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    例析指數(shù)函數(shù)有關(guān)問題

    2016-11-01 08:32:50安徽省太和中學(xué)阮飛
    青蘋果 2016年17期
    關(guān)鍵詞:指數(shù)函數(shù)定義域交點

    安徽省太和中學(xué) 阮飛

    例析指數(shù)函數(shù)有關(guān)問題

    安徽省太和中學(xué)阮飛

    在學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和函數(shù)的一般性質(zhì)的基礎(chǔ)上,我們具體研究的第一個重要函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)。在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)過程中,我們利用了觀察、分析、抽象、概括等方法,體會了從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等思想。我們要深入理解,不斷提高我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

    一、指數(shù)運算

    包含根式概念、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算等,重點理解指數(shù)冪的運算性質(zhì)。注意以下兩點:

    2.注意將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)、負(fù)指數(shù)化為正指數(shù)的運算順序,會用運算律求值和化簡。

    例1已知f(x)=3x,

    求證:(1)f(x+y)=f(x)·f(y)。

    證明(1)因為f(x)=3x,所以f(x)

    又因為f(x+y)=3x+y,所以f(x+y)=f(x)·f(y)。

    二、指數(shù)函數(shù)的概念

    主要考查指數(shù)函數(shù)的概念、指數(shù)函數(shù)及其復(fù)合函數(shù)的定義域和值域等。

    例2已知f(x)的定義域為(0,1),則f(3x)的定義域為_____。

    解析因為f(x)的定義域為(0,1),所以0<3x<1,

    所以x<0,故應(yīng)填(-∞,0)。

    因為函數(shù)f(t)圖像的對稱軸方程為t=3,

    評注指數(shù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)的模型主要有兩種:

    (1)y=f(ax),在用換元時要注意t=ax>0這個條件。(2)y=af(x),注意0<a<1,a>1和f(x)的定義域。

    三、指數(shù)函數(shù)圖像

    1.指數(shù)函數(shù)圖像特征

    例4下列命題正確的有____。

    (1)函數(shù)y=x0的圖像是一條直線。

    解析(1)x≠0,它表示的不是一條直線。

    (3)畫出函數(shù)y=x2,y=2x的圖像,它們在y軸左邊有一個交點,在y軸右邊還有交點(2,4)和(4,16),A∩B的元素個數(shù)是3。

    (4)由x2-2x>0,得x>2或x<0。

    綜上所述,正確命題是(2)(3)(4)。

    2.底數(shù)大小與指數(shù)函數(shù)圖像間的關(guān)系

    例5如圖,則a、b、c、d與1的大小關(guān)系是()。

    A.a<b<1<c<d

    B.b<a<1<d<c

    C.a<b<1<d<c

    D.1<a<b<c<d

    解析方法一:結(jié)合四個函數(shù)的圖像,由直線x=1與它們交點的縱坐標(biāo)可知b<a<1<d<c。

    方法二:在同一坐標(biāo)系中,指數(shù)函數(shù)在第一象限的圖像滿足“底大圖高”,結(jié)合圖像知選B。

    3.指數(shù)函數(shù)圖像的應(yīng)用

    由題意知,方程f(x)-m=0即f(x)=m有三個實根,則y=f(x)與y=m有3個交點即可,畫出圖像,數(shù)形結(jié)合可得m的取值范圍是(0,1)。

    評注函數(shù)的零點即函數(shù)對應(yīng)方程的根,一般可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題。我們可以畫出兩個函數(shù)的圖像,通過數(shù)形結(jié)合判斷交點個數(shù)。

    四、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

    1.利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較冪的大小

    因為y=2x是單調(diào)遞增函數(shù),

    所以y1>y3>y2,故選B。

    2.利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解不等式

    例8不等式2x2-x<4的解集為____。

    解析原不等式可以變形為2x2-x<22,則x2-x<2,解得-1<x<2,所以原不等式的解集為(-1,2)。

    解析當(dāng)x<1時,x-1<0,ex-1<1,則ex-1≤2恒成立,故x<1符合題意;

    綜上可知,x的取值范圍為(-∞,8]。評注分段函數(shù)問題需要分段考慮。

    五、幾種常見的含指數(shù)的函數(shù)

    1.f(x)+f(a-x)=常數(shù)

    評注根據(jù)求和的整體形式特征,我們可以猜測:f(-12)+f(13)=f(-11)+f(12)=f(-10)+ f(11)=…=f(0)+f(1),而它們有共同的特點:-12+13=-11+12=…=0+1=1,經(jīng)驗證,f(x)+f(1-x)=常數(shù),即可求得結(jié)果。

    2.復(fù)合函數(shù)y=a|x-m|+b(a>0,a≠1)的性質(zhì)

    例11若函數(shù)f(x)=2|x-a|(a∈R)滿足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)單調(diào)遞增,則實數(shù)m的

    最小值等于____。

    解析函數(shù)f(x)=2|x-a|(a∈R)的圖像關(guān)于直線x=a對稱,

    又由f(1+x)=f(1-x)得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,故a=1,

    由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得f(x)在[1,+∞)遞增,故m≥1,

    所以實數(shù)m的最小值等于1。

    評注函數(shù)y=a|x-m|+b(a>0,a≠1)的圖像關(guān)于直線x=m對稱。利用函數(shù)的對稱性確定a的值,利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(內(nèi)外函數(shù)“同增異減”)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,從而求得參數(shù)的取值范圍。

    求證:(1)[g(x)]2-[f(x)]2=1。

    (2)f(2x)=2f(x)·g(x)。

    (3)g(2x)=[g(x]2+[f(x)]2。

    所以[g(x)]2-[f(x)]2=[g(x)+f(x)][g(x)-f(x)]

    原式得證。

    所以f(2x)=2f(x)·g(x)。

    所以g(2x)=[g(x)]2+[f(x)]2。

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