例析數(shù)學(xué)題型中條件變化類型

張麗紅

在平時(shí)的教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況，試卷上的題目和以往見(jiàn)過(guò)的非常類似，但事實(shí)上卻是要求不同的題目，部分學(xué)生在做這些題時(shí)會(huì)憑自己的感覺(jué)寫(xiě)上答案，錯(cuò)誤非常普遍，學(xué)生的心理特點(diǎn)是容易理解和接受具體的感性認(rèn)識(shí)。為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中了解概念的發(fā)生與形成過(guò)程，弄清概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，在頭腦中形成相關(guān)概念的網(wǎng)絡(luò)，以達(dá)到掌握并靈活運(yùn)用的程度，我們有必要研究數(shù)學(xué)題目中那些似曾相識(shí)卻又并非一樣的幾種相似題目類型，教會(huì)學(xué)生去分析比較，去區(qū)別，以下的例子在北師大版義務(wù)教育初三數(shù)學(xué)教材的習(xí)題中尤為常見(jiàn)：

一、數(shù)學(xué)題型變換類型分析

1.相似三角形的性質(zhì)的運(yùn)用中，題目條件中的符號(hào)“∽”相似，與文字“與”相似的不同

例（課本P123，22題）：如上圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=4，點(diǎn)P在BD上移動(dòng)，當(dāng)P，C，D為頂點(diǎn)的三角形△ABP相似時(shí)，求PB的長(zhǎng)。

分析：題目中，只是要求△PCD與△ABP相似，它們的頂點(diǎn)除了直角頂點(diǎn)自然對(duì)應(yīng)外，另外兩個(gè)頂點(diǎn)是可以有兩種對(duì)應(yīng)的，即本題應(yīng)該分類討論進(jìn)行求解：

（1）當(dāng)∠A=∠CPD時(shí)； （2）當(dāng)∠A=∠C時(shí)。

倘若把題目改為：如圖 AB⊥BD ， CD⊥BD，AB=6，CD=4，點(diǎn)P在BD上移動(dòng)，△PCD∽△APB時(shí)，求PB的長(zhǎng)。

分析：本題兩個(gè)三角形相似的每個(gè)頂點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系都已經(jīng)確定了，所以答案就只有一種情況。

2.題目本來(lái)的文字意義不同，引起題目的結(jié)論要求不同

例：（1）連續(xù)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，求恰好有一次正面朝上的概率。

（2）連續(xù)擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，求至少有一次正面朝上的概率。

分析：在做這類概率題目時(shí)，學(xué)生總是因?yàn)椴荒芾斫狻扒『糜幸淮巍焙汀爸辽儆幸淮巍钡臏?zhǔn)確含義而導(dǎo)致解答錯(cuò)誤：“恰好有一次”含義：有且只有一次正面朝上；“至少有一次”含義：指一次或者兩次正面朝上，即包括一次和兩次朝上的所有情況。

3.在利用方程解應(yīng)用題的教學(xué)中，因?yàn)轭}目多一個(gè)詞而引起結(jié)論的不同

例（課本P55）：隨堂練習(xí)某批發(fā)市場(chǎng)柜臺(tái)春節(jié)期間購(gòu)進(jìn)大量賀年卡，這種賀年卡平均每天售出500張，每張贏利0.3元，為了盡快減少庫(kù)存，攤主決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價(jià)每降價(jià)0.05元，那么平均每天可多售出200張，攤主要想平均每天贏利180元，每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元？

分析：本習(xí)題要特別關(guān)注“為了盡快減少庫(kù)存”這一句話的含義要求，也就是說(shuō)，在所求出兩個(gè)滿足方程的正數(shù)解中，應(yīng)該把較小的這個(gè)解舍去，因?yàn)榻档膬r(jià)錢越大，庫(kù)存減少得越快，但是，倘若題目中，把“為了盡快減少庫(kù)存”去掉，那么滿足方程的兩個(gè)正數(shù)解都符合要求，不能舍去。學(xué)生在解這些應(yīng)用題時(shí)，經(jīng)常會(huì)因?yàn)槔斫膺@句話的存在意義而把結(jié)果搞錯(cuò)，或者就是無(wú)視這句話直接導(dǎo)致解答出錯(cuò)。

4.反比例函數(shù)值大小比較的問(wèn)題中，如果已知反比例圖象上的兩點(diǎn)與已知反比例函數(shù)某一支上的兩點(diǎn)，函數(shù)值的大小也會(huì)有較大的差異

例1.（課本P157）數(shù)學(xué)理解：已知點(diǎn)（x1，y1）（x2，y2）都在反比例函數(shù)y=的圖象上，且x1>x2，比較y1與y2的大小。

例2.已知點(diǎn)（x1，y1）（x2，y2）是第三象限上的點(diǎn)，且都在反比例函數(shù)y=的圖象上，且x1>x2，比較y1與y2的大小。

分析：例1沒(méi)有說(shuō)明點(diǎn)（x1，y1）（x2，y2）的具體位置，所以需要分兩種位置情況進(jìn)行思考討論：（1）（x1，y1）在第一象限，（x2，y2）在第三象限，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的分類思想；（2）點(diǎn)（x1，y1）（x2，y2）都在反比例函數(shù)的同一支曲線上，從而進(jìn)行比較函數(shù)值y1與y2的大??；而例2說(shuō)明了這兩個(gè)點(diǎn)的具體位置，都在反比例函數(shù)的同一支曲線上，所以只有一種結(jié)果。

5.在研究方程的根的條件時(shí)，學(xué)生往往不懂全面理解題目隱含意思，使得答案出錯(cuò)

例1.已知關(guān)于x的方程（k-1）x2-（k-1）x+ =0，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求k的值。

例2.已知關(guān)于x的方程（k-1）x2+3x+=0，有實(shí)數(shù)根，求k的范圍。

分析：這些題型一般會(huì)出現(xiàn)在試卷的選擇題或者填空題，學(xué)生的解答大多數(shù)都是不對(duì)的，比如例1：學(xué)生會(huì)錯(cuò)答成：k=1或k=2，原因是學(xué)生對(duì)題目隱含的條件：二次項(xiàng)的系數(shù)（k-1） 不等于0總會(huì)忽略掉，深究其原因，是學(xué)生沒(méi)能真正理解一元二次方程的實(shí)質(zhì)性含義； 至于例2：學(xué)生會(huì)錯(cuò)答成：k≤9，且k≠1，學(xué)生對(duì)題目中的“關(guān)于x的方程”并沒(méi)有關(guān)注，只關(guān)注了有實(shí)數(shù)根，就認(rèn)定（k-1）x2+3x+=0只是一元二次方程，沒(méi)有意識(shí)到當(dāng)k=1時(shí)方程（k-1）x2+3x+=0變成一元一次方程：3x+=0，也是有實(shí)數(shù)根的。

二、總結(jié)

數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，數(shù)量繁多，如果只盲目地追求解題數(shù)量，而不注意解題類型、知識(shí)點(diǎn)的完整性，解題效果是不會(huì)理想的。各種考試中，多數(shù)試題都是取材于教科書(shū)。試題的構(gòu)成通常是在教材的例題、練習(xí)題、習(xí)題的基礎(chǔ)上通過(guò)類比、加工改造、加強(qiáng)條件或減弱條件、延伸或擴(kuò)展而成的。所以對(duì)于做過(guò)的題目，我們要善于總結(jié)歸類，想一想這道題在知識(shí)結(jié)構(gòu)上屬于哪一類？在解題思路和方法上屬于哪一種？在解決問(wèn)題的過(guò)程中，要為學(xué)生提供展示自己聰明才智的機(jī)會(huì)，同時(shí)教師要及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的獨(dú)到見(jiàn)解，以及思維的誤區(qū)，把習(xí)題按涉及的知識(shí)、方法進(jìn)行分類、歸納，可以舉一反三，觸類旁通，做到“一法懂，萬(wàn)法通”“做一題，解一類”，這樣就能得心應(yīng)手地應(yīng)對(duì)在數(shù)學(xué)問(wèn)題中出現(xiàn)的同類型不同條件的題目?？傊?xì)心將能決定學(xué)生在數(shù)學(xué)答題中的準(zhǔn)確度。

三、教學(xué)建議

只是知道題目類型是很難做到隨機(jī)應(yīng)變的，所以我們作為教師要懂得如何引發(fā)學(xué)生的興趣，因?yàn)閷W(xué)習(xí)興趣是推動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力，學(xué)生如果能在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，就會(huì)形成較強(qiáng)的求知欲，就能積極主動(dòng)地去參與學(xué)習(xí)。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的途徑有很多，如讓學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，并讓其體驗(yàn)到成功的愉悅；創(chuàng)設(shè)一個(gè)適度的學(xué)習(xí)競(jìng)賽環(huán)境；發(fā)揮趣味數(shù)學(xué)的作用。

參考文獻(xiàn)：

蔡網(wǎng)蘭.中考添加條件證幾何新題型例析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，2002（6）.

編輯 謝尾合