高階剪切理論下梯度直梁在熱環(huán)境中的靜動態(tài)響應(yīng)分析

常學平， 成志強， 柳葆生

(1.西南石油大學機電工程學院, 成都　610500;2.西南交通大學力學與工程學院, 成都　610031)

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高階剪切理論下梯度直梁在熱環(huán)境中的靜動態(tài)響應(yīng)分析

常學平1,2， 成志強2， 柳葆生2

(1.西南石油大學機電工程學院, 成都610500;2.西南交通大學力學與工程學院, 成都610031)

基于高階剪切變形梁理論研究了兩端不可移簡支功能梯度梁在橫向非均勻升溫下的熱屈曲和自由振動問題。首先依據(jù)高階剪切變形梁理論和Hamilton原理建立了功能梯度梁受熱-機載荷共同作用下的幾何非線性動力學控制方程；在研究靜態(tài)熱屈曲問題時，把方程退化成強非線性邊值問題，采用打靶法數(shù)值求解該邊值問題，獲得了橫向非均勻升溫下梁的屈曲構(gòu)型，繪出了梁的變形隨溫度載荷及材料梯度參數(shù)變化的特征關(guān)系曲線；研究動態(tài)響應(yīng)時，采用Navier方法數(shù)值求解所建立的動力學控制方程，獲得了橫向非均勻升溫下梁的自由振動響應(yīng)，數(shù)值比較了不同剪切理論下梁的前3解固有頻率隨跨高比、材料梯度參數(shù)變化的規(guī)律。結(jié)果表明，剪切變形、梁的跨高比、材料的非均勻性、溫度變化對于高階剪切功能梯度材料梁的變形及固有頻率有很顯著的影響。

高階剪切變形理論；功能梯度材料梁；熱屈曲；橫向非均勻升溫；自由振動

引　言

功能梯度材料(Functionally Graded Materials, FGMs)是一種新型非均勻復(fù)合材料，它以連續(xù)梯度變化的材料組分來代替?zhèn)鹘y(tǒng)復(fù)合材料的突變界面，消除了物理性能的突變，因而可較好地避免或降低應(yīng)力集中現(xiàn)象[1-2]。因此，F(xiàn)GMs在核反應(yīng)堆、航空航天、內(nèi)燃機、激光加熱等工程領(lǐng)域中具有潛在的應(yīng)用前景[1-3]，其結(jié)構(gòu)在熱載荷下的力學行為研究已成為固體力學一個活躍的研究方向[4-6]。

目前，對傳統(tǒng)復(fù)合材料梁以及功能梯度Euler梁和功能梯度Timoshenko梁、板在熱載荷作用下的靜、動態(tài)力學理論和數(shù)值分析已有一些研究成果。Sankar等[7]基于彈性力學基本理論推導出了FGM Euler梁的位移、應(yīng)力的簡化表達式；Chakraborty等[8]采用有限元法分析了具有FGM過渡層的Timoshenko夾層梁的彎曲和振動；Bhangale等[9]利用有限元法研究含有粘彈性層的功能梯度梁在熱環(huán)境下的屈曲與振動；Khdeir和Reddy[10-12]使用狀態(tài)空間法，研究了層合梁在經(jīng)典梁理論、一階剪切梁理論、高階剪切梁理論下的彎曲行為，獲得了各種邊界條件下精化梁的振動頻率和臨界屈曲載荷；夏賢坤和沈惠申[13]基于Reddy高階剪切變形理論和廣義von Karman型方程分別研究了FGM板和混雜鋪設(shè)的層合板在熱屈曲前和熱過屈曲狀態(tài)的非線性自由振動響應(yīng)，給出了頻率與溫度載荷的特征曲線；Zhu等[14]提出了求解在正弦分布力作用下，彈性模量沿厚度任意分布的FGM梁彎曲響應(yīng)的Fourier-Galerkin法；李世榮等[15]研究了材料性質(zhì)沿厚度按冪函數(shù)變化的功能梯度材料Timoshenko梁的熱過屈曲響應(yīng)，分析了不同材料梯度變化參數(shù)下梁的過屈曲撓度隨溫度載荷變化的規(guī)律。

本文在已有的研究基礎(chǔ)上，基于高階剪切變形梁理論和Hamilton原理建立了功能梯度梁受熱-機載荷共同作用下的幾何非線性動力學控制方程。采用打靶法和Navier方法分別數(shù)值求解了在橫向非均勻升溫下功能梯度材料梁的熱屈曲和自由振動響應(yīng)，獲得了高階剪切變形梁在熱壞境中的熱屈曲規(guī)律及動態(tài)響應(yīng)。

1　問題的數(shù)學模型

考慮一長為E、寬為E、高為E的功能梯度材料矩形截面梁。設(shè)軸向坐標為E，通過橫截面的幾何形心，橫向坐標為E，其坐標原點在變形前的幾何中面上。研究在橫向非均勻升溫下兩端不可移簡支(pinned-pinned)功能梯度材料梁的熱屈曲和振動特性。

1.1等效物性參數(shù)

考慮梁的材料性質(zhì)(彈性模量E、密度ρ、熱膨脹系數(shù)α等)沿厚度方向按冪函數(shù)變化；則Reddy等給出了表征功能梯度復(fù)合材料(FGMs)的物性參數(shù)冪函數(shù)形式。設(shè)陶瓷材料體積含量沿厚度方向的變化為：

(1)

式中n(0≤n≤∞)為陶瓷材料的體積分數(shù)指數(shù)。則功能梯度材料梁的物性參數(shù)P(z)是材料成分百分比的函數(shù)[15]

P(Z)=Pm+Vc(z)(Pc-Pm)

(2)

n取不同值代表組分含量不一的功能梯度材料，n=0時退化為均勻各向同性陶瓷梁，n→∞時為金屬梁。通常材料的泊松比v沿厚度方向變化很小，為了簡化計算，這里假定v為常數(shù)。

1.2幾何方程

基于von ka′rma′n幾何非線性高階剪切變形梁理論，其梁位移場可表示為

ψ(z)θ(x,t)

(3-a)

w(x,z,t)=w0(x,t)

(3-b)

式中：u0、w0為中面的位移；θ為中面法線剪切角。ψ(z)用來描述剪應(yīng)變沿截面高度的分布；為了便于比較，給出不同剪切理論對應(yīng)的ψ(z)表達式[10]；經(jīng)典梁理論(CBT)不考慮橫向剪切變形，其ψ(z)=0；一階剪切變形梁理論(FST)，取ψ(z)；高階剪切變形梁理論取ψ(z)=z[1-1/3(z/(h/2))2]。

相應(yīng)于位移場(1)的大撓度高階剪切梁，其內(nèi)任一點的應(yīng)變-位移關(guān)系為

εx=εx(0)+zkx+ψ(z)ηx

(4)

1.3物理關(guān)系

考慮材料為線性熱彈性，在熱環(huán)境下與上述應(yīng)變對應(yīng)的軸向應(yīng)力σx=和切向應(yīng)力τxz分別表示為

-E(z)α(z)ΔT(z,t)

(5)

(6)

其中，ΔT為溫度的變化。沿梁的厚度方向，積分得到梁的薄膜力、彎矩、高階彎矩和剪力表達式為

(7-a)

(7-b)

(7-c)

(7-d)

其中，C1、C2、C3、C4、C5、C6、B為剛度系數(shù)，定義為

(C1、C2、C3、C4、C5、C6)=

(8-a)

(8-b)

而NT、和ST分別為熱薄膜力、熱彎矩和高階熱彎矩。定義為

(9)

1.4運動方程及動力學控制方程

利用Hamilton原理

(10)

其中，T和U分別為功能梯度材料梁的動能和應(yīng)變能，δW為外力虛功。

通過變分運算可得梁的運動方程為

(11-a)

(11-b)

(11-c)

其中，方程等號右端符號“.”表示對時間t求導。其中I1、I2、I3、I4、I5、I6為單位面積等效質(zhì)量，分別定義為

(I1、I2、I3、I4、I5、I6)=

(12)

這里只考慮溫度載荷對結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，令qz=0。

將式(7-a)～式(7-d)、式(8-a)～式(8-b)、式(9-a)～式(9-b)代入式(11-a)～式(11-c)三式，考慮到式(4)，可得位移形式的動力學控制方程

(13-a)

(13-b)

(13-c)

為方便分析計算，采用如下無量綱變換

(ξ,U,W)=(x,u0,w0)/l；

NT=l2T/C4;λ=(l/h)2αmTm

(14-a)

(D1,D2,D3,D4,D5,D6)=

(l2C1,lC2,lC3,lC4,lC5,lC6)/C4

(14-b)

(F1,F2,F4,F5,F6)=

(l2I1,lI2,lI4,I5,I6)C3/I3

(14-c)

(14-d)

可得問題的無量綱控制方程

(15-a)

(15-b)

(15-c)

以及兩端不可移簡支(pinned-pinned)無量綱化的邊界條件

U(0,τ)=0, W(0,τ)=0 M(0,τ)=0

U(1,τ)=0, W(1,τ)=0, M(1,τ)=0

(16)

式(15-a)～式(15-c)構(gòu)成了功能梯度材料梁在濕熱載荷同時作用下的幾何非線性動力學無量綱控制方程，其中包含了軸向位移u0、W0，中面法線剪切角θ等3個基本未知函數(shù)，它們都是物質(zhì)坐標和時間的函數(shù)。

2　控制方程的求解

在分析梁的熱屈曲問題時，認為式(15-a)～式(15-c)與時間無關(guān)。即令方程等號右端為0，得

(17-a)

D4θ=0

(17-b)

(17-c)

由于方程式(17-a)～式(17-c)的強非線性和未知量之間的耦合效應(yīng)，很難獲得問題的解析解。因此，本文采用打靶法[15-16]尋求其數(shù)值解。首先，把兩點邊值問題轉(zhuǎn)化為包含待定初始參數(shù)的初值問題。然后采用Runge-Kutta方法和Newton-Raphson法有機結(jié)合的數(shù)值方法不斷調(diào)整這些未定的初始參數(shù)，使得初始問題的解也能滿足終點處的邊界條件，從而得到相應(yīng)的邊值問題的解。為了保證熱過屈曲解和振動解在采用變步長四階Runge-Kutta方法積分時具有相同的離散點，可將兩個邊值問題聯(lián)立求解。

在分析梁的自由振動時，采用分離變量[17]，設(shè)梁的位移函數(shù)為

(18-a)

(18-b)

(18-c)

將式(18-a)～式(18-c)進行無量綱變換后代入到式(15-a)～式(15-c)中，可得到在熱載荷作用下的自由振動的特征值問題無量綱方程。求解該方程，從而可獲得固有頻率以及相對應(yīng)的位移模態(tài)。

3　數(shù)值算例與討論

數(shù)值計算中，考慮梁為陶瓷氮化硅和金屬SUS304兩相材料制成的功能梯度材料，下表面為陶瓷，上表面為金屬。其組分的材料物性參數(shù)見表1。

表1　功能梯度梁的物性參數(shù)

將功能梯度梁退化為均勻各向同性梁，并考慮只受均勻升溫作用，得到無量綱臨界升溫的數(shù)值結(jié)果λcr=38.665，與精確解[18]λcr=4π2非常吻合。由此可說明本文理論分析和計算程序的正確性。

圖1為在高階剪切變形梁跨高比l/h=15，組分體積分數(shù)指數(shù)n=0下，取上下表面不同升溫比值Tr=1.0,15,30時所得到的無量綱最大撓度與無量綱升溫的關(guān)系曲線，此曲線為梁的熱過屈曲載荷-變形曲線，從圖1中可以看出，無量綱最大撓度W(1/2)隨無量綱溫度載荷的增大而相應(yīng)增大，且為非線性關(guān)系。從圖1中還可以看出，當λ為一定值時，隨著上下表面升溫比值的增大，無量綱最大撓度W(1/2)也增大，隨著Tr的增大，無量綱臨界溫度λcr反而減小。圖2給出了在高階剪切變形梁跨高比l/h=15，無量綱升溫λ=2、不同上下表面升溫比值分別Tr=1,2,3為時無量綱熱軸力NT與體積分數(shù)指數(shù)n的關(guān)系曲線。從圖2中可以看出，給定其它參數(shù)，當體積分數(shù)指數(shù)n增大時，熱軸力也相應(yīng)增大。隨著Tr的增大，熱軸力NT也增大。

圖1均勻材料梁最大撓度與無量綱溫度的關(guān)系曲線(l/h=15,n=0)

圖2無量綱熱軸力與的關(guān)系曲線(l/h=15,λ=2)

圖3給定不同升溫參數(shù)λ時W(1/2)與n的關(guān)系曲線

圖3分別比較了當l/h=20，上下表面不同升溫比值Tr=15時，不同溫度下高階剪切變形功能梯度材料梁的最大撓度隨體積分數(shù)指數(shù)n的變化關(guān)系。從圖3中可以看出，給定溫度參數(shù)λ=2,3,5,10時，最大撓度隨參數(shù)n的增加而增大，這是由于隨著體積分數(shù)指數(shù)n的增加，功能梯度材料梁中金屬SUS304的含量增加，陶瓷氮化硅含量減少，橫截面的抗拉和抗彎剛度隨n的增加而減少的緣故。因此FGM梁的抗彎剛度隨n的升高而降低。圖4 為給定不同彈性模量比值Ec/Em時高階剪切梁無量綱升溫λ隨參數(shù)n的變化關(guān)系，從圖4中可以看出，給定不同彈性模量比值Ec/Em=1.5,2.0,3.0時，無量綱升溫λ隨參數(shù)n的增大而逐漸減小，彈性模量比值Ec/Em越大，在同一體積分數(shù)指數(shù)n時，無量綱升溫越小。

圖4給定不同彈性模量比值時無量綱升溫λ=0與材料梯度因子n的關(guān)系

圖5和圖6分別給出了n=0、n=10的情形下，F(xiàn)GMs梁跨中撓度W(1/2)在不同的剪切理論作用下隨跨高比的變化情況，從圖中可以看出，各種剪切理論下梁的無量綱撓度隨著梁高跨比l/h的增加越來越接近，在2≤l/h≤6之間，高階剪切梁理論下功能梯度材料梁的無量綱撓度隨跨高比l/h的變化較大，而6

圖5n=0時不同剪切理論下無量綱撓度W(1/2)隨跨高比l/h變化曲線

圖6n=10不同剪切理論下無量綱撓度W(1/2) 隨跨高比l/h變化曲線

表2給出了在梁跨高比分別為l/h=2、l/h=5和l/h=10，梯度因子分別為n=0、N=4、N=5及N=10的情形下，采用不同剪切理論所得到的FGM梁前3階自然頻率，并與已有的文獻結(jié)果[19]進行比較來驗證結(jié)果的正確性?？梢钥闯?，經(jīng)典梁理論(CBT)預(yù)測的自然頻率比一階剪切理論(FST)和高階剪切理論(HST)所預(yù)測的自然頻率偏高。無量綱自然頻率隨梯度因子n的增大而減小。

表2　功能梯度梁前3階自然頻率的比較

4　結(jié)束語

基于von 幾何非線性高階剪切變形梁理論和Hamilton原理建立了功能梯度材料梁受熱-機載荷共同作用時的幾何非線性動力學控制方程。在研究靜態(tài)熱屈曲問題時，把方程退化成強非線性邊值問題，采用打靶法數(shù)值求解該邊值問題，獲得了橫向非均勻升溫下梁的屈曲構(gòu)型，繪出了梁的變形隨溫度載荷及材料梯度參數(shù)變化的特征關(guān)系曲線；研究動態(tài)響應(yīng)時，采用Navier方法數(shù)值求解所建立的動力學控制方程，獲得了橫向非均勻升溫下梁的自由振動響應(yīng)，數(shù)值比較了不同剪切理論下梁的前3階固有頻率隨跨高比、材料梯度參數(shù)變化的規(guī)律。結(jié)果表明，剪切變形、梁的跨高比、材料的非均勻性、溫度變化對于高階剪切功能梯度材料梁的變形及固有頻率有很顯著的影響。并且無量綱最大撓度隨無量綱溫度載荷的增大而相應(yīng)增大，且為非線性關(guān)系。當無量綱升溫參數(shù)為一定值時，隨著上下表面升溫比值的增大，無量綱最大撓度也增大，隨著上下表面升溫比值的增大，無量綱臨界溫度反而減小。

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The Static and Dynamic Response Analysis for Functionally Graded Materials Based on High Order Shear Under Heated

CHANGXueping1,2,CHENGZhiqiang2,LIUBaosheng2

(1.School of Mechatronic Engineering, Southwest Petroleum University, Chengdu 610500, China;2.School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

On the basis of the high order shear deformation beam theory, thermal buckling and free vibration of functionally graded beams with two-point boundary conditions were studied. Firstly, based on the high order shear deformation beam theory and the Hamilton principle, the geometric nonlinear dynamic control equations of the functionally graded beam were established. For the static thermal buckling problem, the equation was reduced into a nonlinear boundary value problem; numerical solution of the boundary value problem were obtained by using the shooting method; transversely non-uniform temperature rise buckling beam characteristic curves were plotted; and the law for deformation of the beam changing with the parameters of temperature gradient loading and material were obtained. Studying on dynamic response, dynamic control equations were solved by using Navier numerical method, and the free vibration response of the beam subjected to transverse non-uniform heating is obtained. Numerical comparison of the natural frequencies of the top 3 solutions with the span height ratio and the variation of the gradient parameters of the beam under different shear theory were made. The results showed that the shear deformation of beam, non-homogeneous materials, temperature change have a significant influence on the shear deformation and natural frequency of the beam.

high order shear deformation theory; functionally graded material beam; thermal buckling; transverse non-uniform heating; free vibration

2016-03-30

國家自然科學基金項目(51105319);四川省教育廳重點項目(15ZB0053)

常學平(1978-),男,寧夏中衛(wèi)人,講師,博士,主要從事計算力學、復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學等方面的研究,(E-mail)changxp@swpu.edu.cn

1673-1549(2016)03-0039-07

10.11863/j.suse.2016.03.09

TB115

A