具有時(shí)延性質(zhì)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)牽制控制

王　蔚

(南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210000)

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具有時(shí)延性質(zhì)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)牽制控制

王蔚

(南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210000)

該文主要是利用牽制控制方法對(duì)一類具有時(shí)延性質(zhì)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行同步控制。該方法不同于最早的全局控制，僅是對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行控制。將這些節(jié)點(diǎn)的輸出量的差值作為控制器從而達(dá)到等同于全局控制的效果。同時(shí)根據(jù)最新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控原理計(jì)算出牽制控制所需要的最少節(jié)點(diǎn)數(shù)目，繼而通過設(shè)定合適的Lyapunov函數(shù)，并基于穩(wěn)定性和線性矩陣不等式等理論得出滿足要求的控制器設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。最后，采用小世界模型進(jìn)行仿真，進(jìn)一步驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；牽制控制；狀態(tài)延時(shí)；最大匹配

引用格式：王蔚. 具有時(shí)延性質(zhì)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)牽制控制[J].微型機(jī)與應(yīng)用，2016,35(17)：14-16,19.

0　引言

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)幾乎隨處可見，如萬(wàn)維網(wǎng)、互聯(lián)網(wǎng)、無(wú)線通訊網(wǎng)絡(luò)、電力網(wǎng)絡(luò)等。這些網(wǎng)絡(luò)都與人們的生活息息相關(guān)，對(duì)這些網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究不但會(huì)促進(jìn)某些科學(xué)分支的發(fā)展，還會(huì)極大地改變?nèi)祟惖纳罘绞?。因此?fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究尤為重要。其中，網(wǎng)絡(luò)同步是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中最重要的一個(gè)分支。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題可以分為內(nèi)部同步和外部同步。內(nèi)部同步是指網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)最終都收斂于同一個(gè)平衡點(diǎn)；外部同步是指不同網(wǎng)絡(luò)間達(dá)到的一種平衡狀態(tài)[1-2]。

最早關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究多是基于理想狀態(tài)下進(jìn)行的。如今，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在建?？刂萍皟?yōu)化時(shí)，通常會(huì)考慮一些不確定因素，如存在時(shí)延。例如，參考文獻(xiàn)[3]研究了兩類時(shí)延復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步問題，其中一類網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)具有不同時(shí)延，另一類網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)不僅狀態(tài)具有不同時(shí)延，每個(gè)節(jié)點(diǎn)本身的時(shí)延也不同。針對(duì)這兩類網(wǎng)絡(luò)，利用矩陣測(cè)度理論給出了網(wǎng)絡(luò)同步判據(jù)。參考文獻(xiàn)[4]考慮在噪聲條件下，研究具有不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的時(shí)延復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的外部同步問題，并采用自適應(yīng)方法設(shè)計(jì)控制器。上述這些文獻(xiàn)研究的時(shí)延復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)都是連續(xù)型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，而現(xiàn)實(shí)生活中更多的網(wǎng)絡(luò)是離散型網(wǎng)絡(luò)，如社會(huì)中的人際網(wǎng)絡(luò)、生物學(xué)中的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及工程應(yīng)用中的電力網(wǎng)絡(luò)等。因此研究離散型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)更具有現(xiàn)實(shí)意義。本文主要研究關(guān)于離散型時(shí)延復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的外部同步控制[5-6]。

最早對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制的方法是全局控制，就是對(duì)每一個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)都施加控制器。但由于實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)較多，若對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)都施加控制會(huì)使成本增高，因此通常只是控制部分有利的節(jié)點(diǎn)，進(jìn)而達(dá)到對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的控制。這就是目前研究較多的控制方法——牽制控制[7]。牽制控制同樣分為內(nèi)部牽制和外部牽制控制。本文主要利用牽制控制使所研究的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)達(dá)到外部同步。

[7-11]都是對(duì)牽制控制的研究，多是基于兩個(gè)基本問題：一是可行性問題，即僅僅控制少部分節(jié)點(diǎn)能否達(dá)到網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定同步；二是有效性問題，即選取哪些節(jié)點(diǎn)來進(jìn)行控制。參考文獻(xiàn)[7-8]提出了牽制控制的策略，即對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的一小部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行線性反饋控制，使網(wǎng)絡(luò)所有的節(jié)點(diǎn)達(dá)到同步狀態(tài)。參考文獻(xiàn)[9]利用一個(gè)節(jié)點(diǎn)來牽制控制整個(gè)網(wǎng)絡(luò)；參考文獻(xiàn)[10]利用自適應(yīng)的方法來牽制整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，自適應(yīng)牽制的方法克服了預(yù)估反饋增益的問題。上述這些文獻(xiàn)研究的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)基本都是在理想情況下的連續(xù)型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，具有一定的局限性。

在分析并結(jié)合上述這些文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，本文構(gòu)建出一種更為合理的離散型時(shí)延復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，并利用Poission過程來描述耦合時(shí)延。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，同時(shí)結(jié)合隨機(jī)分析法，給出了離散型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在存在耦合時(shí)延時(shí)控制器設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。最后，以包含20個(gè)節(jié)點(diǎn)的離散型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為例，進(jìn)行數(shù)值仿真，驗(yàn)證本文所提出的控制設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確性。

1　問題描述

假設(shè)一個(gè)具有時(shí)變時(shí)延性質(zhì)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(1)

2　牽制控制器的設(shè)計(jì)

本文采用牽制控制的思想，假設(shè)控制的節(jié)點(diǎn)屬于一個(gè)集合S，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)屬于集合N。

(2)

用式(2)減去式(1)可以得到誤差系統(tǒng)如下：

(3)

設(shè)計(jì)如下的牽制反饋控制器：

i∈S時(shí)，Ki=K;i?S時(shí)，Ki=0。

在下面論證過程中會(huì)用到以下引理。

引理1：對(duì)于任意的x∈Rn，若P∈Rn×n，Q∈Rn×n是正定矩陣，則以下不等式成立：

λmin(P-1Q)xTPx≤xTQx≤λmax(P-1Q)xTPx

式中λmin(P)和λmax(P)分別表示矩陣P的最小及最大特征值。

定理1：假設(shè)引理1成立，同時(shí)假設(shè)牽制控制節(jié)點(diǎn)的集合為S,整個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)集合為N。假設(shè):

(aAT(W?Γ)-aCTKT(W?Γ))≤0

且若存在Ki∈Rn×n滿足：i∈S時(shí)，

i∈N,i?S

這樣狀態(tài)估計(jì)器如(式(2))在牽制控制器ui的選擇控制下可以有效地估計(jì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(如式(1))的狀態(tài)。

證明：構(gòu)建Lyapunove函數(shù)

ΔV1(k)=V(k+1)-V(k)

由引理1可得：

P=AT(W?Γ)，IN是單位矩陣，

e(k)=(e1(k),e2(k),...,eN(k))T，

R=diag(λmax(M1),...,λmax(MN))

3　數(shù)值仿真

仿真中，利用小世界網(wǎng)絡(luò)模型。該模型是由20個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三種狀態(tài)，可表示為xi=(xi1,xi2,xi3)T,i=1,2,3...,20，參數(shù)可設(shè)定如下：

根據(jù)最大匹配算法可以算出該網(wǎng)絡(luò)至少要控制3個(gè)節(jié)點(diǎn)，根據(jù)上述判斷選取增益矩陣K=(0.9,0.8,0.9)T,其仿真結(jié)果如下圖1～圖3所示，3幅圖中橫坐標(biāo)代表時(shí)間刻度，豎坐標(biāo)ei1(k)、ei2(k)、ei3(k)表示節(jié)點(diǎn)的估計(jì)誤差。

圖1　估計(jì)誤差ei1(k)的變化曲線

圖2　估計(jì)誤差ei2(k)的變化曲線

圖3　估計(jì)誤差ei3(k)的變化曲線

由仿真圖可知，節(jié)點(diǎn)誤差收斂于零，故狀態(tài)估計(jì)器(式(2))在牽制反饋控制器ui的作用下可以有效地估計(jì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(式(1))的狀態(tài)。

4　結(jié)論

本文主要研究了具有狀態(tài)延時(shí)的離散時(shí)間復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的牽制控制狀態(tài)估計(jì)的問題。將牽制控制的方法運(yùn)用到狀態(tài)延時(shí)離散復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，即通過控制網(wǎng)絡(luò)中少部分節(jié)點(diǎn)，以達(dá)到對(duì)整個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)的目的，大大降低了狀態(tài)估計(jì)的成本，具有實(shí)際工程運(yùn)用的價(jià)值。利用Lyapunove穩(wěn)定性理論，給出了牽制控制狀態(tài)估計(jì)器的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，并同時(shí)在理論上給出了需要牽制多少個(gè)節(jié)點(diǎn)才能達(dá)到有效進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)的要求。最后，通過仿真實(shí)例，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)狀態(tài)估計(jì)器的可行性和有效性。

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Pinning control of complex networks with time delay in the state

Wang Wei

(College of Automation,Nanjing University of Posts and Telecommunication,Nanjing 210000,China)

In this paper, the pinning control method is used to control the synchronization of a class of complex networks with time delay. This method is different from the earliest global control. It only controls part of the nodes in the network. By using the difference of the output of these nodes as the controller, the controller can achieve the same effect as the global control. At the same time, the paper also calculates the minimum number of nodes needed to contain the control according to the new network structure. Then by setting the appropriate Lyapunov function, and based on the stability and linear matrix inequality theory that the controller meets the design standard requirements. Finally, the small world model is adopted to simulate, further the correctness of the conclusion is verified.

complex networks； pinning control； state delay； maximum matching

TP273

ADOI： 10.19358/j.issn.1674- 7720.2016.17.004

2016-04-09)

王蔚(1991-),女,碩士研究生,主要研究方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步控制。