基于三維Taylor多項式建立局域海洋地磁場模型

種　洋　柴洪洲

1　信息工程大學地理空間信息學院，鄭州市科學大道62號，450001 2　地理信息工程國家重點實驗室，西安市雁塔路中段1號，710054 3　海軍工程大學導航工程系，武漢市解放大道717號，430033

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基于三維Taylor多項式建立局域海洋地磁場模型

種洋1,2,3柴洪洲1

1信息工程大學地理空間信息學院，鄭州市科學大道62號，450001 2地理信息工程國家重點實驗室，西安市雁塔路中段1號，710054 3海軍工程大學導航工程系，武漢市解放大道717號，430033

在海洋磁力測量中,波浪和風等外界因素的變化會對磁力測量數(shù)據(jù)在垂直空間上產(chǎn)生影響，而二維Taylor多項式在建立局域海洋地磁場模型時沒有考慮高度變化對模型的影響。針對這一問題，提出使用三維Taylor多項式完全展開法來構建局域海洋地磁場模型，通過模擬某海域水下球體磁場，仿真船載磁力測量數(shù)據(jù)，分析兩種模型截斷階數(shù)的選擇、完全與不完全展開的區(qū)別和模型邊界效應等問題。實驗表明，在顧及高度變化的情況下，三維Taylor多項式模型能更詳細地反映海洋磁力異常的分布情況，且較好地改善了邊界效應。

局域海洋地磁場模型；三維Taylor多項式；截斷階數(shù)；邊界效應

海洋磁力測量是采用船拖著拖魚進行測量。由于風浪、船速、潮汐等影響，拖魚在整個測量過程中不規(guī)則上下擺動。同時，在進行大面積海洋磁力測量時，是采用多艘船并列前行同時測量，由于船的各項參數(shù)不同以及纜繩長度不一等，拖魚入水的深度也不同，導致整個觀測面是一個不規(guī)則的起伏曲面。目前國內外處理海洋磁力測量數(shù)據(jù)時所用的磁力異常計算公式為[1-3]：

(1)

式中，ΔT為海洋地磁異常值,T為地磁場總測量值，Td為地磁日變改正值，Ts為船磁改正值，To為地磁正常值。

海洋磁力測量數(shù)據(jù)在通過式(1)進行各項改正時，只進行了平面上的變換，而忽略了觀測面在垂直方向的變化，所以處理后的測量數(shù)據(jù)面仍然是曲面。

局域地磁場模型的構建主要包括矩諧分析法、Taylor多項式法和球冠諧和分析法等[4-6]，其中Taylor多項式法是至今仍然被廣泛采用的方法之一。簡單地講，Taylor多項式法就是將地磁要素用多項式形式表示成為平面坐標或者經(jīng)緯度的函數(shù)，由求解得到的模型系數(shù)來表示該區(qū)域的地磁場變化情況[7]。該方法建模速度快，可高效地計算出地磁場各要素。但Taylor多項式模型是在二維平面內描述地磁場在地球表面的分布情況，而沒有顧及到高度變化對模型所產(chǎn)生的影響[8-9]。本文在傳統(tǒng)Taylor多項式的基礎上，顧及拖魚入水深度不同對船載磁力測量中垂直方向的影響，提出使用三維Taylor多項式完全展開法來構建局域海洋地磁場模型，通過模擬某海域水下球體磁場，仿真船載磁力測量數(shù)據(jù)，分析比較兩種模型截斷階數(shù)的選擇、完全與不完全展開的區(qū)別和模型邊界效應等，得到了一些有益的結論。

1　三維Taylor多項式模型

Taylor多項式法構建局域地磁場模型的基本思想是將地磁要素表示為地理位置的函數(shù)，傳統(tǒng)的二維Taylor多項式模型是對某一地磁要素進行部分三角陣展開。地理位置可以用(x,y)表示，二維Taylor多項式可以表示為[10]:

(2)

式中，ΔT為磁力異常；Aij為多項式模型的系數(shù)，由最小二乘法確定；N為多項式模型的截斷階數(shù)；x、y為坐標值；(x0,y0)為模型展開原點的坐標值，一般選擇建模區(qū)域的中心位置為展開點；i-j和j為平面坐標的展開階數(shù)。由于是部分三角陣展開，本文中統(tǒng)稱為二維Taylor多項式不完全展開。

進一步可得二維Taylor多項式完全展開形式為：

(3)

相比式(2)，式(3)平面坐標展開階數(shù)為j和i，系數(shù)矩陣Aij為N×N的方陣。

考慮到高度變化對模型的影響，應采用三維Taylor多項式完全展開式建立海洋地磁場模型，其表達式為：

(4)

綜上所述，可將顧及垂直方向影響的船載磁力測量磁測數(shù)據(jù)處理計算步驟總結如下。

1)在測區(qū)中心選取參考點O并確定基準參考平面高度，構建相應的局部空間直角坐標系，并進行坐標轉換；

2)通過對數(shù)據(jù)的分析和測試，選擇合適的截斷階數(shù)；

3)按照上述Taylor多項式方法構建法方程，利用最小二乘方法求得的系數(shù)表示出整個觀測區(qū)域內的模型計算值，并對新模型進行分析評定。

為檢驗上述方法的建模效果，使用球體磁場仿真的船載磁測數(shù)據(jù)進行實驗。

2　局域海洋地磁場數(shù)據(jù)仿真方法

模擬某海域磁場測定的實際磁力測量，選定一定的參數(shù)，仿真一個球體磁場作為經(jīng)過式(1)中各項改正后的磁場。球體磁場的計算公式為[1]：

(2x2-y2-(z-R)2)cos2Icos2A′+

(2y2-x2-(z-R)2)cos2Isin2A′-

3x(z-R)sin2IcosA′+3xycos2Isin2A′-

3y(z-R)sin2IsinA′)

(5)

式中，μ0為真空磁導率；m為磁矩,m=MV,M為磁化強度,V為球體體積；R為球體中心埋深；(x,y)為空間一點的平面坐標；I為磁化傾角；A′為磁化偏角。

本文采用的球體模型參數(shù)如表1所示。

在仿真時，選取仿真區(qū)域大小為5 000m×5 000m，區(qū)域中主測線100條，檢查線6條，共100×100個觀測點，點距和線距為50m；球體位于區(qū)域中心，球心埋深為60m，且以區(qū)域海平面中心為原點，x軸與測線方向平行，y軸與基線方向平行，z軸垂直xoy面向下建立坐標系。

表1　仿真球體參數(shù)

在式(5)中取z=0代入計算,可得一組各觀測點的磁力異常值。取z=0的平面即xoy面作為基準平面，則該組磁力異常值即為各測點在基準面上的磁力異常值。為了方便說明問題，此處選取仿真區(qū)域中x、y均為2 200～2 700 m范圍的數(shù)據(jù)處理結果。計算結果如圖1所示。

圖1　基準平面上的磁異常等值線Fig.1　Magnetic anomalies contour of reference plane

圖1表示的是磁性球體在基準平面上的磁異常分布等值線圖，等值線單位為nT?？梢钥闯觯判郧蝮w在基準平面上的磁異常分布均勻，具有明顯的正異常和負異常，左下方的等值線代表正異常值，右上方的等值線代表負異常值，正負異常在±100 nT范圍內波動。

而實際海洋磁力測量中，拖魚的運動狀態(tài)是上下起伏的，其相對于基準面存在一個高差Δz，當觀測點在基準面上時z>0，當觀測點在基準面下時z<0。根據(jù)各測點拖魚的起伏狀態(tài)，取相應的z值代入式(5)，可得各測點的另一組磁力異常值，即為各測點在觀測曲面上的磁力異常值。仿真出的觀測曲面如圖2所示。

圖2　觀測曲面變化的立體圖Fig.2　The three-dimensional variations of observation surface

圖2中，(x,y)為觀測點坐標，z為拖魚在測量過程中相對于基準面的上下起伏變化量，其最大變化量為4.11 m。在得到了基準平面和仿真觀測曲面上的磁力異常值后，通過作二者的等值線圖對其進行對比分析，如圖3所示。

圖3　基準平面和仿真觀測曲面的磁異常等值線分布Fig.3　Distributions of magnetic anomalies contour between reference plane and simulation observation surface

圖3中實線表示觀測點在基準平面上的磁力異常值，虛線表示觀測點在仿真觀測曲面上的磁力異常值?？梢钥闯?，同一觀測點在基準面上(z=0)和在仿真觀測曲面上的磁力異常值是不一樣的，且在磁力異常變化較劇烈的地方二者差距比較明顯。這說明，如果不顧及海洋磁力測量中拖魚在垂直方向上的波動變化，將會對最終的海洋地磁場建模結果產(chǎn)生一定的誤差影響。因此，在實際的磁力測量中需要考慮垂直方向的變化。

3　截斷階數(shù)的選取

Taylor多項式法在構建局部地磁場模型時，選擇合適的截斷階數(shù)是一項重要內容。截斷階數(shù)過低，則模型過于簡單，損失了大部分有價值的信息，從而不能很好地表示地磁場的時空分布；截斷階數(shù)過高，會使模型結果的穩(wěn)定性降低，同時會增加模型計算的復雜性，產(chǎn)生嚴重的邊界效應。

選取截斷階數(shù)的方法通常有兩種：一是通過區(qū)域地磁場模型的均方誤差(RMS)應小于相應年代的國際地磁參考場(IGRF)的均方誤差來選??；二是通過對不同截斷階數(shù)下模型結果的均方誤差進行比較，當其值比較小且趨于穩(wěn)定時，即可選為模型的截斷階數(shù)。均方誤差的計算公式為：

(6)

3.1二維Taylor多項式完全展開模型截斷階數(shù)的選取

當z=0時，利用基準面上觀測點的磁力異常數(shù)據(jù)，通過二維Taylor多項式完全展開與不完全展開法構建模型，并分別計算不同截斷階數(shù)下兩模型的均方誤差，結果如圖4所示。

圖4　二維Taylor多項式不完全與完全展開的磁力異常均方誤差與截斷階數(shù)的關系Fig.4　The relationship between the mean square error and the truncation order of the magnetic anomalies under the classical and complete two-dimensional Taylor polynomial expansion

由圖4可以看出，當N≤4時，兩者相應的均方誤差都隨著N的變化而趨于平穩(wěn)，且兩者的精度大致相當，而完全展開模型在N=4時的精度與不完全展開模型在N=5時的精度相差不大；當N>4時，完全展開模型的均方誤差隨著N的變化而急劇增大。分析可知，當N≥4時完全展開模型結果的不穩(wěn)定性顯著增大，而不完全展開模型的截斷階數(shù)雖然可以取到N=5,但精度卻沒有得到實質性的提高，且加大了計算量。這表明，在同樣沒有高度變化的基礎上，采用二維Taylor多項式完全展開法來構建模型要好一些。綜合考慮均方誤差的大小和模型的復雜性可知，二維Taylor多項式完全展開模型的截斷階數(shù)選N=4比較合適。

3.2三維Taylor多項式完全展開模型截斷階數(shù)的選取

當z方向上有高度變化時，利用仿真所得的曲面磁力異常數(shù)據(jù)，通過二維和三維Taylor多項式完全展開法分別構建模型，分別計算不同截斷階數(shù)下兩種模型的均方誤差，結果如圖5所示。

圖5　二維與三維Taylor多項式完全展開的磁力異常的均方誤差與截斷階數(shù)的關系Fig.5　The relationship between the mean square error and the truncation order of the magnetic anomalies under the complete two-dimensional and three-dimensional Taylor polynomial expansion

由圖5可知，三維完全展開模型在N=1時就達到了二維完全展開模型在N=4時的精度，且精度更高；當N≥2時，三維完全展開模型的均方誤差隨著N的變化急劇增大，而二維完全展開模型的截斷階數(shù)則可以取到N=4，但精度卻沒有得到明顯的改善。分析可知,當N>2時三維完全展開模型開始變得不穩(wěn)定，而二維完全展開模型在N>4時才開始變得不穩(wěn)定，這主要是因為三維完全展開模型直接考慮了高度變化的影響，其所展開的模型系數(shù)更多，模型更加符合實際情況。結果表明，在觀測數(shù)據(jù)有高度變化時，利用三維Taylor多項式完全展開法來構建模型，截斷階數(shù)取N=1即可得到理想結果。

4　邊界效應分析

在提高區(qū)域模型精度的過程中，由于區(qū)域邊界處地磁測量點稀少，進而隨著函數(shù)逼近，出現(xiàn)區(qū)域邊界處的誤差逐漸增大的現(xiàn)象，即所取海洋地磁場區(qū)域模型的邊界部分會涉及到邊界效應問題。本文通過比較二維和三維Taylor多項式完全展開模型，進一步分析該問題。比較結果如圖6所示。

圖6　二維與三維Taylor多項式完全展開的磁力異常邊界效應比較Fig.6　The boundary effects of the magnetic anomalies under the comparison of the complete two-and three-dimensional Taylor polynomial expansion

由圖6可知，與二維Taylor多項式相比，三維Taylor多項式在邊界的畸變較小，且較為集中。因此，三維Taylor多項式能較好地改善邊界效應。

5　結　語

通過對Taylor多項式完全展開與不完全展開的比較、二維Taylor多項式法與三維Taylor多項式法的截斷階數(shù)及邊界效應的對比，分析可得下列結論：

1)海洋磁力測量中,波浪和風等外界因素變化的影響導致了拖魚在垂直空間上產(chǎn)生不規(guī)則起伏。顧及高度的變化，通過三維Taylor多項式法對垂直空間進行改正，海洋磁力測量數(shù)據(jù)處理結果精度得到提高。若忽略垂直方向的變化，則會對后期局域地磁場建模精度產(chǎn)生一定的影響。

2)利用三維Taylor多項式法計算時要考慮到截斷階數(shù)的影響。階數(shù)的選取需要顧及精度和可靠性兩方面的影響。實驗結果表明，利用三維Taylor多項式法在截斷階數(shù)較低(N=1)時的計算精度與二維Taylor多項式法在較高截斷階數(shù)(N=4)時的精度大致相當。

3)考慮到邊界效應的影響，用三維Taylor多項式法得到的磁力異常更具有合理性，而不需要采用平滑因子的方法或者是增加IGRF邊界點的方法來克服該問題。此外，在一些對實時性要求較高的領域，如高速彈道導航等[11-13]，由于三維Taylor多項式方法在精度上不亞于其他局域建模方法，且計算簡單，故實時性比較好，可以得到比較好的應用。如果以后有了航磁數(shù)據(jù)[14]和衛(wèi)星數(shù)據(jù)，可以使本方法的模型空間范圍由深海拓展到更廣的范圍。

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About the first author:CHONG Yang, postgraduate, majors in geomagnetism aided navigation, E-mail: chongyang_geodesy@outlook.com.

Regional Marine Geomagnetic Field Model Reconstruction Based on Three-Dimensional Taylor Polynomial

CHONGYang1,2,3CHAIHongzhou1

1Institute of Surveying and Mapping, Information Engineering University, 62 Kexue Road, Zhengzhou 450001, China 2State Key Laboratory of Geo-Information Engineering, 1 Mid-Yanta Road, Xi’an 710054, China 3Department of Navigation, Naval University of Engineering, 717 Jiefang Road, Wuhan 430033, China

Wave and wind effect marine magnetic survey data in the vertical space. This is because the two-dimensional Taylor polynomial doesn’t include the influence of the change of height in establishing the regional marine geomagnetic field model. In order to solve this problem, a three-dimensional Taylor polynomial is put forward to construct the regional marine geomagnetic field model. By simulating a certain area of underwater sphere magnetic field and ship-borne magnetic survey data, this paper analyzes choosing the truncation order of the two models, the difference between the complete polynomial expansion and the classical expansion methods, and the boundary effect of the two methods. The results show that: the three-dimensional Taylor polynomial method can reflect the distribution of marine magnetic anomalies better and overcomes the boundary effects in considering the height changes.

regional marine geomagnetic field model; three-dimensional Taylor polynomial method; truncation order; boundary effect

National Natural Science Foundation of China, No. 41574010, 41274045, 41476087; Open Fund of State Key Laboratory of Geo-Information Engineering，No. SKLGIE 2014-M-1-1.

2015-10-16

種洋，碩士生，研究方向為地磁輔助導航，E-mail: chongyang_geodesy@outlook.com。

10.14075/j.jgg.2016.10.003

1671-5942(2016)010-0854-05

P229

A

項目來源：國家自然科學基金(41574010，41274045，41476087)；地理信息工程國家重點實驗室開放基金(SKLGIE2014-M-1-1)。