隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)下的液壓泵故障分布的兩參數(shù)威布爾分布模型*

熊申輝，胡良謀，胡　飛，曹克強(qiáng)，景　濤，高　斌

(1. 空軍后勤部 司令部，北京　100720；2. 空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院，西安　710038；3. 廣州軍區(qū) 空軍裝備部，廣州　510071)

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隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)下的液壓泵故障分布的兩參數(shù)威布爾分布模型*

熊申輝1，胡良謀2，胡飛3，曹克強(qiáng)2，景濤2，高斌2

(1. 空軍后勤部 司令部，北京100720；2. 空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院，西安710038；3. 廣州軍區(qū) 空軍裝備部，廣州510071)

液壓泵在使用階段的可靠性能最真實(shí)地反映產(chǎn)品的實(shí)際可靠性水平和薄弱環(huán)節(jié)，其可靠性數(shù)據(jù)具有隨機(jī)截尾特性，因此其可靠性數(shù)據(jù)分析面臨著諸多困難。首先提出了一種基于隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)的兩參數(shù)威布爾分布的建模方法，并將其應(yīng)用于某型液壓泵的可靠性數(shù)據(jù)分析，最后進(jìn)行了仿真試驗(yàn)研究。仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，基于平均秩次法的液壓泵兩參數(shù)威布爾分布模型比基于殘存比率法的兩參數(shù)威布爾分布模型更為精確，同時(shí)驗(yàn)證了威布爾分布的優(yōu)越性。研究成果為基于隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)的液壓泵提供了一種更為精確的可靠性分析方法。

液壓泵；隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)；兩參數(shù)威布爾分布；平均秩次法；殘存比率法

0　引言

液壓泵[1-3]是飛機(jī)液壓傳動(dòng)與控制系統(tǒng)中的能源部件，它的作用是向系統(tǒng)提供一定壓力和流量的油液。從能量轉(zhuǎn)換的觀點(diǎn)來說，液壓泵是把機(jī)械能轉(zhuǎn)換為液壓能的裝置。為了指導(dǎo)使用維護(hù)工作，迫切需要進(jìn)行液壓泵的可靠性分析。

液壓泵在使用階段的可靠性數(shù)據(jù)分析具有重要的研究意義。這是因?yàn)橐簤罕迷谑褂秒A段反映的使用及環(huán)境條件最真實(shí)，參與評估的液壓泵數(shù)量較多，因此在該階段收集的可靠性數(shù)據(jù)極為珍貴，它能最真實(shí)地反映液壓泵的實(shí)際可靠性水平和薄弱環(huán)節(jié)，對設(shè)計(jì)和制造的評價(jià)最權(quán)威，其可靠性數(shù)據(jù)分析結(jié)果是可靠性工作的最終檢驗(yàn)，也是今后開展新型液壓泵可靠性設(shè)計(jì)的最有價(jià)值的參考。

在實(shí)際工作中，同類型的液壓泵投入使用的時(shí)間不同；觀測者記錄數(shù)據(jù)時(shí)除故障時(shí)間外，還有一些液壓泵統(tǒng)計(jì)時(shí)仍在完好地工作；以及使用中途液壓泵會(huì)因某種原因轉(zhuǎn)移他處等，這些原因都導(dǎo)致了液壓泵在使用階段收集的可靠性數(shù)據(jù)具有隨機(jī)截尾的特性。隨機(jī)截尾型可靠性數(shù)據(jù)由于其獨(dú)特的數(shù)據(jù)特征，其可靠性分析面臨著諸多困難和難點(diǎn)，相關(guān)技術(shù)的研究與開發(fā)一直都是可靠性工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)。

威布爾分布[4-5]是一種連續(xù)分布，它能夠描述航空產(chǎn)品各種類型失效數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，其優(yōu)點(diǎn)在于它對各種類型的試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有極強(qiáng)的適應(yīng)能力，能夠充分地描述失效機(jī)理。因此在可靠性分析方面，威布爾分布成為近年來研究最為廣泛的參數(shù)模型。

本文主要研究隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)下的兩參數(shù)威布爾分布的建模方法，并將其應(yīng)用于某型液壓泵的可靠性數(shù)據(jù)分析。

1　兩參數(shù)威布爾分布模型

兩參數(shù)威布爾分布的分布函數(shù)為[5-10]

(1)

式中：η稱為尺度參數(shù)，m稱為形狀參數(shù)。

2　隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)下的兩參數(shù)威布爾分布模型

兩參數(shù)威布爾分布的未知參數(shù)包括尺度參數(shù)和形狀參數(shù)。只有在確定這兩個(gè)參數(shù)后，才能利用分布模型計(jì)算各個(gè)可靠性指標(biāo)。

2.1隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)下的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)計(jì)算

隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)下，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的計(jì)算有兩種方法，分別為殘存比率法和平均秩次法[6-7]。

2.1.1殘存比率法

殘存比率法為通用公式，在無刪除樣品時(shí)同樣適用。殘存比率法是由概率乘法公式得到的，因此它適用于樣本量較大的情況。

產(chǎn)品在某時(shí)刻ti的可靠度為：

R(ti)=R(ti-1)·S(ti)

(2)

(3)

式中：ξ是指產(chǎn)品從處于完好狀態(tài)開始直到進(jìn)入失效狀態(tài)所經(jīng)歷的時(shí)間，也可稱之為壽命，是一非負(fù)隨機(jī)變量。

根據(jù)樣本觀測值進(jìn)行估計(jì)，其計(jì)算公式為：

(4)

(5)

根據(jù)式(2)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的計(jì)算公式為：

(6)

2.1.2平均秩次法

平均秩次法是一種在隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)下經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的較精確的計(jì)算方法，其思想為：對于一組隨機(jī)截尾的樣本數(shù)據(jù)，可按其失效時(shí)間和刪失時(shí)間的大小排列成一組順序統(tǒng)計(jì)量，其中每一個(gè)樣品的失效時(shí)間都有一個(gè)順序號，此順序稱為秩次。而對于那些尚未失效而中途撤離的樣品，什么時(shí)間失效無法預(yù)計(jì)，然而可以估計(jì)出它們所有可能的秩次，再求出平均秩次，將平均秩次代入近似中位秩公式，即可求出其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。

對于隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)學(xué)家們給出一個(gè)計(jì)算平均秩次的增量公式，為：

(7)

(8)

式中：Ak為失效樣品的平均秩次，下標(biāo)k代表失效樣品的順序號；Ak-1為前一個(gè)失效樣品的平均秩次；i為所有產(chǎn)品的排列順序號，按故障時(shí)間和刪除時(shí)間的大小排列。

然后將平均秩次代入近似中位秩公式計(jì)算樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，為：

(9)

2.2隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)下的兩參數(shù)威布爾分布的最小

二乘估計(jì)法

對于隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)，假設(shè)失效樣品的數(shù)量為n1，刪除樣品的數(shù)量為n2，則n1+n2=n。假設(shè)失效樣品的失效時(shí)間的順序統(tǒng)計(jì)量為t1≤t2≤…≤tn1，根據(jù)殘存比率法或平均秩次法可計(jì)算其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為Fn(tk)(k=1,2,…,n1)。

式(1)可以表示為線性方程形式，為：

(10)

因此可以根據(jù)最小二乘法來估計(jì)隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)下的兩參數(shù)威布爾分布。

令

(11)

需擬合的回歸直線方程為：

y=a+bx

(12)

根據(jù)最小二乘法原理，回歸系數(shù)和相關(guān)系數(shù)為：

(13)

(14)

(15)

式中：

2.3兩參數(shù)威布爾分布參數(shù)的求解

根據(jù)回歸系數(shù)a、b，威布爾分布的參數(shù)為：

(16)

2.4線性相關(guān)程度檢查

3隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)下的液壓泵的兩參數(shù)威布爾

分布建模流程

基于兩參數(shù)威布爾分布的隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)下的液壓泵可靠性數(shù)據(jù)分析的一般流程如圖1所示。

圖1　基于兩參數(shù)威布爾分布的隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)下

首先收集液壓泵的隨機(jī)截尾型可靠性數(shù)據(jù)，然后根據(jù)殘存比率法或平均秩次法計(jì)算樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。假設(shè)服從兩參數(shù)威布爾分布，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本原理，對液壓泵的可靠性數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并使用假設(shè)檢驗(yàn)方法來驗(yàn)證壽命分布類型，最后再進(jìn)行液壓泵可靠性參數(shù)的計(jì)算。

4　液壓泵的可靠性分析仿真試驗(yàn)

4.1仿真數(shù)據(jù)

4.2經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的計(jì)算

采用殘存比率法計(jì)算失效樣品的殘存概率S(ti)及經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(ti)的計(jì)算結(jié)果如表1所示；采用平均秩次法計(jì)算失效樣品的平均秩次Ak及經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(ti)的計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1　液壓泵的外場使用故障數(shù)據(jù)及平均秩次、

4.3兩參數(shù)威布爾分布模型的建立

(1)基于殘存比率法的兩參數(shù)威布爾分布模型

在殘存比率法計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的基礎(chǔ)上，兩參數(shù)威布爾分布的參數(shù)估計(jì)(最小二乘法)結(jié)果為：尺度參數(shù)η1=650.43，形狀參數(shù)m1=1.52，相關(guān)系數(shù)rxy1=0.98998。當(dāng)顯著水平為0.01時(shí)，相關(guān)系數(shù)臨界值為rα=0.6614，由于rxy1>rα?xí)r，則認(rèn)為回歸效果顯著。

(2)基于平均秩次法的兩參數(shù)威布爾分布模型

在平均秩次法計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的基礎(chǔ)上，兩參數(shù)威布爾分布的參數(shù)估計(jì)(最小二乘法)結(jié)果為：尺度參數(shù)η2=571.61，形狀參數(shù)m2=1.6651，相關(guān)系數(shù)rxy2=0.99207。當(dāng)顯著水平為0.01時(shí)，由于rxy2>rα?xí)r，則認(rèn)為回歸效果顯著。

(3)小結(jié)

由于rxy 1< rxy 2，因此基于平均秩次法的液壓泵兩參數(shù)威布爾分布模型比基于殘存比率法的兩參數(shù)威布爾分布模型更為精確。因此對于隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)，平均秩次法比殘存比率法的建模效果更好。

基于平均秩次法的兩參數(shù)威布爾分布模型的概率圖如圖2所示。從圖2可以看出，數(shù)據(jù)點(diǎn)大體上是沿一條直線分布的，這直觀地說明了該型液壓泵的首次失效時(shí)間可以用兩參數(shù)威布爾分布來建模。

圖2　兩參數(shù)威布爾分布的概率圖

4.4基于平均秩次法的液壓泵可靠性參數(shù)的計(jì)算

液壓泵首次失效時(shí)間的基于平均秩次法的兩參數(shù)威布爾分布的分布函數(shù)為：

分布密度函數(shù)為：

失效率函數(shù)為：

失效率曲線如圖3所示，可以看出，失效率隨時(shí)間增長呈增長特性，因此液壓泵的失效類型為耗損失效，故障原因主要是由于老化、疲勞和耗損引起的。因此通過可靠性定量分析，就可以采取預(yù)防維修或更新措施，更換某些元器件，把液壓泵上升的失效率降下來。

圖3　液壓泵的失效率曲線

可靠度函數(shù)為：

平均壽命為：

θ=ηΓ(1+1/m)=510.78(h)

5　結(jié)論

由于兩參數(shù)威布爾分布擬合能力強(qiáng)、適用范圍廣，是可靠性工程中常用的分布之一，對其進(jìn)行精確的參數(shù)估計(jì)在可靠性分析中有相當(dāng)重要的意義。

本文首先提出了一種基于隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)的兩參數(shù)威布爾分布的建模方法，并將其應(yīng)用于某型液壓泵的可靠性數(shù)據(jù)分析，最后進(jìn)行了仿真試驗(yàn)研究。仿真試驗(yàn)結(jié)果表明：①平均秩次法原理清晰，計(jì)算過程方便快捷，同時(shí)還具有計(jì)算機(jī)編程方便、擬合精度高等優(yōu)點(diǎn)，基于平均秩次法的液壓泵兩參數(shù)威布爾分布模型比基于殘存比率法的兩參數(shù)威布爾分布模型更為精確；②兩參數(shù)威布爾分布擬合能力強(qiáng)，驗(yàn)證了威布爾分布的優(yōu)越性。研究成果為基于隨機(jī)截尾數(shù)據(jù)的液壓泵提供了一種更為精確的可靠性分析方法。

[1] 胡良謀，曹克強(qiáng)，任博，等. 飛機(jī)液壓系統(tǒng)使用故障統(tǒng)計(jì)分析[M]. 北京：國防工業(yè)出版社，2014.

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(編輯趙蓉)

Two Parameter Weibull Distribution Model of Fault Distribution for Hydraulic Pump Based on Random Censored Data

XIONG Shen-hui1, HU Liang-mou2, HU Fei3, CAO Ke-qiang2, JING Tao2, GAO Bin2

(1. Command Ministry of Air Force Logistics Ministry, Beijing 100720, China;2. College of Aeronautics and Astronautics Engineering, Air Force Engineering University, Xi′an 710038，China)

Operational reliability of hydraulic pump can factually reflect the actual reliability level and weak part. The operational reliability data of hydraulic pump has characteristic of random censored, therefore its operational reliability analysis is very difficult. A modeling method of two parameter Weibull distribution based on random censored data is presented. And then the method is used to establish the two parameter Weibull distribution model of one hydraulic pump. The simulation test is carried out finally. The simulation test results show that the two parameter Weibull distribution model of hydraulic pump based on the mean rank order method is more accurate than the two parameter Weibull distribution model based on the survival ratio method. And the simulation test results show that the Weibull distribution is good. The research work can provide a more accurate method of reliability analysis for hydraulic pump based on random censored data.

hydraulic pump; random censored data; two parameter weibull distribution; mean rank order method; survival ratio method

1001-2265(2016)04-0109-04DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.04.029

2015-06-02；

2015-07-07

中國博士后科學(xué)基金特別資助項(xiàng)目(201003788)

熊申輝(1977—)，男，安徽桐城人，空軍后勤部工程師，碩士，研究方向?yàn)轱w機(jī)系統(tǒng)可靠性，(E-mail)xiongsh_2015@163.com。

TH137;TG506

A