“四法”搞定因式分解

曹德文

摘 要：因式分解是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，是一種恒等變形，方法靈活，基本方法有提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、十字相乘法，因式分解的技巧性也比較強(qiáng)，對于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、發(fā)展學(xué)生智力等都具有十分重要的意義。

關(guān)鍵詞：因式分解；四種方法；技巧

一、提公因式法

多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都有的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的公因式。通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)：一個(gè)多項(xiàng)式的公因式實(shí)質(zhì)上是取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母的最低次冪的積的形式。

【典型例題】把下列多項(xiàng)式分解因式：

（1）8a3b2-12ab3c； （2）-2m3+4m2+2m；

（3）6（x-2）+x（2-x）； （4）18b（a-b）2-12（a-b）3。

【解析】（1）8a3b2-12ab3c =4ab2（2a2-3bc）；

（2）-2m3+4m2+2m=-2m（m2-2m-1）；

（3）6（x-2）+x（2-x）=6（x-2）-x（x-2）= （x-2）（6-x）；

（4）18b（a-b）2-12（a-b）3=6（a-b）2[3b-2（a-b）]=6（a-b）2（5b-2a）。

二、運(yùn)用公式法

初中階段主要涉及兩類三個(gè)公式，平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2；

1.平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。

【典型例題】把下列各式分解因式：

（1）1-25b2； （2）（x+p）2-（x+q）2；

（3）16（a-b）2-9（a+b）2 ； （4）x4-y4。

【解析】（1）1-25b2=12-（5b）2=（1+5b）（1-5b）；

（2）（x+p）2-（x+q）2=[（x+p）+（x+q）][（x+p）-（x+q）]

=（2x+p+q）（p-q）；

（3）16（a-b）2-9（a+b）2=[4（a-b）]2-[3（a+b）]2

=[4（a-b）+3（a+b）][4（a-b）-3（a+b）]

=（7a-b）（a-7b）；

（4）x4-y4=（x2）2-（y2）2=（x2+y2）（x2-y2）=（x2+y2）（x+y）（x-y）。

2.完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2。

【典型例題】把下列各式分解因式：

（1）1+4x2y2-4xy；

（2）-x2-4y2+4xy；

（3）-16m4n6+24m3n5-9m2n4；

（4）9（x+a）2+30（x+a）（x+b）+25（x+b）2。

【解析】（1）1+4x2y2-4xy=12+（2xy）2-4xy=（1-2xy）2；

（2）-x2-4y2+4xy=-[x2+（2y）2-4xy]=-（x-2y）2；

（3）-16m4n6+24m3n5-9m2n4=-m2n4（16m2n2-24mn+9）

=-m2n4[（4mn）2-24mn+32]

=-m2n4（4mn-3）2；

（4）9（x+a）2+30（x+a）（x+b）+25（x+b）2

=[3（x+a）]2+30（x+a）（x+b）+[5（x+b）]2

=[3（x+a）+5（x+b）]2

=（8x+3a+5b）2。

用完全平方公式分解因式關(guān)鍵先是“湊”公式的結(jié)構(gòu)，再套用完全平方公式。

三、分組分解法

1.分組—提公因式法分解因式

【典型例題】把下列各式分解因式：

（1）a2-ab+ac-bc （2）2ax+5by-10ay-bx

【解析】（1）a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a（a-b）+c（a-b）=（a-b）（a+c）；

（2）2ax+5by-10ay-bx=（2ax-bx）+（5by-10ay）=x（2a-b）-5y（2a-b）=（2a-b）（x-5y）。

2.分組—運(yùn)用公式分解因式

【典型例題】把下列各式分解因式：

（1）x2-y2+ax+ay； （2）a2-2ab+b2-c2； （3）x3+x2y-xy2-y3。

【解析】（1）x2-y2+ax+ay=（x2-y2）+（ax+ay）=（x+y）（x-y）+a（x+y）=（x+y）（x-y+a）；

（2）a2-2ab+b2-c2=（a2-2ab+b2）-c2=（a-b）2-c2=（a-b+c）（a-b-c）；

（3）x3+x2y-xy2-y3=（x3+x2y）-（xy2+y3）=x2（x+y）-y2（x+y）=（x+y）（x2-y2）=（x+y）2（x-y）。

3.加項(xiàng)減項(xiàng)—分組分解法

【典型例題】把下列各式分解因式：

（1）a3+b3； （2）a3-b3； （3）x5-1。

【解析】（1）a3+b3=a3+a2b-a2b+b3=（a3+a2b）-（a2b-b3）=a2（a+b）-b（a2-b2）=a2（a+b）-b（a+b）（a-b）=（a+b）（a2-ab+b2）；

（2）a3-b3=a3+a2b-a2b-b3=（a3-a2b）+（a2b-b3）=a2（a-b）+b（a2-b2）=a2（a-b）+b（a+b）（a-b）=（a-b）（a2+ab+b2）；

（3）x5-1=x5+x3-x3-1=（x5-x3）+（x3-1）=x3（x2-1）+（x3-1）

=x3（x-1）（x+1）+（x-1）（x2+x+1）

=（x-1）[x3（x+1）+x2+x+1]

=（x-1）（x4+x3+x2+x+1）

四、十字相乘法

【類型一】 x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）型

【典型例題】把下列各式分解因式：

（1）x2+5x+6； （2）x2-5x+6； （3）x2+x-6； （4）x2-x-6。

【解析】（1）x2+5x+6=（x+2）（x+3）；（2）x2-5x+6=（x-2）（x-3）；

（3）x2+x-6=（x-2）（x+3）；（4）x2-x-6=（x+2）（x-3）。

【類型二】一般地二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0）因式分解

【典型例題】把下列各式分解因式：（1）2x2-x-1；（2）x2+x+1/4；（3）3x2-6x-7.

【解析】（1）2x2-x-1=（2x+1）（x-1）；

（2）x2+x+1/4=（x+1/2）2；

（3）3x2-6x-7=3（x-x1）（x-x2），（x1，x2分別是方程x2-2x-7/3=0的兩根）。

總之，在平時(shí)教學(xué)中，我們必須給學(xué)生教會上述四種方法，為了便于記憶，我整理成以下口訣：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，各項(xiàng)有“公”先提“公”，某項(xiàng)全提莫漏1，括號里面分到“底”。也可遵從一“提”、二“套”、三“分”、四“查”的步驟，即先提公因式，再套用公式，其次分組解決，最后用多項(xiàng)式的乘法檢查驗(yàn)證。

編輯 謝尾合