考慮非比例阻尼的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)譜研究

杜永峰，徐天妮，包　超，陳　凱，洪　娜

(1 蘭州理工大學(xué) 西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心，蘭州　730050；2 蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所，蘭州　730050)

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考慮非比例阻尼的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)譜研究

杜永峰1,2，徐天妮2，包超2，陳凱2，洪娜2

(1 蘭州理工大學(xué) 西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心，蘭州730050；2 蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所，蘭州730050)

對(duì)于基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)而言，其上部結(jié)構(gòu)和隔震層的阻尼特性截然不同，往往呈現(xiàn)出明顯的非比例阻尼特性。因此，有必要建立一種考慮非比例阻尼的隔震結(jié)構(gòu)實(shí)用計(jì)算方法以便于推廣和應(yīng)用。通過用雙自由度振動(dòng)體系模擬基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)，在建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)考慮其非比例阻尼效應(yīng)。通過對(duì)該簡化模型進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析，得到其在近場(chǎng)及遠(yuǎn)場(chǎng)地震記錄作用下考慮非比例阻尼與瑞利阻尼的反應(yīng)譜，并通過曲線擬合得到了非比例阻尼反應(yīng)譜和瑞利阻尼反應(yīng)譜的譜比值與結(jié)構(gòu)自振周期之間的關(guān)系式。然后對(duì)某實(shí)際隔震工程進(jìn)行地震響應(yīng)分析，驗(yàn)證所提公式的合理性。

非比例阻尼；反應(yīng)譜；近遠(yuǎn)場(chǎng)地震記錄；基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)

隔震技術(shù)自20世紀(jì)末以來，已成為國內(nèi)外結(jié)構(gòu)工程和防災(zāi)領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究方向[1]。反應(yīng)譜是目前抗震設(shè)計(jì)中應(yīng)用最廣泛的確定地震作用的理論依據(jù)，其應(yīng)用在很大程度上簡化了結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)計(jì)算，在其70多年的發(fā)展過程中，基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜研究也取得了很大的進(jìn)展[2-5]。

阻尼是結(jié)構(gòu)抗震分析中的一個(gè)重要因素，也是結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性之一，對(duì)于由同種材料組成的結(jié)構(gòu)，目前公認(rèn)其阻尼處于某一范圍，我國規(guī)范規(guī)定混凝土結(jié)構(gòu)阻尼比取0.05，鋼結(jié)構(gòu)取0.02，而基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)中的隔震層與上部結(jié)構(gòu)的阻尼特性是截然不同的，往往體現(xiàn)出非比例阻尼特性，因此用某一定值顯然不能反應(yīng)結(jié)構(gòu)的耗能特點(diǎn)[6]，故國內(nèi)外學(xué)者提出了非比例阻尼這一特殊議題，并作了大量的研究[7-12]，其中，RYAN[13]指出在動(dòng)力分析中，基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)利用經(jīng)典阻尼求解會(huì)使分析結(jié)果不合理。

作為研究所針對(duì)的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)，前人對(duì)隔震層非比例阻尼特性已做了大量的研究，但是對(duì)于考慮這一特性來分析隔震結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜的研究還不是很多?，F(xiàn)有規(guī)范[14]的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜通過對(duì)阻尼比為0.05的標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜進(jìn)行修正，得到了不同阻尼比情況下的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜，但是基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的隔震層與上部結(jié)構(gòu)的阻尼比是不一致的，為得到精確分析與設(shè)計(jì)結(jié)果，有必要在研究反應(yīng)譜時(shí)考慮非比例阻尼因素。

選取ATC-63[15]建議的地震記錄作為激勵(lì)，并將基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)簡化為兩自由度體系，采用分區(qū)瑞利阻尼模型，利用狀態(tài)空間法，對(duì)基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)進(jìn)行時(shí)程分析，求出結(jié)構(gòu)在地震作用下的時(shí)程反應(yīng)，并得到其反應(yīng)譜。通過對(duì)比分析分別考慮非比例阻尼和比例阻尼時(shí)反應(yīng)譜的特性，建立了二者與結(jié)構(gòu)自振周期之間的關(guān)系，并給出了擬合公式，其形式簡單，計(jì)算方便，適于工程應(yīng)用。文中最后通過數(shù)值算例驗(yàn)證了所提公式的有效性。

1　基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜

1.1雙自由度體系運(yùn)動(dòng)方程

地震作用下兩自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程為：

[K]{X}〗

(1)

由于隔震層與上部結(jié)構(gòu)的阻尼明顯不同，所以其阻尼矩陣與經(jīng)典阻尼體系的阻尼也不相同，引用分區(qū)瑞利阻尼模型，即非比例阻尼的表達(dá)式為：

[C]=[C0]+[Cr]

(2)

式中:[C0]是瑞利阻尼矩陣，其表達(dá)式為

[C0]=αs[M]+βs[K]

(3)

[Cr]為非比例阻尼的余項(xiàng)阻尼矩陣，其表達(dá)式為

式中，αt、βt、αb、βb分別是上部結(jié)構(gòu)和隔震層的瑞利阻尼比例系數(shù)，mb、kb分別為隔震層的質(zhì)量與等效剛度。

1.2基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜分析方法

利用狀態(tài)空間法時(shí)，上部結(jié)構(gòu)與隔震層的阻尼比分別取0.05、0.20，式(1)可表示為：

(5a)

(5b)

1.3地震記錄的選取

從美國太平洋地震中心(PEER)強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫中選取了ATC-63報(bào)告建議的21條遠(yuǎn)場(chǎng)水平向強(qiáng)震記錄和23條近場(chǎng)水平向強(qiáng)震記錄，見表1。所選地震記錄的PGA均大于0.2 g，PGV均大于15 cm/s；地震記錄的有效周期至少達(dá)到4 s，且所有的地震記錄均為巖石或硬土場(chǎng)地條件下的地震記錄。

表1　遠(yuǎn)場(chǎng)地震記錄

表2　近場(chǎng)地震記錄

2　基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜對(duì)比分析

在建立結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜時(shí)，假設(shè)上部結(jié)構(gòu)與隔震層的阻尼比均為一定值，隔震結(jié)構(gòu)自振周期T的取值從0.02 s到10 s，間隔0.02 s，用表1中的地震記錄進(jìn)行地震響應(yīng)分析，最終得到基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的位移反應(yīng)譜、加速度反應(yīng)譜及其平均反應(yīng)譜，見圖1。

圖1表示三種不同類型的地震作用下，隔震結(jié)構(gòu)的位移反應(yīng)譜及加速度反應(yīng)譜，從圖中給出的平均反應(yīng)譜曲線(粗虛線)可以發(fā)現(xiàn)，無論考慮非比例阻尼與否，反應(yīng)譜的譜形規(guī)律都是相似的，均包含上升段、峰值、下降段，水平段，這與規(guī)范中反應(yīng)譜譜形是基本一致的。隔震結(jié)構(gòu)自振周期較小時(shí)，響應(yīng)隨著其周期的增加而增大，但當(dāng)達(dá)到某一定值后，響應(yīng)不再隨其周期的增大而變化或者變化很小。

當(dāng)隔震結(jié)構(gòu)自振周期小于4 s時(shí)，阻尼會(huì)對(duì)其反應(yīng)譜曲線產(chǎn)生明顯的影響，即考慮非比例阻尼后隔震結(jié)構(gòu)的響應(yīng)都偏大。從圖1的平均反應(yīng)譜可以看出，遠(yuǎn)場(chǎng)地震作用下，考慮非比例阻尼后結(jié)構(gòu)的位移、加速度響應(yīng)與僅考慮瑞利阻尼時(shí)相比最大分別增加了36.7%、40.4%；同樣地，近場(chǎng)脈沖型地震作用下結(jié)構(gòu)的位移與加速度響應(yīng)最大分別增加了34.7%、34.4%；近場(chǎng)非脈沖型地震作用下結(jié)構(gòu)的位移與加速度響應(yīng)最大分別增加了33.9%、33.6%。

圖1　地震作用下結(jié)構(gòu)的位移譜及加速度譜Fig.1　The displacement spectra and acceleration spectra under ground motions

在實(shí)際的設(shè)計(jì)和評(píng)估時(shí)都有滿足保守估計(jì)的要求，因此，在傳統(tǒng)的抗震設(shè)計(jì)中，基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)是需要考慮其非比例阻尼特性的，若不考慮，使計(jì)算得到的結(jié)果偏小就不能滿足保守估計(jì)的要求。另外，抗震規(guī)范規(guī)定，隔震結(jié)構(gòu)不阻礙隔震層在罕遇地震下的大變形的措施之一為：上部結(jié)構(gòu)的周邊應(yīng)設(shè)置豎向隔離縫，縫寬不宜小于各隔震支座在罕遇地震下的最大水平位移值的1.2倍且不小于200 mm。因此，若按傳統(tǒng)的抗震設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)隔震結(jié)構(gòu)，沒有考慮隔震層的非比例阻尼特性，得到的隔震層水平位移就會(huì)偏小，隔震縫的尺寸相應(yīng)偏小就可能會(huì)使隔震層的水平變形受到阻礙，在罕遇地震下不僅不能起到隔震的效果，反而會(huì)使隔震結(jié)構(gòu)破壞。

從圖1中的平均反應(yīng)譜可以看出，隔震周期大于4 s后，考慮非比例阻尼的譜值比比例阻尼的譜值小，這是因?yàn)榭紤]非比例阻尼后，長周期段結(jié)構(gòu)累積的阻尼耗能較不考慮時(shí)大，剛度自然就變小，而在輸入同等的地震能量的情況下，較小剛度隔震層的滯回耗能較大，那么結(jié)構(gòu)的響應(yīng)自然就會(huì)較小。但是一般的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)周期都在圖中所示的短周期段，說明在進(jìn)行隔震結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)時(shí)，用傳統(tǒng)的反應(yīng)譜計(jì)算得到的地震作用、位移都偏小。

3　非比例阻尼反應(yīng)譜與瑞利阻尼反應(yīng)譜關(guān)系

從前面的分析可知，非比例阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)反應(yīng)譜會(huì)產(chǎn)生一定的影響，為了使得基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)在合理的基礎(chǔ)上得到簡化，現(xiàn)根據(jù)非線性曲線擬合方法，給出考慮非比例阻尼的反應(yīng)譜(Snpd)與考慮瑞利阻尼的反應(yīng)譜(Spd)的譜比值(稱之為反應(yīng)譜比譜)與結(jié)構(gòu)自振周期關(guān)系的擬合表達(dá)式，利用該表達(dá)式可以直接在比例阻尼得到的結(jié)構(gòu)反應(yīng)譜的基礎(chǔ)上獲得考慮非比例阻尼的結(jié)構(gòu)反應(yīng)譜，便于工程實(shí)際應(yīng)用，該表達(dá)式為：

Snpd/Spd(T)=aTb+c

(6)

式中:T為隔震結(jié)構(gòu)的自振周期，a,b,c為表達(dá)式的相關(guān)參數(shù)，它們的取值與地震記錄的類型及反應(yīng)譜的類型有關(guān)，見表3，表中列出了不同地震記錄和反應(yīng)譜類型的對(duì)應(yīng)擬合表達(dá)式的相關(guān)參數(shù)取值，在估算考慮非比例阻尼特性的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)響應(yīng)時(shí)，可以通過查表來得到所需的取值。

表3　擬合表達(dá)式的參數(shù)取值

圖2所示為反應(yīng)譜比譜與通過曲線擬合得到的擬合曲線。從圖中可以看出，對(duì)于任意一類的地震記錄，通過擬合表達(dá)式得到的擬合曲線與真實(shí)的反應(yīng)譜比譜之間的匹配度還是比較高的，說明文中給出的擬合表達(dá)式具有一定的準(zhǔn)確性。

圖2　不同地震記錄作用下反應(yīng)譜比譜及其擬合曲線Fig.2　Ratio spectra and its fitting curve under different ground motion

4　算例分析

以某上部結(jié)構(gòu)8層的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)為例[16]，進(jìn)行時(shí)程分析。具體參數(shù)為：上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量mi=2.3×105kg(i=1,2…，8)，剛度ki=2.3×108N/(i=1,2…，8)；隔震層質(zhì)量mb=3.3×105kg，隔震層的總剛度kb=1.92×105N/m，隔震支座的屈服位移dy=0.015 m，隔震支座的極限位移du=0.33 m，隔震支座屈服后與屈服前的剛度比α=0.1，可以得到隔震層的等效剛度keq=2.679×106N/m，隔震結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)基本周期Tb=2.24 s。

4.1時(shí)程分析地震記錄

在三種類型的地震記錄中各選取三條不同的地震記錄，如表4。

表4　時(shí)程分析選用的地震記錄

4.2基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)時(shí)程分析

由時(shí)程分析可得到各時(shí)程的最大值，列于表5中，從表中可以看出，無論是哪種類型的地震作用，按非比例阻尼計(jì)算的結(jié)構(gòu)響應(yīng)均大于按比例阻尼計(jì)算的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，位移響應(yīng)的增加了13%～52%，加速度響應(yīng)的增加了27%～134%，這就意味著在抗震設(shè)計(jì)中，工程設(shè)計(jì)人員考慮的峰值位移、基底剪力都是偏小的。

該隔震結(jié)構(gòu)的自振周期Tb=2.24 s，結(jié)構(gòu)響應(yīng)如表5所示，將這些數(shù)據(jù)代入式(6)中，可得出不同類型地震作用下考慮非比例阻尼的反應(yīng)譜與考慮瑞利阻尼反應(yīng)譜之間的比值，并與時(shí)程分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得到二者之間的相對(duì)誤差，見表6，并驗(yàn)證所得到公式的合理性。

從表中可以看出，擬合表達(dá)式能較好地反映結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，說明該擬合表達(dá)式具有一定的準(zhǔn)確性。

表5　結(jié)構(gòu)的響應(yīng)

表6　擬合表達(dá)式與結(jié)構(gòu)響應(yīng)對(duì)比

5　結(jié)　論

通過研究基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)非比例阻尼特性對(duì)其反應(yīng)譜的影響，得到以下一些結(jié)論：

(1)不同類型的地震記錄作用下，考慮非比例阻尼特性后，結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)、加速度響應(yīng)均有所增加，增加約為30%。

(2)隔震結(jié)構(gòu)自振周期在0～4 s時(shí)，其抗震設(shè)計(jì)需要考慮隔震層的非比例阻尼特性，可使得設(shè)計(jì)滿足保守估計(jì)的要求；但一旦隔震結(jié)構(gòu)自振周期大于4 s，則不宜再采用非比例阻尼反應(yīng)譜。

(3)通過曲線擬合給出譜比值與隔震結(jié)構(gòu)自振周期之間的關(guān)系表達(dá)式具有一定的合理性。在實(shí)際工程應(yīng)用中，通過相關(guān)參數(shù)的取值，可以在瑞利阻尼結(jié)構(gòu)響應(yīng)的基礎(chǔ)上快速得到具有非比例阻尼特性的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，為隔震結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

由于建立的模型較單一，因此擬合關(guān)系式僅適用于上部結(jié)構(gòu)較規(guī)則的基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)，對(duì)于上部結(jié)構(gòu)復(fù)雜或其他類型的隔震結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)計(jì)算，仍需作進(jìn)一步的研究。

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Nonlinear response spectra for base-isolated structures with non-proportional damping

DU Yongfeng1,2,XU Tianni2,BAO Chao2,CHEN Kai2,HONG Na2

(1.MOE Western Engineering Center of Disaster Mitigation in Civil Engineering,Lanzhou University of Technology,Lanzhou 730050,China;2.Institute of Earthquake Protection and Disaster Mitigation,Lanzhou University of Technology,Lanzhou 730050,China)

The damping characteristics of upper structure and isolation layer for a base-isolated system are completely different,so the system often exhibits significant non-proportional damping characteristics.It is necessary to consider the non-proportional damping during aseismic design of base-isolated structures.Meanwhile,this design method is convenient for promotion and application.Here,a 2-DOF simplified model for base-isolated structures was set up,and the non-proportional damping effect was considered to establish the dynamic equation of the system.Then,the responses of the simplified model were analyzed and its response spectra considering non-proportional damping and Rayleigh damping,respectively under the excitation of near-field and far-field ground motions.The calculation formulas for the ratio of its non-proportional damping response spectra to its Rayleigh damping ones and the system’s natural vibration periods were deduced wth the curve-fitting method.Finally,the seismic response analysis for a real base-isolated structure was performed,and the reasonableness of the proposed formulas.

non-proportional damping; response spectra; near-filed and far-filed ground motion records; base-isolated structure

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51178211)

2015-06-05修改稿收到日期：2015-08-29

杜永峰 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1962年生

TU311.3

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.035