基于模糊分?jǐn)?shù)階PID的Stewart機(jī)構(gòu)的協(xié)同控制*

涂朝輝　高英杰　吳鳳和　劉凱磊

(①燕山大學(xué)河北省重型機(jī)械流體動(dòng)力傳輸與控制實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島066004；②先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(燕山大學(xué))，河北 秦皇島066004)

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基于模糊分?jǐn)?shù)階PID的Stewart機(jī)構(gòu)的協(xié)同控制*

涂朝輝①②高英杰①②吳鳳和①②劉凱磊①②

(①燕山大學(xué)河北省重型機(jī)械流體動(dòng)力傳輸與控制實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島066004；②先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(燕山大學(xué))，河北 秦皇島066004)

針對(duì)電液驅(qū)動(dòng)Stewart機(jī)構(gòu)的協(xié)同控制問(wèn)題，引入最小相關(guān)軸思想，采用相鄰交叉耦合結(jié)構(gòu)，以滿足機(jī)構(gòu)的多通道協(xié)同控制的要求。同時(shí)，針對(duì)機(jī)構(gòu)單通道閥控缸系統(tǒng)參數(shù)的時(shí)變以及非線性等特征，設(shè)計(jì)了模糊分?jǐn)?shù)階PID控制器，提出了基于相鄰交叉耦合結(jié)構(gòu)的模糊分?jǐn)?shù)階PID控制策略，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，研究結(jié)果表明該控制方法具有良好的跟蹤效果，能夠很好的實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的多通道協(xié)同控制。

Stewart機(jī)構(gòu)；運(yùn)動(dòng)學(xué)反解；交叉耦合；模糊控制；分?jǐn)?shù)階PID

電液驅(qū)動(dòng)Stewart機(jī)構(gòu)具有響應(yīng)快，剛度大，承載能力強(qiáng)，運(yùn)動(dòng)精度高等優(yōu)點(diǎn)[1]，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于并聯(lián)機(jī)床、模擬設(shè)備等諸多領(lǐng)域。Stewart機(jī)構(gòu)由6個(gè)液壓缸共同驅(qū)動(dòng)動(dòng)平臺(tái)工作，屬于多通道并聯(lián)系統(tǒng)。目前，多通道并聯(lián)閉環(huán)控制主要采用主從式控制策略以及多通道解耦控制策略。主從式控制更適用于子系統(tǒng)性能相近的被控對(duì)象[2]，而Stewart機(jī)構(gòu)通道間存在較強(qiáng)的耦合[3]，使得各通道間存在較大差異，因此，主從控制并不能取得很好的控制效果。很多學(xué)者通多對(duì)Stewart機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，得到了解耦控制規(guī)律，并針對(duì)某些工況取得了良好的控制效果[4-5]，然而由于Stewart機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型以及閥控缸模型的很多參數(shù)存在著變化，無(wú)法建立精確的數(shù)學(xué)模型，導(dǎo)致完整的解耦補(bǔ)償規(guī)律難以確定。針對(duì)這些問(wèn)題，本文基于交叉耦合控制結(jié)構(gòu)，引入同步誤差，使之與軌跡跟蹤誤差相結(jié)合用以對(duì)Stewart機(jī)構(gòu)各通道進(jìn)行控制。針對(duì)各通道閥控缸模型的時(shí)變和非線性等特點(diǎn)，為了避免對(duì)機(jī)構(gòu)精確數(shù)學(xué)模型的依賴，采用模糊控制與分?jǐn)?shù)階PID控制相結(jié)合的控制方式，實(shí)現(xiàn)了Stewart機(jī)構(gòu)的多通道協(xié)同控制。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該控制策略對(duì)提高Stewart機(jī)構(gòu)控制精度的有效性。

1　電液驅(qū)動(dòng)Stewart機(jī)構(gòu)模型

本文研究的Stewart機(jī)構(gòu)樣機(jī)如圖1a所示，機(jī)構(gòu)每個(gè)支鏈由液壓缸構(gòu)成一個(gè)移動(dòng)副，兩端分別通過(guò)球鉸與虎克鉸與上、下平臺(tái)連接，機(jī)構(gòu)的下平臺(tái)與地面固聯(lián)，上平臺(tái)為動(dòng)平臺(tái)，通過(guò)控制液壓缸運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)的空間位姿變化。

在機(jī)構(gòu)的上、下平臺(tái)中心分別建立坐標(biāo)系，如圖1c、d所示，A1～A6為上平臺(tái)鉸點(diǎn)，以ψ為夾角兩兩一組均勻分布在o′x′y′平面內(nèi)以o′為圓心半徑為的r圓上，B1～B6為下平臺(tái)鉸點(diǎn)，以ψ為夾角兩兩一組均勻分布在oxy平面內(nèi)以o為圓心半徑為R的圓上，li(i=1～6)表示第i條運(yùn)動(dòng)支鏈的長(zhǎng)度。

鉸點(diǎn)Ai(i=1～6)在坐標(biāo)系o′x′y′z′中坐標(biāo)可以表示為：

(1)

鉸點(diǎn)Bi(i=1～6)在坐標(biāo)系oxyz中坐標(biāo)可以表示為：

(2)

2　Stewart機(jī)構(gòu)的位置反解

根據(jù)坐標(biāo)變換公式，可以求解出鉸點(diǎn)Ai在定坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)：

TAi=TAi+P

(3)

式(3)中，TAi、P為3×1矩陣，TAi表示鉸點(diǎn)Ai在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，P表示動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)在參考系中的坐標(biāo)。T為3×3矩陣，表示動(dòng)平臺(tái)的方向余弦。根據(jù)Ai、Bi在定坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)值，可以很容易計(jì)算出每條支鏈液壓缸的位移：

(4)

式(4)中，lix、liy、liz為鉸點(diǎn)Ai、Bi在定坐標(biāo)系中的3個(gè)坐標(biāo)值的差值。

根據(jù)指定工況下的Stewart機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡與機(jī)構(gòu)參數(shù)，編寫(xiě)反解程序，可以對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行反解，得到機(jī)構(gòu)6個(gè)通道的輸入軌跡。

3　模糊分?jǐn)?shù)階PID協(xié)同控制策略

3.1相鄰交叉耦合控制結(jié)構(gòu)

電液驅(qū)動(dòng)Stewart機(jī)構(gòu)單通道閥控缸系統(tǒng)構(gòu)成如圖2所示，在此系統(tǒng)中，電液伺服閥控制對(duì)應(yīng)通道的液壓缸，各通道液壓缸的位移通過(guò)位移傳感器檢測(cè)，并與給定的輸入信號(hào)比較，通過(guò)系統(tǒng)輸入跟隨系統(tǒng)輸出。

(5)

依據(jù)最小相關(guān)軸思想，采用相鄰交叉耦合控制結(jié)構(gòu)[7]，即在對(duì)每條通道進(jìn)行控制的同時(shí)，考慮相鄰兩通道的影響，定義第i通道與相鄰兩通道的同步誤差分別為：

(6)

(7)

式(6)、(7)中， i=1～6，當(dāng)i=1時(shí)，i-1=6；當(dāng)i=6時(shí)，i+1=1。

在對(duì)每個(gè)通道的閥控缸進(jìn)行控制的同時(shí)，需要保證跟蹤誤差與同步誤差同時(shí)收斂于零，本文采用交叉耦合控制結(jié)構(gòu)，如圖3所示。由圖3可以看出，每個(gè)通道都需要包含一個(gè)誤差跟蹤控制器以及兩個(gè)同步誤差控制器，因此第i通道的閥控缸位移輸入量為：

(8)

3.2模糊分?jǐn)?shù)階PID控制器

由于各個(gè)通道閥控缸動(dòng)態(tài)特性不同，在控制過(guò)程中存在參數(shù)時(shí)變、非線性環(huán)節(jié)等。為了避免對(duì)精準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型的依賴，本文將模糊控制思想與分?jǐn)?shù)階PID控制相結(jié)合，設(shè)計(jì)了模糊分?jǐn)?shù)階PID控制器。

分?jǐn)?shù)階PID是傳統(tǒng)PID的廣義化形式，它包含一個(gè)積分階次λ和微分階次μ，λ和μ可以取(0,2)范圍內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，通過(guò)合理選擇控制參數(shù)，可以更好的調(diào)節(jié)控制器的動(dòng)態(tài)特性。其傳遞函數(shù)為[8]：

(9)

分?jǐn)?shù)階PID在時(shí)域內(nèi)的輸出表達(dá)式為：

(10)

對(duì)式(10)進(jìn)行離散化處理，分?jǐn)?shù)階PID的離散化形式為：

(11)

式(11)中，h為采樣周期，qn和dn為積分算子和微分算子，可用遞推公式(12)和(13)計(jì)算。

(12)

(13)

在分?jǐn)?shù)階PID的基礎(chǔ)上，增加模糊規(guī)則，設(shè)計(jì)模糊分?jǐn)?shù)階PID控制器，如圖4所示。以誤差eij和誤差變化率ecij作為輸入，對(duì)分?jǐn)?shù)階PID控制器的五個(gè)參數(shù)進(jìn)行在線自整定，使分?jǐn)?shù)階PID獲得新的參數(shù)，進(jìn)而對(duì)輸入誤差eij進(jìn)行控制。

定義描述輸入變量與輸出變量的語(yǔ)言模糊子集{NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB}={負(fù)大，負(fù)中，負(fù)小，零，正小，正中，正大}，各變量的隸屬度函數(shù)均取三角形分布，如圖5所示。通過(guò)總結(jié)專家經(jīng)驗(yàn)[9]，制定模糊控制規(guī)則表如表1所示。

根據(jù)公式(14)，完成分?jǐn)?shù)階PID的參數(shù)整定：

(14)

式(14)中，KP0、KI0、KD0、λ0、μ0為控制器的初始值，ΔKP、ΔKI、ΔKD、Δλ0和Δμ0為由模糊算法得到的輸出變量。

將整定后的參數(shù)代入公式(11)中，就可以得到單個(gè)控制器的輸出量uij，根據(jù)公式(8)進(jìn)一步計(jì)算，對(duì)每個(gè)通道的控制器進(jìn)行綜合，可以得到各個(gè)通道閥控缸信號(hào)輸入量ui。

4　實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

Stewart機(jī)構(gòu)單通道性能是機(jī)構(gòu)整體控制性能的重要保證，因此首先對(duì)單通道的性能及控制方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。

圖6為單通道階躍信號(hào)的實(shí)驗(yàn)曲線，從圖中可以看出，分?jǐn)?shù)階PID與傳統(tǒng)PID控制相比，超調(diào)量略有減小，且系統(tǒng)很快進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，模糊分?jǐn)?shù)階PID與分?jǐn)?shù)階PID相比，超調(diào)量明顯減小，雖然對(duì)系統(tǒng)的上升時(shí)間產(chǎn)生一定影響，但影響程度有限。整體而言，在模糊分?jǐn)?shù)階PID控制器的作用下，單通道系統(tǒng)具有良好的控制性能。

表1模糊規(guī)則表

ΔKP/ΔKI/ΔKD/λ/μeijNBNMNSZOPSPMPBecijNBPB/NB/PS/PB/NSPB/NB/NS/PB/PSPM/NM/NB/PB/ZOPM/NM/NB/PM/ZOPS/NS/NB/PM/ZOZO/ZO/NM/ZO/NBZO/ZO/PS/ZO/NBNMPB/NB/PS/PB/PSPB/NB/NS/PB/PSPM/NM/NB/PM/PSPS/NS/NM/PM/PSPS/NS/NM/PS/ZOZO/ZO/NS/ZO/NSNS/ZO/ZO/ZO/NMNSPM/NM/ZO/PM/PBPM/NM/NS/PM/PBPM/NS/NM/PS/PMPM/NS/NM/PS/PSZO/ZO/NS/ZO/ZONS/PS/NS/NS/NSNS/PS/ZO/NS/NMZOPM/NM/ZO/PM/PBPM/NM/NS/PS/PMPS/NS/NS/PS/PMZO/ZO/NS/ZO/PSNS/PS/NS/NS/ZONM/PM/NS/NS/NSNM/PM/ZO/NM/NMPSPS/NM/ZO/PS/PBPS/NS/ZO/PS/PMZO/ZO/ZO/ZO/PSNS/PS/ZO/NS/PSNS/PS/ZO/NS/ZONM/PM/ZO/NM/NSNM/PB/ZO/NM/NSPMPS/ZO/PB/ZO/PMZO/ZO/PS/ZO/PSNS/PS/PS/NS/PSNM/PS/PS/NM/PSNM/PM/PS/NM/ZONM/PB/PS/NB/NSNB/PB/PB/NB/NSPBZO/ZO/PB/ZO/NSZO/ZO/PM/ZO/ZONM/PS/PM/NS/ZONM/PM/PM/NM/ZONM/PM/PS/NB/ZONB/PB/PN/NB/NBNB/PB/PB/NB/NB

Stewart機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的六自由度運(yùn)動(dòng)中，在繞o′x′軸做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)工況下，6個(gè)通道的控制信號(hào)與運(yùn)動(dòng)軌跡各不相同，耦合最為嚴(yán)重。本文針對(duì)該自由度運(yùn)動(dòng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),令動(dòng)平臺(tái)以幅值為5°、周期為10 s的正弦運(yùn)動(dòng)為目標(biāo)軌跡，即動(dòng)平臺(tái)的方向余弦矩陣為：

(15)

Stewart機(jī)構(gòu)樣機(jī)初始位置(0,0,1900)，機(jī)構(gòu)參數(shù)如表2所示，結(jié)合公式(15)與公式(1)～(4)，可以完成Stewart機(jī)構(gòu)的反解，進(jìn)行機(jī)構(gòu)的協(xié)同控制。

表2機(jī)構(gòu)參數(shù)表

參數(shù)數(shù)值Stewart機(jī)構(gòu)下平臺(tái)半徑R/mm1050Stewart機(jī)構(gòu)上平臺(tái)半徑r/mm1020Stewart通道間夾角ψ/radπ/12

圖7為基于不同控制結(jié)構(gòu)的模糊分?jǐn)?shù)階PID控制器作用下的機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)響應(yīng)曲線，從圖中可以看出，系統(tǒng)在跟蹤目標(biāo)軌跡的過(guò)程中，在主從結(jié)構(gòu)控制器下的響應(yīng)曲線與在交叉耦合結(jié)構(gòu)控制器下的響應(yīng)曲線有明顯區(qū)別。

圖7a、b表明，采用交叉耦合控制結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的相位滯后與峰值處的誤差有明顯的改善。此外，由圖7c～f可以看出，由于機(jī)構(gòu)瞬間耦合所造成的其他自由度方向的牽連運(yùn)動(dòng)也明顯減小。因此，基于交叉耦合結(jié)構(gòu)的模糊分?jǐn)?shù)階PID控制器可以很好地協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)復(fù)雜的耦合關(guān)系。

5　結(jié)語(yǔ)

針對(duì)電液驅(qū)動(dòng)Stewart機(jī)構(gòu)，根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)反解方法，將機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的控制問(wèn)題分解成為機(jī)構(gòu)6個(gè)通道的協(xié)同控制問(wèn)題。采用同步誤差與跟蹤誤差相結(jié)合的方法描述機(jī)構(gòu)的協(xié)同控制精度，從Stewart機(jī)構(gòu)各通道運(yùn)動(dòng)的同步性出發(fā)，提出了相鄰交叉耦合控制結(jié)構(gòu)，并在此結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，采用模糊分?jǐn)?shù)階PID控制器對(duì)各通道的誤差進(jìn)行補(bǔ)償。實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)構(gòu)上平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的跟蹤控制。通過(guò)實(shí)驗(yàn)與其它幾種控制策略比較，該控制策略更適用于具有強(qiáng)力耦合與精確模型難以確定的復(fù)雜系統(tǒng)。

[1]黃真,孔令富,方躍法. 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論與控制[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社,1997.

[2]LiuR,SunJZ,LuoYQ,etal.ResearchonmultiMotorsynchronizationcontrolbasedontheringcouplingstrategyforcutterheaddrivingsystemofshieldmachines[J].AppliedMechanics&Materials, 2011, 52-54:65-72.

[3]何景峰, 葉正茂, 姜洪洲,等. 基于關(guān)節(jié)空間模型的并聯(lián)機(jī)器人耦合性分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2006, 42(6):161-165.

[4]徐東光, 董彥良, 吳盛林,等. 液壓驅(qū)動(dòng)Stewart平臺(tái)非線性自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2007, 43(3):223-227.

[5]皮陽(yáng)軍, 王宣銀, 李強(qiáng),等. 基于干擾觀測(cè)器的艦船運(yùn)動(dòng)模擬器非線性控制[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2010, 46(10):164-169.

[6]黃真,趙永生,趙鐵石. 高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社,2006.

[7]ShihYT,ChenCS,LeeAC.Anovelcross-couplingcontroldesignforBi-axismotion[J].InternationalJournalofMachineTools&Manufacture, 2002, 42(14):1539-1548.

[8]梁濤年, 陳建軍, 王媛,等. 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模糊自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器[J]. 北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 39(7):1040-1045.

[9]LuL,FengP,XueD.Variable-orderfuzzyfractionalPIDcontroller[J].IsaTransactions, 2015, 55:227-233.

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Cooperative control for Stewart mechanism based on fuzzy fractional order PID

TU Zhaohui①②, GAO Yingjie①②, WU Fenghe①②, LIU KaiLei①②

(①Hebei Provincial Key Laboratory of Heavy Machinery Fluid Power Transmission and Control, Yanshan University,Qinhuangdao 066004, CHN; ②Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science(Yanshan University), Ministry of Education of China, Qinhuangdao 066004, CHN)

As to the coordination control of electro-hydraulic Stewart mechanism, it applies minimum correlative axis theory and adjacent cross coupling structure, in order to meet the requirements of the mechanism’s multichannel coordination control. Meanwhile, considering the features such as alteration over time and nonlinearity of system parameters of the single channel valve-controlled cylinder, it designs a PID controller of obscure fractional order. It makes the obscure fractional order PID controlling strategy based on adjacent cross coupling structure. Besides, it carries out experimental studies, and the results show that the controlling method has fine tracking effects and coordination controls of the mechanism.

Stewart mechanism; inverse kinematic solution; cross coupling; fuzzy control; fractional order PID

TP242

A

10.19287/j.cnki.1005-2402.2016.10.011

涂朝輝，男，1984年生，博士研究生，主要研究方向?yàn)殡娨合到y(tǒng)的智能控制。

?靜)(

2016-07-05)

161015

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50875228)