學會推理放飛思維

甘小生 李朝暉

推理是由一個或幾個已知的判斷（前提）推導出一個未知結(jié)論的思維過程，是數(shù)學的基本思維方式。教學中如何讓學生通過觀察、實驗、歸納、類比等思維方法獲得數(shù)學猜想，并進一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例？又如何讓學生清晰、有條理地表達自己的思考過程并運用數(shù)學語言合乎邏輯地進行討論和質(zhì)疑呢？

人教版《數(shù)學》六年級上冊《數(shù)學廣角——數(shù)與形》一課旨在引導學生在數(shù)與形之間建立聯(lián)系、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學會用數(shù)學語言清晰地表達思考過程。難點是讓學生經(jīng)歷探索和驗證規(guī)律的過程，掌握數(shù)形結(jié)合、歸納推理的數(shù)學思想，增強觀察、歸納、類比、推理、探索規(guī)律的能力。筆者在教學中引導學生做了如下嘗試。

一、仔細觀察，發(fā)現(xiàn)異同，初見雛形

觀察是小學數(shù)學常用的一種學習方法，是一切發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)。教學中教師要讓學生明確觀察的目的和方法，引導學生將觀察與思考相結(jié)合，并在此基礎(chǔ)上進行總結(jié)和歸納。

教學伊始，筆者出示圖1、圖2、圖3，讓學生仔細觀察并思考：三個圖形有什么相同或相似的地方？相鄰兩個圖形之間有怎樣的關(guān)聯(lián)？學生思考后發(fā)現(xiàn)：每個大圖形都是正方形；圖2中有4個像圖1那樣的小正方形，圖3中有9個；圖2比圖1增加了3個小正方形，圖3比圖2增加了5個小正方形……這樣依次下去，各個圖形中的小正方形個數(shù)分別是1，4，9……即1，1+3，1+3+5……；下一個圖形與上一個圖形相比，在外圍增加一個“L”形圖形。每個圖形里每行與每列中小正方形個數(shù)相同。那么，又該如何用算式表示每個圖形里小正方形的個數(shù)呢？學生的算法有兩種：第一種—— 1×1=12=1（圖1），2×2=22=4（圖2），3×3=32=9（圖3）；第二種—— 1=1=12（圖1），1+3=4=22（圖2），1+3+5=9=32（圖3）。那么每個圖形與相對應(yīng)的算式又有什么關(guān)系？學生觀察后發(fā)現(xiàn)：算式左邊的加數(shù)是大正方形中右上角的小正方形和其它每一個“L”形圖形所包含的小正方形個數(shù)之和，算式右邊的數(shù)正好是每行或每列小正方形個數(shù)的平方。

以上教學中，筆者引導學生注意觀察圖形之間的相同或相似之處，觀察并思考圖形與數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。學生將嚴謹?shù)臄?shù)和直觀的形有機結(jié)合起來，既發(fā)現(xiàn)了數(shù)的特征，又發(fā)現(xiàn)了和的規(guī)律。

二、合理猜想，有效驗證，有序表述

建立在觀察、思考之上的合理猜想是探索數(shù)學規(guī)律和尋求數(shù)學本質(zhì)的一種有效策略。驗證是為了證明猜想的合理性和正確性，常用方法有列舉、歸納、動手操作等。提出猜想、驗證猜想的過程中能充分發(fā)掘?qū)W生的探究意識和創(chuàng)新潛能。

課中，筆者引導學生按照上面的發(fā)現(xiàn)提出自己的猜想，有學生提出：從1開始，幾個連續(xù)的奇數(shù)相加的和就是幾的平方。如何驗證這一猜想呢？筆者引導學生繼續(xù)思考“圖4” 可能是什么樣子？有幾個這樣的小正方形？怎么寫算式？“圖5”呢？學生思考后畫出了圖4、圖5，發(fā)現(xiàn)圖4中有16個小正方形，用算式表示是：1+3+5+7=42 ，圖5中有25個小正方形，用算式表示是：1+3+5+7+9=52。接著，筆者讓學生縱觀五幅圖及其對應(yīng)的算式“1=12”“1+3=4=22 ”“1+3+5=9=32”“1+3+5+7=42”“1+3+5+7+9=52”并用簡潔的數(shù)學語言表述一下其中的規(guī)律。學生指出：第幾個圖形，加數(shù)就有幾個；加數(shù)個數(shù)是幾，和就是幾的平方；算式左邊是從1開始連續(xù)的奇數(shù)的和，右邊是一個數(shù)的平方。

以上教學中，筆者主要引導學生通過計算和動手畫圖兩種方法驗證猜想，并在驗證過程中，鼓勵學生有條理地表述，正確歸納出規(guī)律。

（作者單位：武漢市黃陂區(qū)長嶺小學）