參數(shù)不確定性估計(jì)的隨機(jī)響應(yīng)面模型修正方法

方圣恩 張秋虎 林友勤 張笑華

摘要： 正確估計(jì)實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中參數(shù)和響應(yīng)不確定性的大小，能有效提高分析結(jié)果的可靠性。首先基于概率配點(diǎn)法和回歸分析建立隨機(jī)響應(yīng)面模型，以表述不確定性參數(shù)與響應(yīng)間復(fù)雜的隱式函數(shù)關(guān)系，快速估計(jì)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征值；然后提出一種兩階段修正策略，分步修正參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，以簡化隨機(jī)修正過程、提高修正效率；最后基于一組55塊鋼板的實(shí)測(cè)頻率均值和標(biāo)準(zhǔn)差，估計(jì)鋼板厚度和材料參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征值，驗(yàn)證方法的可行性和可靠性。關(guān)鍵詞： 隨機(jī)模型修正； 參數(shù)不確定性； 隨機(jī)響應(yīng)面模型； 兩階段修正策略

中圖分類號(hào)：O327； TU311.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 10044523（2016）04059409

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.04.005

引言

傳統(tǒng)模型修正方法[12]基本上都是確定性方法，無法考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)和響應(yīng)中存在的不確定性。然而不確定性在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中普遍存在[3]，比如材料離散性、幾何尺寸制造誤差、測(cè)量噪聲[4]等，可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)靜動(dòng)力分析結(jié)果產(chǎn)生偏差。因此，模型修正過程考慮上述不確定性往往是十分必要的[5]?？梢詫⒋_定性方法拓展[67]或結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)方法建立隨機(jī)模型修正（Stochastic model updating）過程[8]，以正確估計(jì)參數(shù)和響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征值。

工程分析中通常存在兩類不確定性：偶然型不確定性（Aleatory uncertainty）和認(rèn)知型不確定性（Epistemic uncertainty）[9]。前者一般指結(jié)構(gòu)或構(gòu)件所固有的幾何尺寸和材料特性變異性，可以被量化，但無法避免或人為消除；后者是由于認(rèn)知上的不足（比如僅有少量的測(cè)試數(shù)據(jù)或測(cè)試過程存在噪聲）所導(dǎo)致，可以通過完善相關(guān)信息來減少甚至消除。早期的概率模型修正方法基于最小方差估計(jì)來建立優(yōu)化反演問題，即通過最小化測(cè)量噪聲的方差來尋求參數(shù)均值的最佳估計(jì)值[8，10]。為了得到更可靠的結(jié)果，貝葉斯修正方法得到了重視[1112]。該方法在同一類概率模型中尋求最優(yōu)模型，并基于貝葉斯準(zhǔn)則來修正不確定性參數(shù)的概率分布函數(shù)。但預(yù)先假定的參數(shù)先驗(yàn)概率分布對(duì)后驗(yàn)概率的估計(jì)有著較大影響，同時(shí)貝葉斯反演問題的構(gòu)建往往比較復(fù)雜，計(jì)算量大，不太適用于復(fù)雜工程問題。

在結(jié)構(gòu)參數(shù)偶然型不確定性（也稱為變異性）的估計(jì)上，可以基于最大似然方程構(gòu)建優(yōu)化反演問題[13]，即通過最大化響應(yīng)的似然方程來估計(jì)參數(shù)不確定性的大小。同時(shí)，在隨機(jī)模型修正過程中應(yīng)用蒙特卡羅方法[14]也能實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)幾何與材料參數(shù)不確定性的估計(jì)，但大量的抽樣樣本計(jì)算和優(yōu)化迭代使得蒙特卡羅方法不適用于求解復(fù)雜問題。近年來，基于攝動(dòng)方法求解隨機(jī)模型修正問題可以有效地提高修正效率[1516]。該方法在參數(shù)設(shè)計(jì)點(diǎn)上基于截?cái)嗟奶├照归_式來表示修正方程的各個(gè)項(xiàng)，以此建立隨機(jī)修正反演過程。但攝動(dòng)方法對(duì)參數(shù)的初始概率分布特征值較敏感，且要求較小的不確定性，具有一定的應(yīng)用局限性。由上述文獻(xiàn)分析可見，隨機(jī)模型修正領(lǐng)域的主要問題在于優(yōu)化求解過程的復(fù)雜性、大計(jì)算量，以及在不確定性參數(shù)分布特性和變異性大小上的限制。

本文結(jié)合概率配點(diǎn)法（Probabilistic collocation method）和回歸分析建立隨機(jī)響應(yīng)面模型（Stochastic response surface model，縮寫SRSM）[17]，用于直接表述不確定性參數(shù)和響應(yīng)之間關(guān)系。該模型本質(zhì)上是一種顯式的、基于Hermite多項(xiàng)式的多項(xiàng)式混沌展開式（Polynomial chaos expansion），能快速估計(jì)響應(yīng)的概率統(tǒng)計(jì)特征值（正問題）或反演估計(jì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征值（反問題），有利于隨機(jī)反演問題的編程和運(yùn)算，是一種理想的替代模型（Metamodel）。文中基于SRSM建立了隨機(jī)模型修正過程，并提出一種兩階段修正策略，分步修正參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。同時(shí)迭代過程采用了SRSM重構(gòu)技術(shù)，避免了隨機(jī)靈敏度矩陣的構(gòu)造和分析，在保證參數(shù)估計(jì)精度的前提下大幅提高了隨機(jī)修正效率。最后，基于一組55塊名義上相同鋼板的實(shí)測(cè)頻率，估計(jì)了鋼板厚度和材料特性參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征值，驗(yàn)證了方法的可行性和可靠性。

1隨機(jī)響應(yīng)面模型

Abstract： Accurate uncertainty estimation for parameters and responses of realworld structures may improve the reliability of analysis results. In this study， by using the probabilistic collocation method and regression analysis， stochastic response surface models are firstly constructed for expressing the complex implicit relationship between the uncertain parameters and responses of a structure. Then the statistical features of the responses can be quickly estimated using the constructed models. Meanwhile， a twostage updating strategy is employed which separately updates the parameter means and standard deviations in the interest of problem simplification and improvement in updating efficiency. Lastly， fiftyfive nominally identical steel plates were tested in the laboratory. The means and standard deviations of the measured natural frequencies under a freefree boundary condition have been adopted to estimate the statistical features of the plate thicknesses and material properties. By this means， the feasibility and reliability of the proposed method has been validated.

Key words： stochastic model updating； parameter uncertainty； stochastic response surface models； a twostage updating strategy