利用曲線擬合改善壓控衰減器精度的方法

湯先鵬,李柏渝,陳雷,吳禮杰,歐鋼

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073)

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利用曲線擬合改善壓控衰減器精度的方法

湯先鵬,李柏渝,陳雷,吳禮杰,歐鋼

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073)

針對(duì)衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)模擬發(fā)生器中,數(shù)控衰減器無(wú)法滿足功率控制的高精度需求的問(wèn)題,采用壓控衰減器代替,并提出基于移動(dòng)最小二乘曲線擬合的壓控衰減器精度改善方法。通過(guò)建立輸入與輸出的映射關(guān)系,根據(jù)期望衰減值得到精確的衰減控制字,進(jìn)而提高壓控衰減器的實(shí)際衰減精度。經(jīng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證,擬合的最大衰減誤差為0.1 dB,相比數(shù)控衰減器,誤差降低了80%.

移動(dòng)最小二乘法;壓控衰減器;曲線擬合;精度改善

0　引　言

數(shù)控衰減器的主要作用是對(duì)輸出的模擬導(dǎo)航信號(hào)進(jìn)行可控衰減,以使得輸出信號(hào)功率具有較大的動(dòng)態(tài)范圍。在實(shí)際工程應(yīng)用中,對(duì)數(shù)控衰減器的衰減精度有較高要求,以某專題實(shí)驗(yàn)為例,要求衰減誤差低于0.2 dB.目前市面上性能較優(yōu)的數(shù)控衰減器,其實(shí)際衰減精度不足0.5 dB.

由于壓控衰減器可由模擬電壓連續(xù)控制衰減值,故本文采用壓控衰減器實(shí)現(xiàn)信號(hào)的衰減控制。在實(shí)際應(yīng)用中,雖然衰減連續(xù)可調(diào),在大部分衰減范圍內(nèi),控制字(對(duì)應(yīng)控制電壓)與衰減值之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,但由于其衰減特性非線性,衰減值與控制字之間沒(méi)有明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系,無(wú)法實(shí)現(xiàn)便捷、高精度的衰減。

由于壓控衰減器的輸入輸出數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單易測(cè),可以采用曲線擬合的方法建立衰減值與輸入控制字之間的映射關(guān)系。根據(jù)此映射關(guān)系,由預(yù)期的衰減值可以得出相應(yīng)精確的控制字,以此實(shí)現(xiàn)高精度的衰減。

曲線擬合在統(tǒng)計(jì)、逆向工程和計(jì)算機(jī)圖形等方面有著廣泛的應(yīng)用[1-2],最小二乘法是曲線擬合的常用方法。但對(duì)于傳統(tǒng)的最小二乘法,當(dāng)數(shù)據(jù)量過(guò)大或曲線形狀復(fù)雜時(shí),需進(jìn)行分段擬合,且欲獲得較高擬合精度,需增大多項(xiàng)式階數(shù),不僅增加了計(jì)算量,且容易出現(xiàn)解病態(tài)方程組的問(wèn)題[3-5],使得最小二乘擬合的應(yīng)用受到一定的限制。

移動(dòng)最小二乘法作為一種近似估計(jì)算法是由Shepard[6]于上個(gè)世紀(jì)60年代提出的, 并最初應(yīng)用在固體力學(xué)領(lǐng)域[7];80年代初Lancaster和Salkauskas比較系統(tǒng)地提出了移動(dòng)最小二乘法[8],最先應(yīng)用于曲線和曲面擬合[9];之后,很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了進(jìn)一步的研究與改進(jìn)[10-13]。文獻(xiàn)[11]提出的改進(jìn)的移動(dòng)最小二乘法擬合精度較高,且求解過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)奇異矩陣問(wèn)題,但其基函數(shù)構(gòu)造復(fù)雜,計(jì)算量較大。針對(duì)上述問(wèn)題,本文基于傳統(tǒng)的移動(dòng)最小二乘法,通過(guò)理論推導(dǎo)得出了采用線性基的曲線擬合中,不出現(xiàn)奇異解的影響區(qū)域半徑下限公式,根據(jù)測(cè)試數(shù)據(jù)得出最優(yōu)的影響區(qū)域半徑,仿真和實(shí)測(cè)證明其具有精度較高、計(jì)算量小、便于硬件實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)。

1　移動(dòng)最小二乘擬合原理

1.1擬合函數(shù)

簡(jiǎn)要闡述標(biāo)量值的移動(dòng)最小二乘擬合原理[8,14-15].

假定測(cè)得一組一維離散數(shù)據(jù)(xI,yI),I=1,2,…,n.在擬合區(qū)域的某個(gè)子域內(nèi),點(diǎn)x處的節(jié)點(diǎn)擬合值y表示為

(1)

式中: p(x)=[p1(x),p2(x),…,pm(x)]T稱為基函數(shù); a(x)=[a1(x),a2(x),…,am(x)]T為待求的基函數(shù)系數(shù),它是坐標(biāo)x的函數(shù)。對(duì)于一維問(wèn)題,基函數(shù)p(x)的形式為

線性基:

p(x)=[1,x]T,m=2,

(2)

二次基:

p(x)=[1,x,x2]T,m=3.

(3)

移動(dòng)最小二乘擬合的準(zhǔn)則是,點(diǎn)x處的擬合值y與各已知節(jié)點(diǎn)值yI之差的平方帶權(quán)最小。定義以下泛函:

(4)

式中:ω(x-xI)是節(jié)點(diǎn)xI處的權(quán)函數(shù)。式(4)對(duì)a(x)求導(dǎo)并令其等于零得

(5)

a(x)=A-1(x)B(x)Y,

(6)

Y=[y1,y2,…,yn]T,將式(6)代入式(1)中,得到擬合函數(shù)

y=g(x)=pT(x)a(x)

=pT(x)A-1(x)B(x)Y.

(7)

即擬合得到坐標(biāo)點(diǎn)(x,y)。

1.2權(quán)函數(shù)

移動(dòng)最小二乘擬合的局部近似性是通過(guò)權(quán)函數(shù)得以實(shí)現(xiàn)的。常用的權(quán)函數(shù)有三次樣條函數(shù)和高斯函數(shù)。而由文獻(xiàn)[9]得出的結(jié)論,采用相同階次基函數(shù)時(shí),高斯函數(shù)擬合的精度不如三次樣條函數(shù),故本文采用三次樣條函數(shù)作為權(quán)函數(shù)。

三次樣條函數(shù)的表達(dá)式為

ω(s)=

(8)

1.3影響區(qū)域半徑下限公式

由1.2節(jié)對(duì)x影響區(qū)域的論述可知,當(dāng)擬合點(diǎn)為區(qū)間內(nèi)的任意值時(shí),d的選取就必須保證影響區(qū)域內(nèi)至少包含兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),則此時(shí)的d應(yīng)滿足下述條件:

(9)

式中,xI為數(shù)據(jù)點(diǎn)。將式(9)稱為采用線性基的移動(dòng)最小二乘曲線擬合的影響區(qū)域半徑下限公式。

(10)

此時(shí)有

(11)

即xM和xM+2均不在x的影響區(qū)域中,此時(shí)x的影響區(qū)域中最多存在數(shù)據(jù)點(diǎn)xM+1,式(6)為病態(tài)方程組,擬合會(huì)得出奇異解。

反之,當(dāng)d>d0時(shí),可得xM、xM+1和xM+2均在x的影響區(qū)域中,擬合不會(huì)出現(xiàn)奇異解。

2　壓控衰減器測(cè)試數(shù)據(jù)擬合

以采用本文方案的某專題實(shí)驗(yàn)為例,衰減控制模塊中的單片機(jī)Atmega64輸出10 bit控制字到壓控衰減器MAX19791內(nèi)置的數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)中,DAC將控制字轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的電壓輸出到衰減器中。因此,當(dāng)輸入信號(hào)功率固定時(shí),單片機(jī)依次寫入1 024個(gè)控制字,MAX19791就會(huì)輸出1 024個(gè)對(duì)應(yīng)的功率,就可得到1024個(gè)相應(yīng)的衰減值。

2.1數(shù)據(jù)測(cè)量

測(cè)試儀器采用Agilent E4421B信號(hào)發(fā)生器和Agilent E4416A功率計(jì)。常溫下,信號(hào)發(fā)生器輸出10 dBm單頻信號(hào),經(jīng)過(guò)MAX19791后輸入到功率計(jì)中。將寫入的控制字yk和相應(yīng)的衰減值xk記為數(shù)據(jù)點(diǎn)(xk,yk),k=0,1,2,…,1023.

除去衰減基本不變的高、低控制電壓段,僅利用衰減特性較好的控制字141～940間的測(cè)量數(shù)據(jù),將其記為(XJ,YJ),J=1,2,…,800.畫出數(shù)據(jù)點(diǎn)(XJ,YJ),J=1,2,…,800的曲線如圖1所示。

圖1　控制字隨衰減值變化曲線

由于每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都要參與移動(dòng)最小二乘擬合的運(yùn)算,故為了減輕單片機(jī)的存儲(chǔ)和計(jì)算壓力,應(yīng)在保證擬合精度的條件下適當(dāng)減少數(shù)據(jù)量。根據(jù)數(shù)據(jù)集(XJ,YJ),J=1,2,…,800,衰減值每間隔0.4 dB取一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為樣本,共得到96個(gè)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)即(xI,yI),I=1,2,…,96.

2.2影響區(qū)域半徑d的確定

擬合過(guò)程采用線性基p(x)=[1,x]T,運(yùn)行算法需確定擬合點(diǎn)x的影響區(qū)域半徑d.

2.2.1擬合精度

用式(12)定義擬合精度

(12)

2.2.2仿真

將測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)(XJ,YJ)全部作為待擬合點(diǎn)進(jìn)行擬合計(jì)算,其中,dj=0.52+(j-1)×0.02,j=1,2,…,100,即d分別取100個(gè)值。得到擬合精度隨影響區(qū)域半徑d的變化曲線如圖2所示。

圖2　擬合精度隨影響區(qū)域半徑d的變化曲線

由圖2可知,影響區(qū)域半徑越大,擬合精度越低。故對(duì)于本文的移動(dòng)最小二乘曲線擬合,d越小越好,同時(shí)還要滿足d>d0=0.51,故取d=0.52.

2.3擬合性能分析

取影響區(qū)域半徑d=0.52,擬合點(diǎn)同樣選擇(XJ,YJ),J=1,2,…,800.得到控制字的擬合曲線如圖3所示。

圖3　擬合與測(cè)量數(shù)據(jù)曲線

由圖3可知,擬合曲線與實(shí)測(cè)曲線高度吻合。在實(shí)際的工程應(yīng)用中,只關(guān)注使用擬合出的控制字去執(zhí)行衰減時(shí),其實(shí)際衰減值與預(yù)期衰減值之間的誤差。

經(jīng)測(cè)試,MAX19791性能穩(wěn)定,在控制字140到940之間,重復(fù)寫入同一控制字會(huì)得到相同的衰減,因此可認(rèn)為測(cè)量數(shù)據(jù)(XJ,YJ),J=1,2,…,800中,YJ為衰減XJdB的真實(shí)控制字。由此得到800個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合衰減誤差特性如表1和圖4所示。

表 1　擬合衰減誤差特性

圖4　擬合衰減誤差曲線

由表1和圖4可知,擬合的衰減誤差最大為0.1dB,相比于采用數(shù)控衰減器0.5dB的誤差,降低了80%,完全滿足0.2dB的工程需求,證明此方案是可行和有效的。

3　方案的硬件實(shí)現(xiàn)

在硬件實(shí)現(xiàn)中,PC將期望的衰減值輸入到單片機(jī)Atmega64中,Atmega64中的移動(dòng)最小二乘擬合算法根據(jù)輸入擬合出相應(yīng)的控制字以控制衰減器衰減。圖5所示為某專題實(shí)驗(yàn)中采用本文方案的衰減控制模塊。

圖5　衰減控制模塊實(shí)物

4　結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了移動(dòng)最小二乘擬合的原理,通過(guò)理論證明,得出了采用線性基的移動(dòng)最小二乘曲線擬合,不出現(xiàn)奇異解的影響區(qū)域半徑下限公式,此公式具有一定的理論和工程指導(dǎo)意義。基于壓控衰減器的特性,適當(dāng)篩選了測(cè)試數(shù)據(jù),并采用線性基作為曲線擬合的基函數(shù),減輕了處理器的存儲(chǔ)和計(jì)算壓力,使算法更易在硬件上實(shí)現(xiàn)。利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真,得到擬合精度隨影響區(qū)域半徑單調(diào)遞減的結(jié)論,從而確定了最優(yōu)影響區(qū)域半徑d.在此基礎(chǔ)上對(duì)壓控衰減器的輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行了曲線擬合,得到了輸入輸出間精確的映射關(guān)系。

經(jīng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證,采用本方案的MAX19791衰減絕對(duì)誤差不超過(guò)0.1dB,相比于數(shù)控衰減器,誤差降低了80%,滿足實(shí)際工程需求,驗(yàn)證了本方案的可行性和有效性。本文的研究也適用于其它類似的器件或系統(tǒng)。

在本文的研究過(guò)程中,我們發(fā)現(xiàn)有以下問(wèn)題尚待研究和解決:

1) 壓控衰減器的頻率穩(wěn)定性問(wèn)題。若通道內(nèi)允許多種頻率信號(hào)通過(guò),則不同頻點(diǎn)處的衰減特性不同,采用同一樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合會(huì)附加一定的誤差,需對(duì)此誤差進(jìn)行分析。

2) 壓控衰減器的溫度穩(wěn)定性問(wèn)題。壓控衰減器在相同頻點(diǎn)處的衰減特性會(huì)因環(huán)境溫度的變化而變化,需對(duì)由溫度帶來(lái)的擬合衰減誤差進(jìn)行分析研究。

致謝:感謝國(guó)防科大衛(wèi)星導(dǎo)航定位工程技術(shù)研究中心硬件射頻組對(duì)本文研究的支持!

[1] 葉晶,平雪良，陶宇，等.移動(dòng)最小二乘法在NURBS曲線擬合中的應(yīng)用[J].工具技術(shù),2011(15):34-36.

[2] 曾清紅,盧德唐.基于移動(dòng)最小二乘法的曲線曲面擬合[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2004(1):84-89.

[3] 馮康.數(shù)值計(jì)算方法[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,1978.

[4] 王惠文.偏最小二乘回歸方法及其應(yīng)用[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,1999.

[5] 易大義,沈云寶,李有法.計(jì)算方法[M].浙江:浙江大學(xué)出版社,1989.

[6]SHEPARDD.AtwodimensioninterpolationfunctionforirregularlyspacedData[C]//InProceedingsofthe1968 23rdACMNationalConference, 1968: 517-524.

[7] 劉丹,孫金瑋,魏國(guó),等.移動(dòng)最小二乘法在多功能傳感器數(shù)據(jù)重構(gòu)中的應(yīng)用[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2007,33(8):823-828.

[8]LANCASTERP,SALKAUSKASK.SurfacesgeneratedbymovingLeastSquaresmethods[J].MathematicsofComputation: 1981(37):141-158.

[9] 劉俊.移動(dòng)最小二乘散點(diǎn)曲線曲面擬合與插值的研究[D].浙江:浙江大學(xué)出版社,2011.

[10]MUKHERJEEYX,MUKHERJEES.Onboundaryconditionsintheelement-freeGalerkinmethod[J].ComputationalMechanics,1997(19):264-270.

[11]陳美娟,成玉民.改進(jìn)的移動(dòng)最小二乘法[J].力學(xué)季刊,2003,24(2):266-272.

[12]程玉民,陳美娟.彈性力學(xué)的邊界無(wú)單元法[J].力學(xué)學(xué)報(bào), 2003, 35 (2):181-186.

[13]程玉民.移動(dòng)最小二乘法研究進(jìn)展與述評(píng)[J].計(jì)算機(jī)輔助工程.2009,18(2):5-11.

[14]BELYTSEHKOT,KRONGAUZY,ORGAND, et al.Meshlessmethod:Anoverviewanddevelopments[J].ComputerMethodsinAppliedMechandEngineering,1996(139):3-47.

[15]YAGAWAG,FURUKAWAT.Recentdevelopmentsoffreemeshmethod[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering,2000(47):1419-1443.

[16]楊建軍,鄭健龍.移動(dòng)最小二乘法的近似穩(wěn)定性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2012,35(4):637-648.

The Method of Applying the Curve Fitting to Improve the Accuracy of Voltage Variable Attenuators

TANG Xianpeng,LI Baiyu,CHEN Lei,WU Lijie,OU Gang

(CollegeofElectronicScienceandEngineering,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073,China)

In satellite navigation signal simulators, digital attenuators cannot reach a high accuracy of power control. Replacing digital attenuators by voltage variable attenuators, a method for improving the accuracy of voltage variable attenuators with curve fitting based on moving least squares is proposed. By establishing the relationship between the inputs and outputs, the accuracy of the voltage variable attenuator can be improved using the precise control word derived from expected attenuation. Experiment results demonstrate that the maximum error of attenuation is 0.1dB, which decreases by 80% compared to digital attenuators.

Moving least squares; voltage variable attenuator; curve fitting; accuracy improvement

10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.04.003

2016-04-15

青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(編號(hào):61403413)

TN715+.1

A

1008-9268(2016)04-0012-05

湯先鵬(1991-),男,碩士生, 主要從事衛(wèi)星導(dǎo)航定位、射頻系統(tǒng)研究。

李柏渝(1982-),男, 博士, 講師,主要從事射頻系統(tǒng)、衛(wèi)星導(dǎo)航定位研究。

陳雷(1987-),男,博士生, 主要從事衛(wèi)星導(dǎo)航定位、GNSS信號(hào)快速捕獲研究。

吳禮杰(1985-),男,碩士,主要從事射頻系統(tǒng)研究。

歐鋼(1969-),男,教授,博士生導(dǎo)師,主要從事高精度衛(wèi)星導(dǎo)航定位與授時(shí)研究。

聯(lián)系人： 湯先鵬E-mail:xptang2016@126.com