃哪家店的粽子作調(diào)查,以決定最終向哪家店采購.下面的統(tǒng)計量中,最值得關(guān)注的是( ).

    A. 方差 B. 平均數(shù) C. 中位數(shù) D. 眾數(shù)

    【解析】學(xué)校食堂最應(yīng)該關(guān)注的是哪家粽子專賣店愛吃的人數(shù)最多,由于眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),所以學(xué)校食堂最應(yīng)該關(guān)注的是統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)的眾數(shù).故答案選D.

    【點評】眾數(shù)從“多數(shù)水平”的角度描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有較多重復(fù)數(shù)據(jù)時,通常選擇用眾數(shù)描述這組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

    五、數(shù)據(jù)離散程度的靈活應(yīng)用

    例7 (2016·河南)下表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運(yùn)動員最近幾次選拔賽成績的平均數(shù)與方差:

    根據(jù)表中數(shù)據(jù) ,要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動員參加比賽,應(yīng)該選擇( ).

    A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

    【解析】從平均數(shù)的角度看,甲、丙的平均水平相等,高于乙、丁,可以排除乙、丁兩人.從方差的角度看,甲的方差小于丙的方差,甲的發(fā)揮比丙穩(wěn)定.故答案選A.

    【點評】一組數(shù)據(jù)的方差越大,說明這組數(shù)據(jù)的離散程度越大,越不穩(wěn)定.題目中“成績好且發(fā)揮穩(wěn)定”,也就是要平均成績高且方差小,由此可以作出選擇.

    由上述題型可以看出,數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度在中考中的考查題型不多,難度不大,只要你能熟練理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差的意義和求法,你就一定能在這部分的考查中穩(wěn)操勝券.

    (作者單位:江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實驗中學(xué))

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