具有時滯增長反應和脈沖輸入的Monod-Haldane恒化器競爭模型

孔麗麗

（山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西大同037009）

具有時滯增長反應和脈沖輸入的Monod-Haldane恒化器競爭模型

孔麗麗

（山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西大同037009）

通過應用脈沖時滯微分方程的相關理論和方法，研究一類具有時滯增長反應和脈沖輸入營養(yǎng)基的Monod-Haldane型恒化器競爭模型，得到了微生物滅絕周期解全局吸引的充分條件。

時滯;脈沖;Monod-Haldane型恒化器模型;全局吸引

1 建立模型

恒化器模型是用于微生物培養(yǎng)的一種實驗裝置，可以用來模擬浮游生物的生長。本文考慮如下一類具有時滯和脈沖輸入營養(yǎng)基的Monod-Haldane型恒化器競爭模型

這里δi(S)=1+CiS2(t),(Ci＞0,i=1,2)。S(t)表示t時刻培養(yǎng)室中未消耗完營養(yǎng)基的濃度，x1(t),x2(t)表示在t時刻培養(yǎng)室中兩種不同微生物種群的濃度。S0和D是正數(shù)，它們分別表示微生物生長所需要營養(yǎng)基的濃度和恒化器的流速率。T=γ/D是脈沖周期，γS0是在每個脈沖T時刻控制流入培養(yǎng)基的量，DS0表示單位時間內平均被加入培養(yǎng)室中培養(yǎng)基的量。τi≥0(i=1,2)表示營養(yǎng)基向微生物轉化的時滯。是必不可少的，因為假設當前微生物的變化量依賴于τi(i=1,2)時刻前營養(yǎng)基的消耗量和τi(i=1,2)時間內微生物的死亡量，，并且S(t)在t=nT時刻左連續(xù)，即。

為了討論方便，我們做變換S(t)=S0x(t),xi(t)=δi(S)S0yi(t)系統(tǒng)變?yōu)?/p>

考慮到生物意義，我們總是假設系統(tǒng)(2)的解滿足初始條件：

2 概念和定義

微生物種群的滅絕性是指恒化器中的微生物完全消失，即yi(t)=0(i=1,2,t≥0)。因而給出下面的脈沖系統(tǒng)

引理1[1]系統(tǒng)(4)存在正周期解x*(t)，而系統(tǒng)(4)滿足初始條件x10≥0的任一解x(t)當t→∞時，|x(t)-x*(t)|→0。并且

(i)若x10≥γ/(1-e-DT)，則x(t)≥x*(t)；

(ii)若x10≤γ/(1-e-DT)，則x(t)＜x*(t)。

這里x*(t)=γe-D(t-nT)/(1-e-DT)t∈(nT,(n+1)T]，n∈N,x*(0)=γ/(1-e-DT)。

引理2[2]考慮下面的時滯微分方程:

其中r1,r2,τ都是正數(shù)，且當t∈[-τ,0]時,x(t)＞0。

3 微生物滅絕周期解的全局吸引性

由引理1知系統(tǒng)(2)有一個微生物滅絕周期解(x*(t),0,0)t∈(nT,(n+1)T],n∈N。接下來我們給出微生物滅絕周期解全局吸引的條件。

取

定理1若?1＜1，那么系統(tǒng)(2)的微生物滅絕周期解(x*(t),0,0)是全局吸引的。

證明假設系統(tǒng)(2)滿足初始條件(3)的任一解為(x(t),y1(t),y2(t))。由系統(tǒng)(2)的第二個方程可得

考慮下面的比較方程

注意到nT＜t≤(n+1)T，以及t=nT,x(t+)=x(t)+γ，我們考慮下面的比較系統(tǒng)

由引理1系統(tǒng)(8)存在全局漸近穩(wěn)定的T-周期解

又由脈沖微分方程的比較定理知?n1∈N+和?ε＞0，使得對所有的t＞n1T有

結合(9)和系統(tǒng)(2)的第二個方程可得

考慮比較方程

同理，可得當t→∞,y2(t)→0。

因此假設0＜yi(t)＜ε(i=1,2)。對于所有的t≥0，根據(jù)系統(tǒng)(2)的第一個方程，有x′(t)≥-(D++

考慮下面的脈沖系統(tǒng)

進一步，由系統(tǒng)(2)第一個方程可得：x′(t)≤-Dx(t)。因此考慮如下比較系統(tǒng)

得

即x(t)→x*(t),t→∞。

表1 系統(tǒng)（2）某些參數(shù)的臨界值（必須滿足?1＜1）

[1]MENG X Z H,ZHAO Q L,CHEN L S.Global qualitive analysis of Monod type chemostat model with delayed growed response and pulse input in polluted envinoment[J].Applied Mathematics and Mechanics,2008,29(1):75-87.

[2]YANG Kuang.Delay differential equations with applications in population dynamic[M].Califomia:Acadermic Press INC,1993.

[3]BAINOV D D,SIMEONOV P.Impulsive differential equations:periodic solutions and applications[M].Harlow:Longman Scientific and Technical Press,1993.

[4]李錄蘋,仝耀華.具有時滯和非線性發(fā)生率的SEIR脈沖接種模型[J].山西大同大學學報（自然科學版）,2014,30(5):5-6.

[5]仝耀華,李錄蘋.一類具有時滯的病毒自發(fā)變異的傳染病模型[J].山西大同大學學報（自然科學版）,2013,29(5):17-19.

A Monod-Haldane Chemostat Competitve Model with Delayed Growth Reponse and Impulsive Input

KONG Li-li
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

By applying the related theories and methods of the impulsive delay differential equation,studies a class of time delays growth response and impulsive input of nutrients Monod-Haldane chemostat competition model,the sufficient conditions for microor?ganism extinction periodic solution global attraction were got..

time delayed;impulsive input;Monod-Haldane chemostat model;global attractivity

O175

A

1674-0874(2016)05-0014-03

2016-03-08

孔麗麗(1984-),女，山西呂梁人，碩士，實驗師，研究方向：生物數(shù)學與計算機應用。

〔責任編輯 高?！?/p>