基于新閾值函數(shù)的小波去噪算法*

張　兢,李冠迪，史文進(jìn)，曾建梅

(重慶理工大學(xué) 電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，重慶 400054)

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基于新閾值函數(shù)的小波去噪算法*

張兢,李冠迪，史文進(jìn)，曾建梅

(重慶理工大學(xué) 電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，重慶 400054)

分析了小波去噪的特點(diǎn)，針對(duì)軟、硬閾值的缺陷，構(gòu)造出一種新的閾值函數(shù)及閾值估計(jì)方法。新閾值函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)并且新閾值估計(jì)方法具有優(yōu)良的自適應(yīng)性。仿真實(shí)驗(yàn)表明，該方法可以有效去除白噪聲干擾，信噪比更高，均方根誤差更小，且重構(gòu)信號(hào)的近似性好。

小波閾值去噪；閾值函數(shù)；閾值估計(jì)；信噪比；均方根誤差

引用格式：張兢,李冠迪，史文進(jìn)，等. 基于新閾值函數(shù)的小波去噪算法[J].微型機(jī)與應(yīng)用，2016,35(17)：20-22,25.

0　引言

在信號(hào)的采集、傳輸過程中，不可避免地會(huì)受到各種噪聲干擾，對(duì)信號(hào)去噪處理已成為人們關(guān)注和研究的熱點(diǎn)。小波變換具有多分辨率分析的特點(diǎn)，在時(shí)域和頻域都有表征信號(hào)局部信息的能力[1]，時(shí)間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號(hào)的具體形態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)整，能有效區(qū)分非平穩(wěn)信號(hào)中的突變部分和噪聲[2]，可在提高信噪比的同時(shí)保持對(duì)突變信息的良好分辨能力。

小波去噪方法有：模極大值法、小波閾值去噪法以及相關(guān)去噪法。其中，運(yùn)用最為廣泛的是DONOHO D L在1995年提出的小波閾值去噪的算法[3-4]，該方法處理含噪信號(hào)時(shí)采用軟閾值函數(shù)與硬閾值函數(shù)。但傳統(tǒng)軟閾值函數(shù)存在恒定偏差缺陷，以及硬閾值函數(shù)有振蕩現(xiàn)象的缺陷[5]。本文深入分析小波軟硬閾值的優(yōu)缺點(diǎn)，綜合其他學(xué)者提出的閾值函數(shù)，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造出一種新的閾值估計(jì)與閾值函數(shù)。通過仿真實(shí)驗(yàn)分析，新閾值函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，既解決了軟閾值函數(shù)存在恒定偏差的問題，又解決了硬閾值函數(shù)存在振蕩現(xiàn)象的問題，具有較好的實(shí)用性。

1　小波閾值去噪基本原理

1.1小波變換

假設(shè)含噪信號(hào)的觀測(cè)值為f(t)，則:

f(t)=s(t)+σn(t)

(1)

其中,s(t)為信號(hào)在時(shí)刻t的真實(shí)值，n(t)為高斯白噪聲，σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差。小波變換的目的是抑制n(t)以恢復(fù)s(t)。對(duì)于一維信號(hào)f(t)而言，首先要對(duì)它進(jìn)行離散采樣，得到N點(diǎn)離散信號(hào)f(n),n=1,2,…,N-1，其小波變換為：

(2)

1.2小波閾值去噪

從數(shù)學(xué)角度分析，小波閾值去噪本質(zhì)上是函數(shù)逼近問題；從信號(hào)處理角度分析，則為信號(hào)濾波問題[6]。在實(shí)際信號(hào)中，噪聲通常分布在高頻信號(hào)中，而純凈信號(hào)通常分布在低頻信號(hào)中，則可通過設(shè)置閾值方法將噪聲信號(hào)分離出去[7]。小波閾值去噪法的流程圖如圖1所示。

圖1　小波閾值去噪流程圖

(1)硬閾值(Hard Thresholding)

(3)

(2)軟閾值(SoftThresholding)

(4)

為了對(duì)比軟閾值與硬閾值的處理效果，設(shè)一原始信號(hào)為：

(5)

分別對(duì)其進(jìn)行軟閾值和硬閾值去噪，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2　不同閾值下的信號(hào)

由圖2可知，硬閾值函數(shù)在ωj,k=±λ處不連續(xù)，去噪時(shí)造成較大方差，重構(gòu)信號(hào)出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象。軟閾值函數(shù)的小波系數(shù)連續(xù)性雖好，但當(dāng)ωj,k>λ或ωj,k<-λ時(shí)，軟閾值對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行壓縮時(shí)存在恒定的偏差，并且軟硬閾值函數(shù)不具有高階可導(dǎo)性，不易實(shí)現(xiàn)數(shù)字處理。因此，尋找一種既可以克服軟硬閾值缺陷，又高階可導(dǎo)的新閾值函數(shù)至關(guān)重要。

2　新閾值函數(shù)與閾值估計(jì)

2.1閾值函數(shù)的選取

針對(duì)上述軟閾值與硬閾值的不足，學(xué)者們提出了許多改進(jìn)閾值函數(shù)，較經(jīng)典的如參考文獻(xiàn)[8]提出的一種自適應(yīng)的閾值函數(shù)：

(6)

上述的閾值函數(shù)具有很好的自適應(yīng)性，但是卻存在振蕩和偽吉布斯效應(yīng)，在閾值處并不光滑。為了克服這些弱點(diǎn)本文在此基礎(chǔ)之上構(gòu)造了一種新的閾值函數(shù)：

(7)

構(gòu)造的新閾值函數(shù)不但具有連續(xù)性，并且當(dāng)ωj,k>λ或ωj,k<-λ時(shí)具有高階可導(dǎo)性，新閾值函數(shù)對(duì)各種數(shù)字信號(hào)處理都很方便，證明如下：

(8)

(9)

同理：

(10)

=1,x>0

(11)

同理：

(12)

2.2改進(jìn)閾值估計(jì)

在小波閾值去噪中不僅閾值函數(shù)是影響去噪效果的關(guān)鍵因素，閾值估計(jì)也至關(guān)重要。目前，人們通常采用統(tǒng)一閾值，但是此閾值與信號(hào)長(zhǎng)度N相關(guān)，信號(hào)長(zhǎng)度N越大，小波系數(shù)被置0的數(shù)目越多，導(dǎo)致“過扼殺”現(xiàn)象[9]；反之則會(huì)導(dǎo)致消噪不足的現(xiàn)象。為了避免上述現(xiàn)象發(fā)生，在統(tǒng)一閾值的基礎(chǔ)上引入了一個(gè)適中的收縮因子，新閾值估計(jì)的數(shù)學(xué)公式為：

(13)

式中，σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，Nj為各層高頻系數(shù)的長(zhǎng)度，L為分解層數(shù)。由式(13)可得：隨著分解層數(shù)L的不同，閾值估計(jì)的大小隨之自動(dòng)調(diào)節(jié)，因此具有較強(qiáng)的自適應(yīng)性。

3　仿真實(shí)驗(yàn)及分析

3.1去噪效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)

采用信噪比SNR和均方根誤差RMSE對(duì)去噪效果進(jìn)行比較評(píng)價(jià)，信噪比表示的是信號(hào)中含有噪聲的多少，其值越大，信號(hào)中噪聲含量越少；均方根誤差表示測(cè)量樣本的可靠性，其值越小，測(cè)量的可靠性越高。表達(dá)式如式(14)和式(15)所示。

(14)

(15)

3.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了驗(yàn)證新閾值函數(shù)的有效性，用MATLAB2010對(duì)其進(jìn)行仿真，將一段含有噪聲的Leleccum信號(hào)分別采用硬閾值、軟閾值、參考文獻(xiàn)[8]提出的閾值函數(shù)及本文構(gòu)造的新閾值函數(shù)進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)。經(jīng)多次試驗(yàn)可得，選取sym4小波分解5層，且調(diào)節(jié)參數(shù)α取值為5×10-5時(shí)得到的效果最好。所以本實(shí)驗(yàn)選取sym4小波及5層小波分解進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中含噪Leleccum信號(hào)的信噪比為26.199 6dB，調(diào)節(jié)參數(shù)α=5×10-5，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，測(cè)試結(jié)果如圖3所示。

圖3　含噪Leleccum信號(hào)的去噪效果

從圖3可以看出，本文提出的改進(jìn)閾值函數(shù)小波重構(gòu)得到的信噪比硬閾值函數(shù)以及參考文獻(xiàn)[8]提出方法重構(gòu)信號(hào)更平滑，比軟閾值函數(shù)重構(gòu)信號(hào)保留的有用信號(hào)更多，因而能更好地還原原始信號(hào)所包含的信息。

表1　各種閾值去噪方法的SNR和RMSE值

表1給出了4種閾值函數(shù)去噪后的信噪比和均方誤差。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)可以看出，本文提出的閾值方法相比軟、硬閾值方法以及參考文獻(xiàn)[8]方法，在信噪比和均方根誤差兩個(gè)性能指標(biāo)上均有明顯的提高，說明改進(jìn)后的方法可靠性更強(qiáng)，去噪效果更好。

4　結(jié)論

本文構(gòu)造出了新閾值函數(shù)和閾值估計(jì)方法，新閾值函數(shù)具有軟硬閾值優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)具有連續(xù)可導(dǎo)性，并且通過自適應(yīng)調(diào)整參數(shù)α消除了軟閾值函數(shù)的恒定偏差、硬閾值函數(shù)不連續(xù)以及引用參考文獻(xiàn)提出的閾值函數(shù)光滑性差的缺點(diǎn)。改進(jìn)的閾值估計(jì)隨分解尺度的變化自適應(yīng)調(diào)節(jié)閾值的大小，避免了“過扼殺”現(xiàn)象的產(chǎn)生。仿真結(jié)果表明，新閾值去噪方法重構(gòu)得到的信號(hào)質(zhì)量明顯優(yōu)于軟閾值方法、硬閾值方法以及參考文獻(xiàn)[8]提出的方法，在去除噪聲的同時(shí)很好地保留了有用信號(hào)，證明了算法的有效性與實(shí)用性。

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Wavelet de-noising algorithm based on new threshold function

Zhang Jing，Li Guandi,Shi Wenjin,Zeng Jianmei

(College of Electronic Information and Automation, Chongqing University of Technology,Chongqing 400054, China)

This paper analyzes the characteristics of the wavelet threshold denoising,aiming at the defects of the hard threshold denoising and soft threshold denoising,proposes a new threshold function and threshold estimation methold. The new threshold function is continuous differentiable,and the new threshold estimation methold has better adaptive. Simulation experiment is carried out under Matlab environment,the result indicates that the new threshold function is effective in removing white noise,gives better Mean Square Error(MSE) performance and Signal-Noise-Ratio (SNR).Besides,the denoised signals using the new function also follow the original signal very closely.

wavelet threshold de-noising;threshold function;threshold estimation;SNR;RMSE

重慶市基礎(chǔ)與前沿研究計(jì)劃項(xiàng)目(cstc2015jcyjA040055);重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(KJ1500917)

TP391

ADOI： 10.19358/j.issn.1674- 7720.2016.17.006

2016-04-10)

張兢(1965-)，女，碩士，教授，主要研究方向：電子信息技術(shù)應(yīng)用。

李冠迪(1990-)，女，碩士研究生，助教，主要研究方向：信號(hào)與信息處理。

史文進(jìn)(1989-)，男，碩士研究生，助教，主要研究方向：無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)。