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    三角形解題中的數(shù)學(xué)思想方法

    2016-10-25 07:15:21方震軍
    初中生天地 2016年26期
    關(guān)鍵詞:邊數(shù)銳角三角等腰三角

    □方震軍

    三角形解題中的數(shù)學(xué)思想方法

    □方震軍

    數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的金鑰匙,在解決三角形的有關(guān)問題時(shí),常用到如下數(shù)學(xué)思想方法:

    一、列舉法

    例1已知等腰三角形兩條邊的長(zhǎng)分別是7和3,則下列四個(gè)數(shù)中,能成為第三條邊長(zhǎng)的是().

    A.8 B.7 C.4 D.3

    解析:方法1:先列舉出所有可能情況:將選擇支中的數(shù)據(jù)分別與已知條件組成三條線段,在7、3、8,7、3、7,7、3、4,7、3、3四個(gè)組合中,7、3、8和7、3、4中沒有相等的邊,不是等腰三角形;而在7、3、3中,由于3+3<7,不能構(gòu)成三角形;只有7、3、7能構(gòu)成等腰三角形,選B.

    方法2:設(shè)第三邊的長(zhǎng)為x cm,則由“三角形的任意兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,有7-3<x<7+3,即4<x<10,對(duì)照選擇支,可知A、B在這個(gè)范圍中,但7、3、8不能構(gòu)成等腰三角形,所以選B.

    二、方程思想

    例2如圖1,一個(gè)多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個(gè)內(nèi)角后,得到一個(gè)內(nèi)角和為2340°的新多邊形,則原多邊形的邊數(shù)為().

    A.13 B.14

    C.15 D.16

    圖1

    解析:按圖示的剪法剪去一個(gè)內(nèi)角后,多出了一條邊,據(jù)此利用多邊形的內(nèi)角和公式列方程求解.設(shè)原多邊形的邊數(shù)為x,則新多邊形的邊數(shù)為(x+1),根據(jù)題意列出方程(x+1-2)·180=2340,解得x= 14.故選B.

    三、轉(zhuǎn)化思想

    例3如圖2,一副分別含有30°和45°角的兩個(gè)直角三角板,拼成如下圖形,其中∠C=90°,∠B= 45°,∠E=30°,則∠BFD的度數(shù)是().

    A.15°B.25°

    C.30°D.10°

    圖2

    分析:通過三角形內(nèi)角和或外角的性質(zhì)把要求的角轉(zhuǎn)化為已知角的和或差.

    解:由題意知∠EDC=60°,又知∠B=45°,所以∠BFD=∠EDC-∠B=60°-45°=15°,故選A.

    四、夾逼思想

    例4一個(gè)多邊形的內(nèi)角和小于它的外角和,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是().

    A.3 B.4 C.5 D.6

    分析:直接套用內(nèi)角和公式列出不等式,利用夾逼思想求出其正整數(shù)解即可.

    解:設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n,

    則有(n-2)·180°<360°,

    解得n<4.

    又∵n為正整數(shù),且n≥3,

    ∴n=3.故選A.

    五、分類思想

    例5等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°,則該等腰三角形的底角的度數(shù)為_______.

    分析:需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論,利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出它的底角的度數(shù).

    解:在三角形ABC中,設(shè)AB= AC,BD⊥AC于D.

    ①如圖3,若三角形是銳角三角形,∠A=90°-36°=54°,底角=(180°-54°)÷2=63°;

    圖3

    ②如圖4,若三角形是鈍角三角形,∠BAC=36°+90°=126°,此時(shí)底角=(180°-126°)÷2=27°.

    圖4

    所以等腰三角形底角的度數(shù)是63°或27°.

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