“一類與橢圓有關(guān)的最值問題”的教學(xué)分析①

陶新芝

(江蘇省昆山中學(xué)，昆山　215300)

?

“一類與橢圓有關(guān)的最值問題”的教學(xué)分析①

陶新芝

(江蘇省昆山中學(xué)，昆山215300)

圓錐曲線是高中解析幾何的核心內(nèi)容，其最值問題是與不等式、函數(shù)密切相關(guān)的具有較強(qiáng)綜合性的問題．掌握與橢圓有關(guān)的最值問題，不僅有助于學(xué)生分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)，還能夠通過滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)思維的靈活性．那么，如何更加有效地指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“與橢圓有關(guān)的最值問題”呢？筆者在實(shí)踐中進(jìn)行了多次嘗試，并獲得一些有意義的經(jīng)驗(yàn)．

教學(xué)中，筆者先通過多媒體向?qū)W生演示了“運(yùn)動(dòng)的太陽(yáng)系”，并請(qǐng)學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識(shí)，從數(shù)學(xué)角度研究地球公轉(zhuǎn)過程中，地球距離太陽(yáng)中心的最近和最遠(yuǎn)的距離．其設(shè)計(jì)意圖在于，利用天體運(yùn)動(dòng)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生主動(dòng)引入平面直角坐標(biāo)系，用代數(shù)的方法思考幾何問題，以體現(xiàn)解析幾何的本質(zhì)，并通過把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值．

分析：求定點(diǎn)到橢圓上的任意點(diǎn)之間距離的最值問題，常用兩點(diǎn)間距離公式求解，通過消元將該問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題，用代數(shù)方法解決幾何問題．或者考慮F點(diǎn)的特殊性，利用橢圓的第二定義，將兩點(diǎn)間的距離問題轉(zhuǎn)化為橢圓上點(diǎn)到直線的距離問題，采用數(shù)形結(jié)合的方法加以解決．

當(dāng)x=-a時(shí)，PFmax=a+c；

當(dāng)x=a時(shí)，PFmin=a-c．

通過觀察圖形并結(jié)合運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)(動(dòng)橢圓上的點(diǎn)定直線或動(dòng)直線定橢圓)得：

圖1

本題是研究焦點(diǎn)到橢圓上任意點(diǎn)的距離的最值問題，目的是引出解決此類最值問題的兩種基本方法，即函數(shù)法和定義轉(zhuǎn)化法．由上題的研究可以發(fā)現(xiàn)，橢圓的右頂點(diǎn)是到右焦點(diǎn)最近的點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的位置在太陽(yáng)系中稱為近日點(diǎn)；橢圓的左頂點(diǎn)是到右焦點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的位置在太陽(yáng)系中稱為遠(yuǎn)日點(diǎn)．教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生思考：如果定點(diǎn)是長(zhǎng)軸上除焦點(diǎn)外的其他點(diǎn)，這個(gè)結(jié)論成立嗎？由此進(jìn)行下面的探究．

分析：用兩點(diǎn)間距離公式求解，通過消元將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題．解題過程中需要關(guān)注目標(biāo)函數(shù)的定義域．

當(dāng)x=-2時(shí)，PM2max=9?PMmax=3．

教師再結(jié)合地球公轉(zhuǎn)問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，如何計(jì)算地球距太陽(yáng)表面的最近距離．通過回歸實(shí)際，從學(xué)生的直觀感知出發(fā)得到問題的解決方法，并揭示該問題的本質(zhì)，即橢圓上任意一點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)距離的最值．

圖2

分析：此題有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，考慮先確定一個(gè)，利用圓的性質(zhì)，可知PQmin=PMmin-r，再利用探究問題1的結(jié)論即可求得PQmin，則問題得到解決．這個(gè)變式是對(duì)探究問題1的強(qiáng)化，難點(diǎn)在于對(duì)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的處理．利用圓的性質(zhì)突破難點(diǎn)，這是化歸思想的具體應(yīng)用．

解：設(shè)圓M的半徑為r，

由圓的性質(zhì)和題意，可知PQmin=PMmin-r．

在經(jīng)典問題的幾何法解題過程中，我們采用數(shù)形結(jié)合的方式研究了橢圓上的點(diǎn)到與x軸垂直的直線距離的最值問題，如果直線不垂直于x軸，應(yīng)該怎樣解決？

分析：求橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最值問題，可以利用點(diǎn)到直線距離公式構(gòu)建二元目標(biāo)函數(shù)，再用解決二元最值問題的基本方法來(lái)解決；或者借鑒解決經(jīng)典問題時(shí)動(dòng)直線定橢圓的操作過程，得到平行于已知直線的直線與橢圓相切時(shí)切點(diǎn)到直線的距離最近，而最近距離等于切線到已知直線的距離．

解此類問題時(shí)，學(xué)生很容易想到代數(shù)法和幾何法這兩種解題途徑．大部分學(xué)生利用代數(shù)法解題時(shí)會(huì)在消元的時(shí)候遇到困難；而利用幾何法解題時(shí)，計(jì)算切點(diǎn)又過于復(fù)雜．因此可以組織學(xué)生進(jìn)行分組討論，最后歸納總結(jié)：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)不便于直接消元時(shí)，可以利用三角換元或者目標(biāo)函數(shù)的幾何意義找到解題的突破口．求圓錐曲線上的點(diǎn)到某條直線距離的最值時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想先求與已知直線平行的且與圓錐曲線相切的直線方程，再求兩平行線之間的距離可以避免煩瑣的計(jì)算．

在“一類與橢圓有關(guān)的最值問題”的課堂教學(xué)中，筆者運(yùn)用了系統(tǒng)的方法分析教學(xué)問題，建立了解決問題的策略方案．這個(gè)過程的科學(xué)化運(yùn)作是行為主義、建構(gòu)主義等教學(xué)設(shè)計(jì)理論有機(jī)結(jié)合的結(jié)果．

行為主義認(rèn)為學(xué)習(xí)是一種行為的變化，強(qiáng)調(diào)刺激、反應(yīng)和強(qiáng)化．這種理論給教學(xué)設(shè)計(jì)的啟示是：(1)反應(yīng)必須在刺激之后立即出現(xiàn)；(2)重復(fù)練習(xí)能加強(qiáng)學(xué)習(xí)和促進(jìn)記憶；(3)與反應(yīng)正確性有關(guān)的信息可以促進(jìn)學(xué)習(xí)．本節(jié)課在完成例題的解答后，利用探究問題1及兩個(gè)變式，探究問題2和探究問題3不斷刺激，促使學(xué)生學(xué)習(xí)和反復(fù)操練，達(dá)到強(qiáng)化和鞏固的目的．

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)者要真正獲取知識(shí)，是學(xué)習(xí)者在一定社會(huì)文化背景和情境下，利用必要的學(xué)習(xí)資源，通過與他人的協(xié)商、交流與合作，由本人進(jìn)行意義建構(gòu)而獲得的．建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)創(chuàng)設(shè)情境，并使學(xué)習(xí)者進(jìn)入情境；強(qiáng)調(diào)為學(xué)習(xí)者提供各種資源，讓學(xué)習(xí)者自主學(xué)習(xí)和探究；強(qiáng)調(diào)組織學(xué)習(xí)者之間進(jìn)行協(xié)商學(xué)習(xí)．根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，教學(xué)設(shè)計(jì)必須體現(xiàn)的是：(1)強(qiáng)調(diào)“情境”的重要性；(2)強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心；(3)強(qiáng)調(diào)“協(xié)作學(xué)習(xí)”的重要性．根據(jù)這種教學(xué)設(shè)計(jì)理論，本節(jié)課設(shè)置并圍繞太陽(yáng)系行星公轉(zhuǎn)的情境，不斷提出問題，促使學(xué)生充分利用已有的知識(shí)體驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行獨(dú)立思考、分組討論和交流總結(jié)，努力實(shí)現(xiàn)課程改革中“以學(xué)生為本”的基本理念．

根據(jù)這兩種理論的結(jié)合，本節(jié)課利用多媒體課件輔助教學(xué)，直觀形象地展示了問題情境，圍繞情境不斷提出與橢圓有關(guān)的最值問題，層層遞進(jìn)反復(fù)強(qiáng)化，始終貫徹以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，探究為主線，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與到課堂教學(xué)的全過程中．從教學(xué)效果上看，這種實(shí)踐是非常有益的．

(責(zé)任編輯：李珺)

① 本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究2013年度第十期立項(xiàng)課題《普通高中師生共建教學(xué)問題庫(kù)的實(shí)踐》(編號(hào)：2013JK10-L086，主持人：姜紅珍、胡福林)的研究成果之一．