用于光纖光柵曲線重建算法的坐標(biāo)點擬合

章亞男，肖　海，沈林勇

(上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院，上海 200072)

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用于光纖光柵曲線重建算法的坐標(biāo)點擬合

章亞男*，肖海，沈林勇

(上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院，上海 200072)

以光纖布拉格光柵(FBG) 曲線傳感器在結(jié)腸中的形狀檢測為背景，提出了一種基于Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)點擬合算法來提高光纖光柵曲線重建算法的精度。首先，將相互之間呈90°的四根光纖光柵貼在一根形狀記憶合金(SMA Styrene Maleic Anhydride)基材周圍，形成一根直徑為3 mm，長度為900 mm的光纖光柵曲線傳感器。接著，將該曲線傳感器分別放置在毫米方格紙以及圓柱體上進行二維和三維曲線的重建。通過曲線重建軟件讀出每個數(shù)據(jù)采集點的重建坐標(biāo)值，并與通過方格紙讀出的標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)值對比得出重建誤差， 從而得出兩種坐標(biāo)點擬合方法的優(yōu)劣。結(jié)果表明：使用基于Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)點擬合算法可有效提高重建精度。對提出的算法與常用的曲線重建算法進行了比較， 結(jié)果顯示：在接近光纖光柵應(yīng)變極限的情況下，使用基于Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)點擬合算法在單方向上能夠比原算法平均減小約3.5%～5.5%的誤差，為進一步提高光纖光柵形狀傳感系統(tǒng)的精度奠定了基礎(chǔ)。

光纖光柵；曲線重建算法；坐標(biāo)點擬合；Frenet標(biāo)架；形狀檢測

1　引　言

近年來，隨著智能傳感技術(shù)、生物醫(yī)學(xué)工程、計算機圖形學(xué)等學(xué)科的發(fā)展，傳統(tǒng)醫(yī)療器械的功能不斷增強。在無創(chuàng)及微創(chuàng)醫(yī)療領(lǐng)域，大多數(shù)場合都需要用到內(nèi)窺鏡作為手術(shù)檢查工具，如結(jié)腸檢查。不過，由于工作環(huán)境的復(fù)雜性以及形狀不可視等特點，傳統(tǒng)內(nèi)窺鏡在介入過程中容易發(fā)生刮擦、穿刺組織等危及病人生命的情況。因此，對穿入人體管道內(nèi)窺鏡的形狀探知是一項緊迫的任務(wù)。光纖光柵傳感器為解決內(nèi)窺鏡的形狀感知提供了一條可行的技術(shù)途徑，所以成為了近十多年來的研究開發(fā)熱點。作為新型傳感單元，國外的研究機構(gòu)利用FBG在組織活檢的探針導(dǎo)航[1]、心臟主動脈瓣植入[2]、脊柱變形檢測[3]等方面展開了一系列研究。上海大學(xué)智能醫(yī)療機器人研究小組也對基于光纖光柵的智能內(nèi)窺鏡感知系統(tǒng)進行了一系列研究[4-6]。這些研究表明，光纖光柵曲線傳感器能夠?qū)Y(jié)腸部位進行形狀重建，但傳感器末端的定位誤差依然有10%[7]，難以滿足實際要求。

在傳感器曲線重建算法方面，國內(nèi)外采取的基本思路如下：通過將采集到的FBG信號轉(zhuǎn)化為曲率，再利用微分幾何與計算機圖形學(xué)知識擬合出曲線形狀。文獻[8]描述了離散點曲率的連續(xù)化方法以及由曲率積分求曲線位置的擬合方法，文獻[9]提出了基于曲率信息的空間曲線擬合方法，文獻[10]使用OpenGL顯示技術(shù)實現(xiàn)了對傳感曲線的實時重建。上述研究中使用的曲線擬合算法較繁瑣且精度較低，而針對基于曲率信息的曲線擬合算法的精度改進研究尚不多見。

本文以FBG曲線傳感器在結(jié)腸中的形狀檢測為背景，從曲線重建算法出發(fā)提出了一種新的基于離散曲率信息的坐標(biāo)點擬合方法。對FBG曲線傳感器擺成的二維及三維實際曲線進行了多種坐標(biāo)點擬合法的對比研究，得出精度較高的算法，并計算出重建精度的提高程度。

2　FBG傳感系統(tǒng)的構(gòu)成及其工作原理

2.1光纖光柵的工作原理

圖1為光纖光柵的工作原理圖。首先在光纖外放置相位模板，再利用紫外線照射，使光纖內(nèi)產(chǎn)生柵格，從而改變了纖芯區(qū)的折射率，并讓折射率產(chǎn)生周期分布。寬帶光在光纖中傳輸時遇到柵點后將在相應(yīng)的頻率上得到反射，其余頻率的光則透射出，這樣便可任意刻出需要的反射頻率光的柵點。光纖布拉格光柵(Fiber Bragg Grating，F(xiàn)BG)的反射波長與折射率周期的關(guān)系為[11]：

λC=2·Λ·neff，

(1)

其中：Λ為光柵的柵格周期，neff是等效折射率。受外界力以及溫度變化的影響，F(xiàn)BG易發(fā)生反射波長漂移。應(yīng)力作用導(dǎo)致FBG折射率變化，進而改變了有效彈光系數(shù)；溫度變化導(dǎo)致FBG熱光系數(shù)與熱膨脹系數(shù)的改變。FBG的反射波長變化與應(yīng)變以及溫度的關(guān)系如下：

(2)

其中：ε是FBG軸向應(yīng)變，pe為有效彈光系數(shù)，α為熱膨脹系數(shù)，ξ為熱光常數(shù)。這里不考慮溫度變化，于是式(2)可簡化為：

(3)

圖1　光纖光柵傳感器的工作原理圖

2.2曲線傳感系統(tǒng)設(shè)計

實驗系統(tǒng)由傳感器模塊、解調(diào)系統(tǒng)、顯示硬件與軟件開發(fā)環(huán)境幾部分組成，如圖2所示。在傳感器設(shè)計方面，考慮到需要同時采集多個點的光柵中心波長以及光纖光柵具有的空分和波分特性，決定使用4根FBG圍繞在一根鎳鈦記憶合金周圍，并且相互間呈90°關(guān)系。每根光纖上布置5個光柵點，且每個光柵點的中心波長都不相同，光柵點間距為200 mm。1、2號光纖中光柵的位置與3、4號光纖中光柵的位置相互交錯，傳感部分總長為900 mm。一組相互垂直的光柵點可確定一個空間點的曲率信息，一共可確定10個空間點的曲率信息。

(a)光纖光柵傳感網(wǎng)絡(luò)示意圖

(b)光纖光柵間的位置關(guān)系圖

解調(diào)系統(tǒng)的采樣頻率為250 Hz，共有4條通道，每條通道可解調(diào)的波段為1 520～1 570 nm，能夠滿足傳感器所需的條件。解調(diào)系統(tǒng)通過以太網(wǎng)協(xié)議與顯示器硬件連接。實驗軟件是運用VS2010自帶的MFC框架功能編寫的應(yīng)用程序，結(jié)合了OpenGL顯示技術(shù)與Socket數(shù)據(jù)傳輸技術(shù)。通過獲取正交光柵點的波長信息，結(jié)合曲率樣條插值與三維曲線重構(gòu)算法實現(xiàn)了傳感器曲線的可視化顯示。

2.3曲線傳感器彎曲曲率算法

圖3為純彎曲狀態(tài)下基材與FBG的應(yīng)變關(guān)系。對于圓截面的細長彈性體而言，其曲率和應(yīng)變之間存在以下關(guān)系[6]：

(4)

其中：k為彈性體的彎曲曲率，h為上下兩個FBG的安裝中心的距離。可看出應(yīng)變和曲率呈線性關(guān)系，將式(4)代入式(3)可得到FBG中心波長變化量與曲率的關(guān)系：

(5)

其中：pe和λC為常數(shù)，則光柵的中心波長變化量ΔλC和彈性體的曲率k呈線性關(guān)系。K為曲率靈敏度系數(shù)，可通過標(biāo)定得出。對每個光柵點全部測量出應(yīng)變狀態(tài)下的波長值，再與無應(yīng)變狀態(tài)下的波長值相減后代入式(5)，即可求出相應(yīng)的曲率。每一個空間檢測點的合成曲率ksyn為：

(6)

其中：k1i，k2i，k3i和k4i分別代表4根光纖上不同光柵點測量并計算出的曲率值。同時可算出合成曲率與曲率分量的角度，從而為曲線坐標(biāo)擬合打下了基礎(chǔ)。

圖3　傳感器純彎曲示意圖

圖4為一根光纖在筆直狀態(tài)下的光柵中心波長頻域圖。從圖中可以看出，5個光柵點的中心波長相隔了一定的距離，這是為了防止相鄰兩個光柵點的中心波長在漂移后發(fā)生交錯重疊的現(xiàn)象。

圖4　光纖上各個光柵點的中心波長頻域圖

3　基于曲率信息的曲線重建關(guān)鍵算法

3.1離散曲率連續(xù)化分析

求出每一個光柵檢測點的彎曲曲率后，需使用一定的曲率連續(xù)化方法求出曲線上更多點的曲率，以便之后采用坐標(biāo)點擬合算法擬合出足夠多點的坐標(biāo)值。目前采用的曲率連續(xù)化插值法為線性插值法以及B樣條曲線插值法[12]。前者的運算時間較快，但由于曲率分割簡單，分割點的連接處不平滑，與實際產(chǎn)生的曲率曲線有一定的差距。后者解決了分割點連接處的光滑問題，但10個離散曲率檢測點的曲率不全在擬合出的曲率連續(xù)化曲線上，會產(chǎn)生一定的擬合誤差。為了解決以上問題，這里采取了三次樣條曲率插值法[13]。

假設(shè)曲率與弧長的關(guān)系為：

k(S)=ai+bi×(S-Si)+ci×(S-Si)2+

di×(S-Si)3，

(7)

式中：ai，bi，ci和di為4個待定系數(shù)，Si為第i個分割點離起點的弧長。曲線在第i個分割點滿足以下關(guān)系：

(8)

3.2坐標(biāo)點擬合算法的研究

坐標(biāo)點擬合的基本思路是根據(jù)分割點建立若干運動坐標(biāo)系，坐標(biāo)系原點即為曲線微段的起始點。在運動坐標(biāo)系中建立曲線微段的密切平面，在密切平面內(nèi)根據(jù)曲率信息完成微段末端點的坐標(biāo)計算。將若干密切平面內(nèi)的二維曲線連接則構(gòu)成了一條三維曲線。目前，常用的擬合算法將曲率方向作為運動坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，現(xiàn)提出一種基于Frenet標(biāo)架的擬合算法。

3.2.1曲率方向為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)點擬合算法

如圖5所示，絕對坐標(biāo)系為o-a0b0c0，其中c0方向沿著曲線初始微段的切線方向，a0，b0方向分別為曲線微段曲率的兩個分量方向，在彎曲變化的曲線上建立運動坐標(biāo)系o-abc，在初始狀態(tài)下運動坐標(biāo)系的方向定義與絕對坐標(biāo)系的一致。運動坐標(biāo)系中由ka和kb合成得到k，k的方向與空間曲線在該點處的單位法向量β方向相同，即k=|k|β。

圖5　曲率方向與坐標(biāo)軸重合時的擬合原理

Fig.5Fitting principle when curvature directions is coincident with coordinate axes

曲線微段的密切平面由微段的切向量和法向量確定，因此圖4中的π0和π1平面分別為兩個微段的密切平面。將絕對坐標(biāo)系記作{A}，第i點處的運動坐標(biāo)系記作{Bi}、曲率分量分別記作kai和kbi。通過kai和kbi可求出合成曲率ki，同時可求得ki與kai之間的夾角αi。得出點i的ki和αi后，便可確定下一點i+1在運動坐標(biāo)系{Bi}中的坐標(biāo)。這里假設(shè)i+1點在絕對坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為{xi+1，yi+1，zi+1}，該處的運動坐標(biāo)系為{Bi+1}。第i點的曲率絕對值為ki，弧長假設(shè)為ds，則對應(yīng)的圓弧圓心角為θi=ds×ki，通過圖4可計算出i+1點在{Bi}中的坐標(biāo)為：

(9)

接下來可以求出i+1點在絕對坐標(biāo)系{A}的值。設(shè)i點處的絕對坐標(biāo)系{A}轉(zhuǎn)換到相對坐標(biāo)系{Bi}的齊次轉(zhuǎn)換矩陣為[Ti]，即：

{Bi}=[Ti]{A}.

(10)

假設(shè)第i-1點到第i點的推導(dǎo)中已經(jīng)求得4×4 齊次矩陣[Ti]-1，當(dāng)最初絕對坐標(biāo)系與相對坐標(biāo)系重合時，[Ti]-1為單位矩陣。則i+1點在{A}中的坐標(biāo)可表示為：

(11)

最后，建立下一點i+1的運動坐標(biāo)系{Bi+1}以及確定i+1點的絕對坐標(biāo)。{Bi+1}坐標(biāo)系的原點就是i+1點，在{Bi}中的坐標(biāo)為{dai，dbi，dci}，{Bi+1}的c軸方向就是i+1點處曲線的切線方向。設(shè){Bi}轉(zhuǎn)換到{Bi+1}的齊次變換矩陣為[ti+1]，則有：

{Bi+1}=[ti+1]{Bi}.

(12)

[ti+1]的轉(zhuǎn)換步驟如下：

(3)將新坐標(biāo)繞著c″i軸旋轉(zhuǎn)-αi，使得下一點i+1的曲率方向ki+1與kai+1的夾角保持不變，相應(yīng)的轉(zhuǎn)換矩陣記作[Rci，-αi]；

(4)此時坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)完成，平移一個向量{dai，dbi，dci}即可得到[ti+1]。

記[Ri+1]=[Rci，αi][Rbi，θi][Rci，-αi]，則[ti+1]為：

(13)

設(shè){A}轉(zhuǎn)換到{Bi+1}的齊次變換矩陣為[Ti+1]，即：

{Bi+1}=[Ti+1]{A}.

(14)

由式(10)、式(12)和式(14)可得出：

[Ti+1]=[ti+1][Ti].

(15)

通過式(15)可求出i+1點的絕對位置坐標(biāo)。不斷循環(huán)以上步驟便可求出每一個微段末端點的絕對坐標(biāo)，將這些點全部連起來就完成了三維曲線的重建。

3.2.2基于Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)點擬合算法

在微分幾何中，曲線描述通常采用Frenet坐標(biāo)標(biāo)架[14]。如圖6所示，T為切向量方向；N為主法線方向，指向微段曲率的方向；B為副法線方向，三者關(guān)系為：B=T×N。

假設(shè)第i段曲線位于XOZ平面內(nèi)，可算出坐標(biāo)從Oi點移動至Oi+1點的平移量：

(16)

(17)

接著將坐標(biāo)系沿著Ti軸旋轉(zhuǎn)Δφi+1，此值為非負數(shù)，由下式求出：

(18)

(19)

(a)基于Frenet標(biāo)架的擬合原理圖

(b)主法線方向繞微段切線方向的旋轉(zhuǎn)變換

(b)Transformation scheme of principle normal rotating around tangent direction of micro-segment

圖6基于Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)點擬合算法

Fig.6Fitting algorithm of coordinate points based on Frenet frame

由此可得求解一個曲線微段的整個過程中運動坐標(biāo)系的變換矩陣：

(20)

通過此變換矩陣可建立出每一條曲線微段起始點處的運動坐標(biāo)系，從而求出末端點在運動坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。將這些坐標(biāo)全部轉(zhuǎn)化到絕對坐標(biāo)系x-y-z中，全部連接起來便擬合出一條三維曲線。

相比于曲率方向為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)點擬合算法，此算法首先需合成垂直方向上的曲率，并將其沿著Frenet標(biāo)架的N向放置。在計算運動坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)及平移變換時，每次只需沿兩根軸進行旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)平移即可。相比前者少了一次旋轉(zhuǎn)變換，減少了計算量，但準(zhǔn)確性得到了提升。

4　坐標(biāo)點擬合算法的驗證及對比

4.1二維曲線的擬合對比研究

將封裝好的曲線放置于二維毫米方格紙上，并彎曲成圖示的圓弧形式，彎曲后的傳感器的首尾光柵點的直線距離為600 mm。每一個數(shù)據(jù)采集點的精確坐標(biāo)通過毫米方格紙讀出，重建數(shù)據(jù)通過軟件讀出。圖7為實際及擬合的二維曲線。

(a)實驗二維曲線實際形狀(a)Real shape of 2D curve(b)實驗二維曲線擬合形狀(b)Fitting shape of 2D curve

Fig.7Shape and fitting graphs of real 2D curve

(a)X方向誤差對比圖

(b)Y方向誤差對比圖

圖8顯示了使用兩種坐標(biāo)點擬合法在每一個數(shù)據(jù)采集點的兩個方向上的絕對誤差對比圖。

表1總結(jié)了兩種坐標(biāo)點擬合法在實際曲線的兩個方向上和綜合的擬合誤差平均值以及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差。(綜合誤差為兩個方向誤差的方和根)

表1　二維曲線的擬合結(jié)果對比

由表1可計算出基于Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)點擬合算法在兩個方向上的平均絕對誤差減小率(曲率方向為坐標(biāo)軸擬合法的平均絕對誤差和基于Frenet標(biāo)架擬合法的平均絕對誤差的差值與前者的比值)分別為：X向3.2%、Y向2.0%，綜合誤差減小了2.5%。綜合圖7和表1可得出以下結(jié)論：

(1)在實際曲線的兩個方向上使用基于Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)點擬合方法的誤差均不大于曲率方向為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)點擬合方法的誤差；

(2)在綜合誤差方面，基于Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)點擬合算法的平均絕對誤差比曲率方向為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)點擬合算法的平均絕對誤差低，前者的擬合效果更好；

(3)通過測算得出光柵點的最大應(yīng)變量為2 355 με，離3 500 με的極限值還有差距。這說明曲線使用基于Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)點擬合算法至少能夠比曲率方向為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)點擬合算法在單方向上的誤差平均減小約2%～3.2%。

4.2三維曲線的擬合對比研究

對于三維實際曲線的驗證，本文首先在二維平面圖紙上畫出傾角為atan(1/9)的直線，再將它圍在直徑為450 mm的圓柱周圍，這樣便形成了一條等徑螺旋曲線。根據(jù)平面傾角和圓柱直徑可算出等徑螺旋曲線方程，再由每個數(shù)據(jù)采集點的弧長可確定相應(yīng)的理論坐標(biāo)值。測量時將傳感器沿著劃線部分依次放置，固定后通過軟件讀取重建數(shù)據(jù)。圖9為實際及擬合的三維曲線。

(a)實驗三維曲線實際形狀(a)Real shape of 3D curve(b)實驗三維曲線擬合形狀(b)Fitting shape of 3D curve

(a)X方向誤差對比圖

(c)Z方向誤差對比圖

圖10顯示了使用兩種坐標(biāo)點擬合法在每一個數(shù)據(jù)采集點的3個方向上的絕對誤差對比圖。

表2分別總結(jié)了兩種坐標(biāo)點擬合法在實際曲線的3個方向上和綜合的擬合誤差平均值以及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差。(綜合誤差為3個方向誤差的方和根)

表2　三維曲線的擬合結(jié)果對比

由表2可計算出基于Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)點擬合算法在3個方向上的平均絕對誤差減小率分別為：X向4.3%、Y向3.7%、Z向5.4%，綜合誤差減少了4.2%。綜合圖9和表2可得出以下結(jié)論：

(1)在實際曲線的3個方向上使用基于Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)點擬合方法的誤差均不大于曲率方向為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)點擬合方法的誤差；

(2)在綜合誤差方面，基于Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)擬合算法的平均絕對誤差比曲率方向為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)擬合算法低，說明前者的擬合效果更好；

(3)通過測量計算得出光柵點的最大應(yīng)變量為3 288 με，接近3 500 με的極限值。這說明傳感器在接近彎曲極限的情況下，使用基于Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)點擬合算法能夠比曲率方向為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)點擬合算法在單方向上的誤差平均減小約3.5%～5.5%。

5　結(jié)　論

本文以結(jié)腸內(nèi)窺鏡在檢測過程中的鏡體實時顯示為背景，將光纖光柵曲線傳感器作為研究對象，對比研究了曲率方向為坐標(biāo)軸以及基于Frenet標(biāo)架的兩種坐標(biāo)點擬合法。實驗結(jié)果表明：在基于曲率信息的二維及三維曲線擬合中，使用基于Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)點擬合算法來代替曲率方向為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)點擬合算法能夠有效提高曲線的重建精度。對于接近光纖光柵應(yīng)變極限情況下的曲線段而言，使用基于Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)點擬合算法在單方向上的誤差能夠比曲率方向為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)點擬合算法平均減小約3.5%～5.5%。本文研究為提升光纖光柵形狀傳感系統(tǒng)的精度打下了基礎(chǔ)。

另外，相鄰采樣點之間的微段數(shù)量也將影響曲線的重建精度，關(guān)于此方面的研究還有待開展，以便進一步提高曲線算法的重建精度。

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章亞男(1962-)，女，浙江紹興人，博士，教授，1982年于浙江大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，2011年于上海大學(xué)獲得博士學(xué)位，主要研究方向為數(shù)字醫(yī)療設(shè)備與光電傳感技術(shù)。E-mail: ynzhang@shu.edu.cn

肖海(1991-)，男，上海人，碩士研究生，2013年、2016年于上海大學(xué)分別獲得學(xué)士、碩士學(xué)位，主要研究方向為光纖光柵形狀傳感技術(shù)。E-mail: hai-xiao@163.com

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Coordinate point fitting in FBG curve reconstruction algorithm

ZHANG Ya-nan*， XIAO Hai， SHEN Lin-yong

(SchoolofMechatronicEngineeringandautomation，ShanghaiUniversity，Shanghai200072，China)*Correspondingauthor，E-mail：ynzhang@shu.edu.cn

To detect the shape of a Fiber Bragg Grating(FBG) sensor in a colon， a coordinate fitting method based on Frenet frame was proposed to improve the precision of the FBG curve reconstruction algorithm. Firstly， four FBGs perpendicular to each other were clinged to one Shape Memory Alloys(SMA) substrate. Hence， one FBG curve sensor with a diameter of 3 mm and a length of 900 mm was formed. Then， this sensor was put on a millimeter-square graph paper and a cylinder respectively to accomplish the reconstruction of 2D and 3D curves. Furthermore， every reconstructed value of data collection points was read from the curve reconstruction software and reconstruction errors were acquired by the contrast between the reconstructed values and the standard values read from the coordinate paper. Finally， the merit degree between two fitting methods was obtained. Experimental results show that the proposed coordinate fitting method based on Frenet frame effectively improves the reconstruction accuracy. When the FBG achieves their ultimate strain， the proposed fitting method can reduce the average error by 3.5%—5.5% at single direction， which lays a foundation for the precision upgrading of the FBG curve sensing system.

fiber Bragg grating; curve reconstruction algorithm; coordinate fitting; Frenet frame; shape detection

2016-03-04；

2016-05-19.

國家科技支撐計劃資助項目(No.2013BAK03B01-02)

1004-924X(2016)09-2149-09

TN253

A

10.3788/OPE.20162409.2149