一類Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題多解的存在性*

郭彩霞,任玉崗,郭建敏

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009)

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一類Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題多解的存在性*

郭彩霞,任玉崗,郭建敏

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009)

研究一類Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題:

分?jǐn)?shù)階微分方程 邊值問題 Leggett-Williams不動點定理

0 引言

分?jǐn)?shù)階微分方程在工程、化學(xué)、物理、生物等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，例如熱傳導(dǎo)領(lǐng)域和流體學(xué)領(lǐng)域[1-3],而且分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型克服了經(jīng)典整數(shù)階微分模型理論與實驗結(jié)果不吻合的缺點[4],因此研究分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題有著重要的意義.近年來，大量文獻(xiàn)報道微分方程[5-6]和分?jǐn)?shù)階微分方程[4,7-10]邊值問題解的存在性.2005年，當(dāng)1<α≤2時，Bai等[7]推導(dǎo)了分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

目前研究分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的主要工具有錐拉伸與錐壓縮不動點原理、Krasnoselskii不動點原理、Schauder不動點原理上下解等.本文利用Leggett-Williams不動點定理,參照文獻(xiàn)[9]中的方法研究Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

(0.1)

正解的存在性，其中1<α≤2，f:[0,+)×→[0,+)是連續(xù)的，是標(biāo)準(zhǔn)的Caputo微分.一方面，邊值問題(1)包含了文獻(xiàn)[9]的整數(shù)階微分方程邊值問題，推廣了文獻(xiàn)[9]的結(jié)果；另一方面，非線性項f范圍有所擴大.

1 預(yù)備知識

定義1.1[11]一個連續(xù)函數(shù)u:(0,+)→的α階Caputo導(dǎo)數(shù)定義為

其中α>0，n=[α]+1，[α]代表實數(shù)α的整數(shù)部分。上式右邊在(0,+)內(nèi)逐點有定義.

引理1.1[11]令α>0，若u∈ACn[0,1]或u∈Cn[0,1]，則

引理1.2 令α∈(1,2]，給定h∈C[0,1]，則

(1.1)

u′(0)=u(1)=0,

(1.2)

因此，(1.1)～(1.2)式的唯一解是

引理1.3 引理1.2中的G(t,s)有下列性質(zhì)：

(i)G(t,s)∈C([0,1]×[0,1],)且G(t,s)>0,t,s∈(0,1)；

0≤t≤1,

證明 (i)～(iii)顯然可得，只需證明(iv).

又

令γ,β,θ是錐P上的非負(fù)連續(xù)凸函數(shù)，α,ψ是錐P上的非負(fù)連續(xù)凹函數(shù)，那么對非負(fù)實數(shù)h,a,b,d和c，定義下列凸集：

P(γ,c)={u∈P:γ(u)

Q(γ,β,d,c)={u∈P:β(u)≤d,γ(u)≤c}，

P(γ,θ,α,a,b,c)={u∈P:a≤α(u),θ(u)≤b,γ(u)≤c}，

Q(γ,β,ψ,h,d,c)={u∈P:h≤ψ(u),β(u)≤d,γ(u)≤c}.

定理1.1[12]令E是一個實Banach空間，且P?E是一個錐.假設(shè)存在正數(shù)c和M，使錐P上的非負(fù)連續(xù)凹函數(shù)α,ψ及非負(fù)連續(xù)凸函數(shù)γ,β,θ滿足

(B1){u∈P(γ,θ,α,a,b,c):α(u)>a}≠?且α(F(u))>a,u∈P(γ,θ,α,a,b,c)；

(B2){u∈Q(γ,β,ψ,h,d,c):β(u)

(B3)若u∈P(γ,α,a,c)且θ(F(u))>b，則α(F(u))>a；

(B4)若u∈Q(γ,β,d,c)且ψ(F(u))

β(u1)

2 主要結(jié)果

α(u)≤β(u),

(2.1)

(2.2)

(H3)f(t,u(t))≤c αΓ(α),t∈[0,t3]∪[1-t3,1],u(t)∈[0,c].

那么，邊值問題(1)至少有3個正解u1,u2和u3,滿足

證明 在錐P上定義算子A為

因為

所以A:P→P連續(xù).由Arzela-Ascoli定理易證A:P→P是全連續(xù)的.

ds=b；

α(u1)>b,β(u2)a.

3 結(jié)論

本文研究了一類Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題多解的存在性.證明時，將微分方程邊值問題轉(zhuǎn)化為積分方程，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為討論積分算子不動點的問題，然后通過運用Leggett-Williams不動點定理該分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題至少有3個正解存在的結(jié)果，其中格林函數(shù)的性質(zhì)和非線性項的條件至關(guān)重要.

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(責(zé)任編輯：尹 闖)

Existence of Multiple Solutions for a Caputo Fractional Difference Equation Boundary Value Problem

GUO Caixia,REN Yugang,GUO Jianmin

(School of Mathematics and Computer Science,Datong University,Datong,Shanxi,037009,China)

We investigate the existence and multiplicity of positive solutions for nonlinear Caputo fractional differential equation boundary value problem

fractional difference equation,boundary value problem,Leggett-Williams fixed point theorems

2016-05-15

郭彩霞(1980-),女,講師,主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方面的研究，E-mail:iris-gcx@163.com(C.Guo)。

*國家自然科學(xué)基金項目(No.11271235),大同大學(xué)青年科研基金項目(2014Q10)和河南省高等學(xué)校重點科研計劃項目(15A110047)資助。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先數(shù)字出版時間：2016-09-13 【DOI】10.13656/j.cnki.gxkx.20160913.002

http://www.cnki.net/kcms/detail/45.1206.G3.20160913.0948.004.html

多解的存在性，其中1<α≤2，f:[0,+∞)×→[0,+∞)是連續(xù)的，是標(biāo)準(zhǔn)的Caputo微分.先將微分方程邊值問題轉(zhuǎn)化為積分方程，再轉(zhuǎn)化為積分算子不動點問題，最后利用Leggett-Williams不動點定理得出Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題至少有3個正解存在,其中格林函數(shù)的性質(zhì)和非線性項的條件至關(guān)重要.

O175.8

A

1005-9164(2016)04-0374-04

Where 1<α≤2，f:[0,+∞)×→[0,+∞) is continuous，andis the standard Caputo differentiation.In the process of proof,we first transform it into integral equation,then differential equation boundary value problem is further converted to discuss the problem of integral operator fixed point. Finally,by means of Leggett-Williams fixed point theorems on cone,existence results of at least three positive solutions are obtained.The properties of the Green function and the conditions of the nonlinear term is very important.

廣西科學(xué)Guangxi Sciences 2016,23(4):374～377