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    多變量CARMAX模型的在線修正參數(shù)預(yù)測濾波PID控制

    2016-11-03 05:21:56侯小秋
    關(guān)鍵詞:系統(tǒng)

    侯小秋

    (黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院, 哈爾濱 150022)

    ?

    多變量CARMAX模型的在線修正參數(shù)預(yù)測濾波PID控制

    侯小秋

    (黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院, 哈爾濱 150022)

    針對多變量CARMAX模型,采用系統(tǒng)的輸出預(yù)測值代替系統(tǒng)的當(dāng)前輸出值,提出具有預(yù)測控制性能的增量型預(yù)測濾波解耦PID控制算法。采用可克服病態(tài)的多變量系統(tǒng)的遺忘因子遞推最小二乘算法對被控對象進(jìn)行參數(shù)估計(jì),利用自校正預(yù)報(bào)顯式算法對系統(tǒng)輸出進(jìn)行預(yù)測,根據(jù)可克服算法病態(tài)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)自適應(yīng)控制算法和Robbins-Monro算法,給出了具有在線修正PID控制參數(shù)和加快PID控制參數(shù)收斂性能的多變量CARMAX模型的自適應(yīng)預(yù)測濾波解耦PID控制算法。仿真結(jié)果表明:改進(jìn)的PID控制算法具有預(yù)測控制性能和在線修正參數(shù)性能,系統(tǒng)具有較好的控制品質(zhì)。

    自適應(yīng)控制; 預(yù)測控制; PID控制; 參數(shù)估計(jì); 自校正預(yù)報(bào); 多變量系統(tǒng)

    0 引 言

    PID控制算法具有結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性好、可靠性高等優(yōu)點(diǎn),結(jié)合現(xiàn)代先進(jìn)控制理論,如自適應(yīng)控制、智能控制、模糊控制等,至今學(xué)者們已提出了一些具有預(yù)測控制性能的在線修正參數(shù)和整定參數(shù)的PID控制算法,這些算法結(jié)合了PID控制和先進(jìn)控制的優(yōu)異性能。文獻(xiàn)[1]研究了單變量CARMAX模型的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)PID控制,但所提出的算法無預(yù)測控制性能和無濾波性能,并且不具有加快PID控制參數(shù)的收斂速度的性能。文獻(xiàn)[2]研究了具有預(yù)測控制性能和濾波性能,并且具有加快PID控制參數(shù)收斂速度的單變量CARMAX模型的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)PID控制,文中研究多變量CARMAX模型的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)預(yù)測濾波解耦PID控制。

    1 參數(shù)估計(jì)與預(yù)測算法

    1.1多變量CARMAX模型

    設(shè)系統(tǒng)由多變量CARMAX模型描述

    A(q-1)y(t)=q-dB(q-1)u(t)+C(q-1)e(t),

    (1)

    式中:y(t)——m維輸出;

    u(t)——m維輸入;

    e(t)——零均值 ,方差為σ2的白噪聲m維向量序列;

    t——離散時(shí)刻;

    q——后移算子;

    d——系統(tǒng)的時(shí)滯;

    A(q-1),B(q-1),C(q-1)——矩陣多項(xiàng)式。

    A(q-1)=I+A1q-1+…+Anaq-na,

    B(q-1)=B0+B1q-1+…+Bnbq-nb,

    C(q-1)=I+C1q-1+…+Cncq-nc。

    式中:Ai、Bi、Ci——系數(shù)矩陣;

    na、nb、nc——階數(shù)。

    1.2改進(jìn)的可克服病態(tài)的遞推最小二乘算法

    將文獻(xiàn)[3]的可克服病態(tài)的遞推最小二乘算法推廣到多變量系統(tǒng),應(yīng)用于文中進(jìn)行參數(shù)估計(jì),并對其進(jìn)行改進(jìn),將待估參數(shù)準(zhǔn)則函數(shù)中的待估參數(shù)增量約束項(xiàng)的等權(quán)的加權(quán)因子改進(jìn)為不等權(quán)的時(shí)變的對角矩陣。

    將式(1)寫為如下分量形式

    yi(t+1)=fi[Y(t),U(t-d+1),E(t),θi]+

    ei(t+1),(i=1,2,…,m)

    (2)

    式中:yi(t+1)——y(t+1) 的分量;

    ei(t+1)——e(t+1)的分量;

    Y(t)——系統(tǒng)的輸出的集合;

    U(t-d+1)——系統(tǒng)的輸入的集合;

    E(t)——噪聲的集合;

    θi——fi(…)中的未知參數(shù);

    fi(…)——線性函數(shù)。

    參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)則函數(shù)

    (3)

    式中:N——離散時(shí)刻;

    μ——遺忘因子;

    λi(N)——權(quán)重對角矩陣;

    Ji,N(θi)——參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)則函數(shù)。

    (4)

    [3]的推導(dǎo)可得如下遺忘因子遞推最小二乘算法

    (5)

    (6)

    (7)

    (8)

    式中:Pi(N)——參數(shù)估計(jì)誤差協(xié)方差陣;

    φi(N)——fi(…)關(guān)于θi的梯度;

    1.3自校正預(yù)報(bào)顯示算法

    B(q-1)u(t+j-d),

    (9)

    (10)

    Fj(q-1)——矩陣多項(xiàng)式。

    C (q-1)=A (q-1)Fj(q-1)+q-jGj(q-1),

    式中,Gj(q-1)——矩陣多項(xiàng)式。

    Fj(q-1)=1+Fj,1q-1+…+Fj,(j-1)q-(j-1),

    Gj(q-1)=Gj,0+Gj,1q-1+…+Gj,ngiq-ngi,

    式中:ngj——階數(shù)。

    2 改進(jìn)直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)控制算法

    2.1直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)控制

    文獻(xiàn)[5]的算法應(yīng)用于文中,設(shè)控制器的形式為

    u(t)=η{η,φ(t),φr(t)},

    (11)

    式中 :η——控制器可調(diào)參數(shù)向量;

    φ(t)——系統(tǒng)輸出和輸入構(gòu)成的集合;

    φr(t)——系統(tǒng)輸入?yún)⒖夹盘杮r(t)}所形成的序列向量

    η(…)——m維向量控制函數(shù)。

    系統(tǒng)的輸入和輸出自然是隨η的改變而改變,以y(t,η)和 表示系統(tǒng)式(1)受式(11)控制時(shí)的輸出和輸入,要u(t,y)求選擇向量η使如下指標(biāo)函數(shù)達(dá)到極小化,

    V*(η)=Eg*{y(t,η),u(t,η),r(t)},

    (12)

    式中:V*(η)——指標(biāo)函數(shù);

    E(…)——求均值;

    g*(…)——函數(shù);

    r(t)——m維輸入?yún)⒖夹盘枴?/p>

    (13)Q(t)=Q(t-1)+ρ(t)·

    Q(t-1)]。

    (14)

    ρ(t)——收斂因子;

    Q(t)——Hessian矩陣。

    2.2改進(jìn)的可克服病態(tài)的自適應(yīng)控制算法

    式(14)的Q(t)矩陣有時(shí)出現(xiàn)病態(tài),導(dǎo)致式(13)(14)的算法出現(xiàn)病態(tài),為了使算法能克服病態(tài),參考文獻(xiàn)[3]的機(jī)理,對式(12)的指標(biāo)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn),在其中加入控制器可調(diào)參數(shù)向量的增量約束項(xiàng),提出一可克服病態(tài)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)控制算法,其指標(biāo)函數(shù)為

    (15)

    式中:V(η)——指標(biāo)函數(shù);

    g(…)——函數(shù);

    η(t)——t時(shí)刻的η。

    g*{y(t,η),u(t,η),r(t)}+

    (16)

    式中:λ(t)——控制器可調(diào)參數(shù)向量增量約束項(xiàng)的權(quán)重對角矩陣。

    λ(t)=diag{λ1(t),λ2(t),…,λn(t)},

    (17)

    式中:n——η的維數(shù)。

    由式(16)得

    (18)

    (19)

    (20)

    Q(t)=Q(t-1)+ρ(t)·

    λ2(t)-Q(t-1)]。

    (21)

    3 預(yù)測濾波解耦PID控制及閉環(huán)方程

    3.1多變量增量型預(yù)測濾波解耦PID控制

    不失一般性研究m=2的情形,傳統(tǒng)的多變量增量型濾波解耦PID控制為

    H(q-1)Δu1(t)=S1(q-1)[r1(t)-y1(t)],

    (22)

    式中: r1(t)——r(t)的分量;

    H(q-1),Δ,S1(q-1)——多項(xiàng)式。

    H(q-1)Δu2(t)=S2(q-1)[r2(t)-y2(t)],

    (23)

    式中:r2(t)——r(t)的分量;

    S2(q-1)——多項(xiàng)式。

    H(q-1)=1+h1q-1,

    Δ=1-q-1,

    S1(q-1)=s1,0+s1,1q-1+s1,2q-2,

    S2(q-1)=s2,0+s2,1q-1+s2,2q-2,

    式中 :h1,s1,0,s1,1,s1,2,s2,0,s2,1,s2,2為可調(diào)參數(shù),則η為

    ηT=[h1,s1,0,s1,1,s1,2,s2,0,s2,1,s2,2]。

    H(q-1)Δu1(t)=S1(q-1)[r1(t+d-1)-

    (24)

    H(q-1)Δu2(t)=S2(q-1)[γ2(t+d-1)-

    (25)

    3.2系統(tǒng)的閉環(huán)方程

    不失一般性研究m=2的情形,將式(1)寫成分量形式

    A11(q-1)y1(t)+A12(q-1)y2(t-1)=

    q-dB11(q-1)u1(t)+

    q-dB12(q-1)u2(t)+ω1(t),

    (26)

    A21(q-1)y1(t-1)+A22(q-1)y2(t)=

    q-dB21(q-1)u1(t)+

    q-dB22(q-1)u2(t)+ω2(t),

    (27)

    式中:ω1(t),ω2(t)——隨機(jī)干擾。

    Aij(q-1)由A(q-1)確定,Bij(q-1)由B(q1-)確定,ωi(t)由C(q-1)e(t)確定。

    將式(24)(25)代入式(26)(27)得系統(tǒng)的閉環(huán)方程為

    ΔHA11y1(t)+ΔHA12y2(t-1)=B11S1[r1(t-1)-

    (28)

    ΔHA21y1(t-1)+ΔHA22y2(t)=B21S1[r1(t-1)-

    (29)

    式中,H,A11等為H(q-1)和 A11(q-1)等的簡寫。

    4 η的梯度與二階導(dǎo)數(shù)矩陣

    4.1梯度表達(dá)式

    推導(dǎo)可得

    u1(t)+q-d-1[A'12ΔB22q-1-

    A'22ΔB12]u2(t),

    (30)

    u1(t)+q-d-1[A'21ΔB12q-1-

    A'11ΔB22]u2(t)

    (31)

    式中:T(q-1),A'11,A'12,A'21,A'22——多項(xiàng)式。

    A'11=ΔHA11+q-1B11S1,

    A'12=ΔHA12+q-1B12S2,

    A'21=ΔHA21+q-1B21S1,

    A'22=ΔHA22+q-1B22S2,

    T(q-1)=A'11A'22-q-1A'12A'21),

    (32)

    (33)

    同理,可得?y1(t)/?s2,i和?y2(t)/?s2,i。

    綜上,可得?y(t)/?η。

    由式(1)兩邊對ηi(i=1,2,…,7)求偏導(dǎo)得

    (34)

    由式(10)兩邊對ηi(i=1,2,…,7)求偏導(dǎo)得

    (35)

    4.2二階導(dǎo)數(shù)矩陣表達(dá)式

    推導(dǎo)可得

    q-d-2(A12Δ2B21q-1-A22Δ2B11)u1(t)+

    q-d-2(A12Δ2B22q-1-A22Δ2B12)u2(t)。

    (36)

    由式(34)兩邊對ηp求偏導(dǎo)可得

    (37)

    由式(35)兩邊對ηp求偏導(dǎo)可得

    (38)

    5 在線修正參數(shù)的預(yù)測濾波PID控制

    為加快PID參數(shù)收斂的速度,選取

    (39)

    由式(10)參考文獻(xiàn)[7,8]的機(jī)理,式(39)的指標(biāo)函數(shù)等價(jià)于如下指標(biāo)函數(shù)

    (40)

    式中:pi、λi——加權(quán)因子。

    將式(40)代入式(20)、(21)可得如下自適應(yīng)預(yù)測濾波PID控制

    [ui(t)-ui(t-1)]},

    (41)

    [ui(t)-ui(t-1)]+λ2(t)-Q(t-1)},

    (42)

    (43)

    6 仿真結(jié)果與分析

    被控對象為

    a1,11=-0.2+0.08t/400,

    a1,12=-0.14-0.08t/400,

    a1,21=-0.1-0.05t/400,

    a1,22=-0.13-0.05t/400,

    c1,11=0.6+0.1cos(2πt/200),

    c1,22=0.5+0.1sin(2πt/200)。

    隨機(jī)干擾ei(t)~N(0,1/10),i=(1,2)。

    系統(tǒng)的參考輸入

    輸入的飽和限幅為:

    U1max=0.6,

    U2max=0.4。

    PID控制的初始參數(shù)為:

    直接極小化算法中的Q(0)=10I,

    λ1=λ2=p1=p2=1,

    收斂因子

    參數(shù)估計(jì)的遺忘因子

    μ=0.98,P(0)=106I,

    待估參數(shù)的初始參數(shù)為

    采用MATLAB7.0語言編程仿真,圖1為系統(tǒng)響應(yīng)曲線,圖2為PID控制參數(shù)的修正曲線,限于篇幅只給出h1,s1,0,s2,0的修正曲線。由圖1a、b可知,采用無修正的初始參數(shù)控制的響應(yīng)曲線超調(diào)大,調(diào)節(jié)時(shí)間長,并且產(chǎn)生振蕩。由圖1c、d可知,在0≤t<100 時(shí),因PID控制參數(shù)還沒有收斂到有效值,故響應(yīng)的超調(diào)大,調(diào)節(jié)時(shí)間長,在100≤t≤400 時(shí),因PID控制參數(shù)已修正到有效值,故響應(yīng)的超調(diào)小,調(diào)節(jié)時(shí)間短。由圖2可知,參數(shù)在動態(tài)時(shí)進(jìn)行修正,在穩(wěn)態(tài)時(shí)停止修正,符合算法的物理性。

    a 無修正的y1(t)

    b 無修正的y2(t)

    d 有修正的y2(t)

    a 參數(shù)h1的修正曲線

    b 參數(shù)s1,0的修正曲線

    c 參數(shù)s2,0的修正曲線

    7 結(jié) 論

    (1)提出可克服病態(tài)的多變量系統(tǒng)的遺忘因子

    遞推最小二乘算法。

    (2)給出多變量系統(tǒng)的增量型預(yù)測濾波解耦PID控制。

    (3)算法的指標(biāo)函數(shù)中含有系統(tǒng)的輸出預(yù)測值,使算法具有加快PID控制參數(shù)收斂到有效值速度的性能。

    (4)具有柔化控制量變化減少對系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)沖擊的性能。

    (5)進(jìn)一步需研究算法的穩(wěn)定性和算法的收斂性,將算法推廣到非線性系統(tǒng)(雙線性系統(tǒng)、Hammerstein模型、NARMAX模型)。

    參考文獻(xiàn):

    [1]侯曉秋.直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)PID控制[J].黑龍江科技學(xué)院學(xué)報(bào), 2008,18(1): 47-50.

    [2]侯小秋.CARMAX模型的在線修正參數(shù)預(yù)測濾波PID控制[J]. 黑龍江科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2015, 25(6): 686-691.

    [3]蕭德云.系統(tǒng)辨識理論及應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,2014: 126-127.

    [4]馮純伯, 史維. 自適應(yīng)控制[M].北京:電子工業(yè)出版社,1986:104-105.

    [5]JUNG L, TRULESSON L E.Adaptive control based on explicit crirerion minimization[J]. IFAC 81 World Congress, Preprints , 1981, 1(7): 1-6.

    [6]蕭德云.系統(tǒng)辨識理論及應(yīng)用[M].北京: 清華大學(xué)出版社,2014: 189-192.

    [7]韓正之, 陳彭年, 陳樹中.自適應(yīng)控制[M].北京: 清華大學(xué)出版社, 2014: 115-120.

    [8]CHEN YENMING,WU YUNGCHUN. Modified recursive least-squares agorithm for parameter identification[J]. Int.J.System Sci., 1992, 23(2): 187-205.

    (編輯李德根)

    Prognosis-filtering PID control with on-line modifying parameter for multi-variables CARMAX model

    HOUXiaoqiu

    (School of Electronical & Control Engineering, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China)

    This paper proposes a novel algorithm for prognosis-filtering-decoupling PID control with on-line modifying parameter——an algorithm developed by using the forecast output values of the system instead of the current output values of the system in response to multi-variable CARMAX model. The algorithm study involves developing a multi-variable forgetting factor recursive least squares algorithm with solving ill-controlled; estimating the parameter of the controlled model by employing the algorithm; and developing an adaptive prognosis-filtering-decoupling PID control algorithm with the characterizations of on-line modifying parameter and speeding the convergence of PID control parameter for CARMAX Model with multivariable by employing the self-tuning prediction explicit algorithm to predict the system output, and drawing on the adaptive control algorithm with solving ill-controlled for direct minimization index function and the Robbins-Monro algorithm. The results indicate that the improved algorithm capable of prediction control and on-line parameters correction offers better control quality.

    adaptive control; predictive control; PID control;parameter estimation;self-tuning prediction; multi-variable system

    2015-12-16

    侯小秋(1965-),男,黑龍江省雙城人,副教授,碩士,研究方向:非線性控制,預(yù)測控制,自適應(yīng)控制,E-mail:hxq71265@163.com。

    10.3969/j.issn.2095-7262.2016.01.016

    TP273

    2095-7262(2016)01-0068-07

    A

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