非彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的首次穿越分析

徐　明，金華斌

(1.中國(guó)計(jì)量學(xué)院計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院，杭州　310018；2.浙江省流量計(jì)量技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州　310018)

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非彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的首次穿越分析

徐明1，2，金華斌1，2

(1.中國(guó)計(jì)量學(xué)院計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院，杭州310018；2.浙江省流量計(jì)量技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州310018)

對(duì)高斯白噪聲激勵(lì)作用下的非彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的首次穿越問(wèn)題作了分析，得到了非彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的條件可靠性函數(shù)和相應(yīng)的條件概率密度函數(shù)。不同于以往碰撞物理模型，非彈性碰撞作用采用了修正赫茲接觸模型。首先，基于能量耗散平衡法，將碰撞振動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為不含碰撞的等效非線性系統(tǒng)。其次，應(yīng)用基于系統(tǒng)能量的隨機(jī)平均法，得到關(guān)于系統(tǒng)總能量的平均伊藤隨機(jī)微分方程。然后，建立條件可靠性函數(shù)的控制方程及相應(yīng)的初邊界條件，并數(shù)值求解。最后，分析了不同系統(tǒng)參數(shù)情形下條件可靠性函數(shù)及相應(yīng)的條件概率密度函數(shù)的變化規(guī)律。該方法可有效分析非彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的首次穿越問(wèn)題，數(shù)值分析結(jié)果表明較大的阻尼系數(shù)可提高系統(tǒng)可靠性，而較大的激勵(lì)強(qiáng)度則往往增加發(fā)生首次穿越的概率。

非彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)；修正赫茲接觸模型；隨機(jī)平均法；條件可靠性函數(shù)；條件概率密度函數(shù)

在機(jī)械和結(jié)構(gòu)工程中，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)是一類(lèi)十分廣泛的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，諸如石油運(yùn)輸管道碰撞其約束，大型輪船晃動(dòng)時(shí)與冰山等障礙物間的相互撞擊。碰撞振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)安全影響十分關(guān)鍵，因而已有不少學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究[1-3]。由于自然界中存在著大量的不可避免的隨機(jī)擾動(dòng)，針對(duì)受隨機(jī)激勵(lì)作用的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)研究的文獻(xiàn)也已有很多[4-6]。

基于該模型，應(yīng)用隨機(jī)平均法研究了單自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)[9]。隨機(jī)響應(yīng)分析的一個(gè)重要意義在于，可以提供結(jié)構(gòu)安全性和可靠性的直觀評(píng)估。對(duì)結(jié)構(gòu)安全性和可靠性的精確描述在數(shù)學(xué)上可歸于首次穿越問(wèn)題。如核工業(yè)中管道碰撞問(wèn)題，被撞擊管道的過(guò)大塑性變形將會(huì)導(dǎo)致泄漏，直接影響安全生產(chǎn)。因此可將該工程問(wèn)題提煉為簡(jiǎn)單的振子碰撞擋板模型，以最大位移或者最大能量為衡量破壞的指標(biāo)，研究其首次穿越問(wèn)題。

本文應(yīng)用能量耗散平衡法及隨機(jī)平均法，研究了基于修正赫茲接觸模型的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的首次穿越破壞。通過(guò)隨機(jī)平均法得到的關(guān)于系統(tǒng)總能量的平均伊藤隨機(jī)微分方程，建立了條件可靠性函數(shù)的控制方程-后向Kolmogorov方程，并用有限差分法數(shù)值求解，將求解結(jié)果與蒙特卡羅模擬結(jié)果比較以驗(yàn)證該方法的有效性。數(shù)值分析表明，增加系統(tǒng)的阻尼和減弱激勵(lì)強(qiáng)度均可提高機(jī)械和結(jié)構(gòu)工程中隨機(jī)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的安全性。特別需要說(shuō)明的是，本文不同于以速度、位移等系統(tǒng)狀態(tài)為首次穿越破壞準(zhǔn)則，而以系統(tǒng)總能量超過(guò)臨界能量視為發(fā)生首次穿越破壞，這類(lèi)似于以材料應(yīng)變能而非變形作為強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則。

1　等效非線性系統(tǒng)

本文考慮右側(cè)具有固定擋板的單自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，如圖1所示，其運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為：

(1)

圖1　單邊約束的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)示意圖Fig.1　Schematic of the vibrating system with one side barrier

(2a)

(2b)

式中:g+和g-分別表示加載階段和卸載階段曲線，x0表示彈性碰撞和非彈性碰撞位移臨界值，k2，k3表示附加剛度，δr表示質(zhì)量塊平衡位置與擋板間的距離。a1，a2分別表示質(zhì)量塊在平衡位置右側(cè)最大的位移，左側(cè)的最大位移。

圖2　修正赫茲接觸模型力-位移曲線Fig.2　The constitutive relationship of the non-inelastic model

若碰撞過(guò)程發(fā)生僅出現(xiàn)可完全恢復(fù)的彈性變形，則加載和卸載曲線重合，碰撞接觸力數(shù)學(xué)表達(dá)公式為：

(3)

由于修正赫茲接觸模型表示的碰撞接觸力同時(shí)包含阻尼和彈性效應(yīng)，無(wú)法直接對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行求解，故引入能量耗散平衡法，將碰撞作用力等效分解為阻尼和剛度兩部分。阻尼表示為擬線性阻尼，剛度則表示成系統(tǒng)勢(shì)能對(duì)位移的導(dǎo)數(shù)。擬線性阻尼由其在一個(gè)循環(huán)周期內(nèi)的耗散能量與碰撞接觸力耗散的能量相等來(lái)確定，相應(yīng)的等效阻尼系數(shù)表達(dá)式為：

2ζ1(H)=

(4)

(5)

右側(cè)位移幅值未超過(guò)臨界值x0的情形(δr

2ζ1(H)=0

(6)

系統(tǒng)總勢(shì)能則由其卸載能量確定，其相應(yīng)的表達(dá)形式為：

(7a)

式中：UL(x)=k1x2/2

(7b)

式中:y坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的卸載階段的碰撞作用力等于x坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的加載階段的碰撞作用力，y由關(guān)系式k2(y-δr-Δr)3/2=k3(x-x0)3/2+k2(x0-δr)3/2確定。

(7c)

對(duì)于情形δr

(8a)

式中：

(8b)

對(duì)于a1<δr情形，系統(tǒng)總勢(shì)能僅存在于線性彈簧中，故而其表達(dá)式為：

(9)

碰撞接觸力分解為等效阻尼和等效剛度后，原系統(tǒng)(1)等效為下列非線性系統(tǒng)：

(10)

2　隨機(jī)平均法

dH=m(H)dt+σ(H)dB(t)

(11)

式中：B(t)是單位維納過(guò)程。

與方程(11)相應(yīng)的漂移系數(shù)m(H)和擴(kuò)散系數(shù)σ2(H)分別為：

(12a)

(12b)

3　首次穿越破壞

條件可靠性函數(shù)的控制方程為后向Kolmogorov方程，表達(dá)式為

(13)

式中:m(H0)和σ2(H0)可由將漂移系數(shù)m(H)和擴(kuò)散系數(shù)σ2(H)中H替換為H0得到。

方程(13)的初始條件為

R(0|H0)=1,H0∈Ωs

(14)

及相應(yīng)的邊界條件為

R(t|H0)=0,H0=Hc,

R(t|H0)=finity,H0=0

(15a,b)

一般情況下，后向Kolmogorov方程很難得到解析的表達(dá)式，本文將采用有限差分法數(shù)值求解該方程。

首次穿越時(shí)間的條件概率密度則可由條件可靠性函數(shù)得到，

(16)

4　算例與討論

圖3　不同粘性阻尼系數(shù)的影響Fig.3　Influence of the viscous damping coefficient ζ

圖4　不同激勵(lì)強(qiáng)度2D的影響Fig.4　Influence of the excitation intensity 2D

由上述討論可知，① 本文提出的方法具有較好的精度，能較好分析非彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的首次穿越問(wèn)題；② 通過(guò)提高系統(tǒng)的阻尼，減小激勵(lì)強(qiáng)度能顯著提高系統(tǒng)的可靠性，為碰撞振動(dòng)系統(tǒng)可靠性設(shè)計(jì)提供一定的理論指導(dǎo)。

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First-passage failure of a non-elastic vibro-impact system

XU Ming1,2,JIN Huabin1,2

(1.College of Metrology & Measurement Engineering,China Jiliang University,Hangzhou 310018,China;2.Zhejiang Provincial Key Laboratory of Flow Measurement Technology,Hangzhou 310018,China)

The first-passage failure of an inelastic vibro-impact system was studied here,and the conditional reliability function and the conditional probability density function of the system were derived.Being different from the traditional impact model,the modified Hertzian contact model was adopted for this system.Firstly,based on the energy dissipation balance technique,the inelastic vibro-impact system was converted into an equivalent nonlinear system without impact.Secondly,the averaged Ito stochastic differential equation was derived with the stochastic averaging method.Thirdly,the governing equation for the conditional reliability function was established and numerically solved under given initial and boundary conditions.Lastly,the influences of different system parameters on the system’s conditional reliability function and conditional probability density function were ananlyzed.It was shown that the proposed technique is very efficient and accurate for the first passage failure of the vibro-impact system; the weaker excitation intensity and the bigger damping coefficient enhance the system’s reliability.

inelastic vibro-impact system; modified Hertzian contact model; stochastic averaging; conditional reliability function; conditional probability density function

國(guó)家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目(11402258);浙江省‘儀器科學(xué)與技術(shù)’重中之重學(xué)科人才培育計(jì)劃項(xiàng)目(JL150511)

2015-05-19修改稿收到日期：2015-08-09

徐明 男，博士，1986年生

O322;O324

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.033