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    全等之后見精彩

    2016-10-25 07:15:21左效平
    初中生天地 2016年26期
    關(guān)鍵詞:延長線平分線度數(shù)

    □左效平

    全等之后見精彩

    □左效平

    全等三角形既是獨(dú)立的數(shù)學(xué)知識,也是重要的學(xué)習(xí)工具,如能靈活應(yīng)用這一強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具,將會充分享受三角形全等后帶來的精彩,真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的魅力,感悟數(shù)學(xué)的奇妙.

    一、全等后辨析結(jié)論正誤

    例1如圖1,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AC,垂足為E,BF∥AC交ED的延長線于點(diǎn)F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.給出下列四個結(jié)論:

    ①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AC=3BF.

    其中正確的結(jié)論共有().

    圖1

    A.4個B.3個

    C.2個D.1個

    分析:由BF∥AC,得∠C=∠CBF,因?yàn)锽C平分∠ABF,所以∠ABC=∠CBF,所以∠C=∠ABC,所以AB= AC,因?yàn)锳D是△ABC的角平分線,所以BD=CD,AD⊥BC,②③正確.

    在△CDE與△DBF中,

    所以△CDE≌△BDF,

    所以DE=DF,CE=BF,

    結(jié)論①正確.

    因?yàn)锳E=2BF,所以AC=3BF,

    ④正確.

    解:選A.

    二、全等后證明線段相等

    例2如圖2,已知點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊AB上,點(diǎn)F在邊AC上,連接DF并延長交BC的延長線于點(diǎn)E,EF=FD.求證:AD=CE.

    圖2

    分析:作DG∥BC交AC于G,先證明△DFG≌△EFC,得出GD= CE,再證明△ADG是等邊三角形,得出AD=GD,即可得出結(jié)論.

    證明:如圖2所示,作DG∥BC交AC于G,則∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB.因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形,所以△ADG是等邊三角形,所以DG=AD.

    因?yàn)镈G∥BC,所以∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF.

    在△DGF和△ECF中,

    所以△DGF≌△ECF,

    所以CE=GD.

    因?yàn)镚D=AD,所以AD=CE.

    三、全等后判定三角形的形狀,探求生成新角的度數(shù)

    例3已知∠ABC=90°,D是直線AB上的點(diǎn),AD=BC.

    (1)如圖3,過點(diǎn)A作AF⊥AB,并截取AF=BD,連接DC、DF、CF,判斷△CDF的形狀并證明;

    圖3

    (2)如圖4,E是直線BC上一點(diǎn),且CE=BD,直線AE、CD相交于點(diǎn)P,∠APD的度數(shù)是一個固定的值嗎?若是,請求出它的度數(shù);若不是,請說明理由.

    圖4

    分析:(1)利用SAS證明△AFD和△BDC全等,再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC及∠FDA=∠DCB,即可判斷三角形的形狀.

    (2)作AF⊥AB于A,使AF=BD,連結(jié)DF、CF,利用SAS證明△AFD和△BDC全等,再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC,∠FDC=90°,即可得出∠FCD=∠APD=45°.

    解:(1)△CDF是等腰直角三角形,理由如下:

    因?yàn)锳F⊥AD,∠ABC=90°,

    所以∠FAD=∠DBC=90°.

    在△FAD與△DBC中,

    所以△FAD≌△DBC(SAS),

    所以FD=DC,∠FDA=∠DCB.

    因?yàn)椤螧DC+∠DCB=90°,

    所以∠BDC+∠FDA=90°,

    所以△CDF是等腰直角三角形.

    (2)作AF⊥AB于A,使AF=BD,連結(jié)DF、CF,如圖4.

    因?yàn)锳F⊥AD,∠ABC=90°,

    所以∠FAD=∠DBC=90°.

    在△FAD與△DBC中,

    所以△FAD≌△DBC(SAS),

    所以FD=DC,∠FDA=∠DCB.

    因?yàn)椤螧DC+∠DCB=90°,

    所以∠BDC+∠FDA=90°,

    所以△CDF是等腰直角三角形,

    ∠FCD=45°.

    因?yàn)锳F∥CE,

    所以∠FAC=∠ECA.

    因?yàn)镃E=BD,BD=AF,

    所以AF=CE.

    在△FAC與△EAC中,

    所以△FAC≌△ECA,

    所以∠FCA=∠EAC,

    所以AE∥CF,

    所以∠ADP=∠FCD=45°.

    四、全等后判定兩線的位置、數(shù)量關(guān)系

    例4如圖5,已知:在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,AE∥BC,CE⊥AE,垂足為E.

    (1)求證:△ABD≌△CAE;

    (2)連接DE,線段DE與AB之間有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論.

    圖5

    分析:(1)運(yùn)用AAS證明△ABD≌△CAE.

    (2)證明△ADE≌△ECA,AC= DE,結(jié)合AB=AC,得證AB=DE;證明∠ABC=∠ACB=∠EDC,可證明AB∥DE.

    證明:(1)因?yàn)锳B=AC,所以∠B=∠ACD,因?yàn)锳E∥BC,所以∠EAC=∠ACD,所以∠B=∠EAC.

    因?yàn)锳D是BC邊上的中線,所以AD⊥BC,因?yàn)镃E⊥AE,所以∠ADC=∠CEA=90°.

    在△ABD和△CAE中,

    所以△ABD≌△CAE(AAS).

    (2)AB=DE且AB∥DE.

    理由如下:連接DE,因?yàn)锳D⊥BC,AE∥BC,所以AD⊥AE,因?yàn)镃E⊥AE,所以∠DAE=∠CEA=90°.

    由(1)知△ABD≌△CAE,

    所以AD=CE,

    在△ADE和△ECA中,

    所以△ADE≌△ECA,

    所以DE=AC,

    因?yàn)锳B=AC,所以DE=AB.

    因?yàn)椤鰽DE≌△ECA,

    所以∠ADE=∠ACE,

    所以∠EDC=∠ACB,

    所以∠EDC=∠B,

    所以AB∥DE.

    所以二者的關(guān)系是AB=DE且AB∥DE.

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