具有免疫應(yīng)答的HIV感染模型的穩(wěn)定性

田海燕， 郭建敏， 郭彩霞

(大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 山西　大同　037009)

?

具有免疫應(yīng)答的HIV感染模型的穩(wěn)定性

田海燕， 郭建敏， 郭彩霞

(大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 山西大同037009)

建立具有HollingII感染率且考慮免疫應(yīng)答的HIV模型，討論系統(tǒng)解的非負(fù)性和有界性，得到確定模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的基本再生數(shù)，最后通過(guò)分析模型在平衡點(diǎn)處相應(yīng)的特征方程，利用微分方程基本理論，證明模型在正平衡點(diǎn)處是局部漸近穩(wěn)定的。即人類免疫缺陷病毒HIV將在個(gè)體體內(nèi)持續(xù)存在，并且免疫應(yīng)答會(huì)持續(xù)起作用，并用數(shù)值模擬驗(yàn)證結(jié)果。

病毒感染；穩(wěn)定性；免疫應(yīng)答；正平衡點(diǎn)

引　言

目前，傳染病仍然是人類身體健康的一大公敵，因?yàn)橐恍﹤魅静鞑ニ俣瓤欤苯佑绊懙饺祟惖纳婧桶l(fā)展。人類免疫缺陷病毒HIV是一種感染人類免疫系統(tǒng)細(xì)胞的慢性病毒，屬于反轉(zhuǎn)錄病毒的一種。1983年，人類免疫缺陷病毒在美國(guó)首次被發(fā)現(xiàn)。該病毒破壞人體的免疫能力，導(dǎo)致免疫系統(tǒng)失去抵抗力，從而導(dǎo)致人體感染各種疾病。HIV主要攻擊人體的T淋巴細(xì)胞系統(tǒng)，一旦侵入機(jī)體細(xì)胞，病毒將會(huì)和細(xì)胞整合在一起終生難以消除[1-5]。因此，建立傳染病的動(dòng)力學(xué)模型，研究其發(fā)病原因，流行規(guī)律，尤其是找尋相應(yīng)的防治措施和預(yù)防策略，已成為當(dāng)今世界需迫切解決的一個(gè)重大問(wèn)題。國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者在這方面也做了大量的研究[6-17]。為了描述易感染細(xì)胞、感染細(xì)胞以及病毒顆粒之間的關(guān)系，在1996年建立了基本的病毒動(dòng)力學(xué)模型[4]：

(1)

其中，x,y,z分別表示健康細(xì)胞、感染細(xì)胞以及病毒顆粒的數(shù)量。健康細(xì)胞的產(chǎn)生速率是常數(shù)λ，死亡速率為ax，健康細(xì)胞被感染的速率為βxz，死亡率為by，病毒顆粒的產(chǎn)生速率為cy，死亡率為dz。

然而考慮到病毒產(chǎn)生時(shí)存在時(shí)滯，并且對(duì)于細(xì)胞的感染率多考慮的是雙線性函數(shù)，因此，文獻(xiàn)[6]建立了時(shí)滯動(dòng)力學(xué)模型：

(2)

其中，τ表示受感染細(xì)胞釋放出病毒的時(shí)間，其他參數(shù)與模型(1)有相同的含義。

要為病毒感染提供更精確的模型，必須考慮免疫應(yīng)答。因?yàn)椴《靖腥竞?，機(jī)體會(huì)產(chǎn)生控制或者消除疾病的免疫應(yīng)答。當(dāng)病毒進(jìn)入易被感染的細(xì)胞后，機(jī)體中的巨噬細(xì)胞等會(huì)首先起作用殺死病毒，然后是CTL免疫細(xì)胞和抗體起作用，CTL免疫細(xì)胞的作用至關(guān)重要。因此，在研究病毒感染的模型中引入免疫應(yīng)答項(xiàng)是非常必要的[11-17]。文獻(xiàn)[15]研究了一類具免疫應(yīng)答和非線性感染函數(shù)的時(shí)滯HIV感染模型的全局穩(wěn)定性，在模型中引入了概率。文獻(xiàn)[16]建立了具有免疫反應(yīng)的時(shí)滯HIV模型：

該模型得出免疫時(shí)滯能影響模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)，隨著時(shí)滯的增大，穩(wěn)定性開(kāi)關(guān)發(fā)生，周期解出現(xiàn)。隨著時(shí)滯的進(jìn)一步增大，出現(xiàn)一系列Hopf分支，最終使得正平衡點(diǎn)不穩(wěn)定。文獻(xiàn)[17]提出模型：

說(shuō)明了時(shí)滯對(duì)正平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響。本文在文獻(xiàn)[6，16-17]的啟發(fā)下，研究具有CTL免疫應(yīng)答的動(dòng)力學(xué)模型：

(3)

1　基本性質(zhì)

假設(shè)系統(tǒng)(3)的初值為x0=x(0)>0，y0=y(0)≥0，v0=v(0)≥0，z0=z(0)≥0，根據(jù)泛函微分方程的基本理論，系統(tǒng)(3)的所有解都是非負(fù)的，且是有界的。即有如下的結(jié)論：

定理1在上述初始條件下，系統(tǒng)(3)的所有解都是非負(fù)的，并且一致有界，即存在M>0使得x(t)

證明解由系統(tǒng)(3)的每一個(gè)方程得：

顯然x(t)>0，z(t)≥0，若y(t)>0，則有v(t)>0成立。

2　正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

證明系統(tǒng)(3)在E*處的線性化方程組為：

因此，系統(tǒng)(3)在E*處的特征方程為：

λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4=0

其中，

(A+B+μ)(μA+μB+AB+M-N)-

μAB+aN-M(μ+B)=

μA2+μB2+μ2A+μ2B+A2B+AB2+

2μAB+AM-(A+B+μ)N+aN

又

μA-N=

于是有μ2A-μN(yùn)>0，μA2-AN>0，μAB-BN>0成立，所以a1a2-a3>0，且

(A+B+μ)[μA+μB+AB+M-N]·

[μAB-aN+(μ+B)M]-

[μAB-aN+(μ+B)M]2-(A+B+μ)2μBM=

(A+B+μ)AB(μAB-aN)+

μB(μAB-aN)(μ+B)+

(μA-N)MB(A+B)+MAB3+

(μA-N)μM(A+μ)+

(μA-N)(μAB-aN)(A+μ)+

MμAN+(μA-N)μAB2+AM(μAB-aN)+

MA2B2+aBMN+μAM2+ABM2+(B-a)aN2

所以由Routh-Hurwitz定理得，系統(tǒng)(3)在E*處的特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部，故平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定。

3　數(shù)值模擬

給定參數(shù)s=25，a=0.03，β=0.001 445 3，b=0.32，p=0.05，c=3.2，μ=1.8，q=0.2，k=0.3。

圖1數(shù)值模擬圖

從圖1形可知，模擬結(jié)果與定理2的理論結(jié)果一致。該系統(tǒng)的軌跡傾向于感染免疫平衡點(diǎn)E*=(805.12,1.5,2.67,4.88)，也就是在這種情況下，病毒感染是慢性的，但同時(shí)免疫應(yīng)答是持久的。

4　結(jié)束語(yǔ)

[1] 李益群,李建全,李琳.一類具有CTL作用的HIV感染模型的全局穩(wěn)定性[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2013,28(3):467-472.

[2]CUIFANGLV,LIHonghuang,ZHAOHuiyuan.GlobalstabilityforanHIV-1infectionmodelwithBeddington-DeAngelisincidencerateandCTLimmuneresponse[J].CommunNonlinearSciNumerSimulat2014,19(1):121-127.

[3]HUANGDongwei,ZHANGXiao,GUOYongfeng,etal.AnalysisofanHIVinfectionmodelwithtreatmentsanddelayedimmuneresponse[J].AppliedMathematicalModelling,2016,40(4):3081-3089.

[4]NOWAKMA,BONHOEFFERS,HILLAM,etal.ViralDynamicsinhepatitisBvirusinfection[J].ProceedingsoftheNationalacademyofSciencesoftheUnitedStatesofAmerica,1996,93(9):4398-4402.

[5] 眭鑫,劉賢寧,周林.具有潛伏細(xì)胞和CTL免疫反應(yīng)的HIV模型的穩(wěn)定性分析[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,34(5):23-27.

[6] 鄭重武,張鳳琴.一類具有感染時(shí)滯的HIV模型的穩(wěn)定性分析[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2010,40(13):247-252.

[7]ELAIWAM,AZOZSA.GlobalpropertiesofaclassofHIVinfectionmodelswithBeddington-DeAngelisfunctionalresponse[J].MathematicalMetheodsintheAppliedSciences,2013,36(4):779-794.

[8]KOROBEINIKOVA.Globalpropertiesofbasicvirusdynamicsmodels[J].BulletinofMathematicalBiology,2014,66(4):879-883.

[9] 張少輝,靳禎.具有非線性發(fā)生率的傳染病模型性態(tài)分析[J].中北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,33(4):353-357.

[10] 馬知恩,周義倉(cāng),王穩(wěn)地,等.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

[11]WANGXia,AHMEDE,SONGXinyu.GlobalpropertiesofadelayedHIVinfectionmodelwithCTLimmuneresponse[J].AppliedMathematicsandComputation,2012,218(18):9405-9414.

[12]TIANXiaohong,XURui.GlobalstabilityandHopfbifurcationofanHIV-1infectionmodelwithsaturationincidenceanddelayedCTLimmuneresponse[J].AppliedMathematicsandComputation,2014,237(15):146-154.

[13] 李素梅,羅勇,胡亦鄭.一類考慮CTL免疫反應(yīng)的病毒動(dòng)力學(xué)模型的定性分析[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2013,28(1):164-168.

[14] 陳利君,胡志興,廖福成.時(shí)滯和細(xì)胞免疫的HIV-1模型穩(wěn)定性分析[J].揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,18(4):19-23.

[15] 常俠,袁朝暉.一類具免疫應(yīng)答和非線性感染函數(shù)的時(shí)滯HIV-1感染模型的全局穩(wěn)定性[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2011,28(4):1-5.

[16] 陳美玲.具免疫應(yīng)答的時(shí)滯HIV感染模型動(dòng)力學(xué)性質(zhì)研究[D].衡陽(yáng):南華大學(xué),2010.

[17] 曹艷紅.具有免疫應(yīng)答和細(xì)胞內(nèi)部時(shí)滯的HIV感染模型的穩(wěn)定性分析[D].衡陽(yáng):南華大學(xué),2011.

StabilityofaHIVInfectionModelwithImmuneResponse

TIAN Haiyan, GUO Jianmin, GUO Caixia

(SchoolofMathematicsandComputerScience,DatongUniversity,Datong037009,China)

AHIVmodelwithHollingⅡinfectionrateandimmuneresponseisbuilt.Thenthenonnegativityandboundednessofthesolutionarediscussed,andthebasicreproductionnumberwhichdeterminesthedynamicalbehaviorsoftheinfectionmodelisobtained.Finally,byanalyzingcorrespondingcharacteristicequationatthepositiveequilibrium,itisproventhatthepositiveequilibriumislocallyasymptoticallystable.Thatis,HumanImmunodeficiencyVirus(HIV)persistsinbodyoftheinfectedindividuals,andnumericalsimulationsarecarriedouttosupporttheresult.

virusinfection;stability;immuneresponse;positiveequilibrium

2016-03-07

國(guó)家青年科學(xué)基金項(xiàng)目(11301312)；山西大同大學(xué)青年科學(xué)基金項(xiàng)目(2014Q10;2015K5)

田海燕(1984-)，女，山西朔州人，助教，碩士，主要從事微分方程方面的研究，(E-mail)tianhaiyan668@163.com

1673-1549(2016)03-0096-05

10.11863/j.suse.2016.03.20

O175

A