對(duì)兩個(gè)物理問題的思考與分析

方逸飛

一、魔盒上圓錐體的運(yùn)動(dòng)違背能量守恒嗎？

筆者一次在街上看到一個(gè)賣魔盒玩具的，其玩具很簡單，一個(gè)雙向金屬圓錐體，圓錐體很光滑，如圖1所示；一個(gè)有一定斜度的盒子，盒子的兩條斜邊上安裝有金屬條，也很光滑，如圖2所示.出售魔盒者將金屬圓錐體放在斜面的下端，稍微用手?jǐn)_動(dòng)一下，金屬圓錐體會(huì)自動(dòng)的向斜面上端滾去，且越滾越快.我靜心的觀察了幾分鐘，沒有發(fā)現(xiàn)奧秘在哪里，只是想金屬圓錐體向上滾，一般看來是違背能量守恒的，出售者也正是運(yùn)用人們這樣的心理來兜售這種魔盒的。對(duì)這樣的物理問題我一向很感興趣，就跟著賣魔盒的人反復(fù)觀察，拿一個(gè)金屬的鑰匙試試，看魔盒的高端是否帶有磁性，是不是磁力吸引圓錐體，結(jié)果沒有磁性，賣魔盒的還把盒子打開給我看，里面就是兩個(gè)粗鐵絲做的導(dǎo)軌，沒有什么秘密。對(duì)于這個(gè)魔盒我一時(shí)困惑了，怎么我們學(xué)的能量守恒定律在這里不適用了呢？

我就跟著賣魔盒的反復(fù)看，問賣魔盒的是什么原理，他說“我也不清楚”。賣魔盒的怕我看出什么奧秘，壞了他的生意，總想把我支開，或者鼓勵(lì)我買一個(gè)玩玩，我想一個(gè)高中學(xué)生還玩這樣的玩具，不好意思。我一邊觀察一邊思考，發(fā)現(xiàn)兩根導(dǎo)軌下邊窄很多上邊寬很多，導(dǎo)軌的坡度不算大，有半米來長，只是看上去一邊高一邊低比較明顯，再想雙向金屬圓錐結(jié)構(gòu)，馬上發(fā)生了頓悟。原來是利用金屬圓錐體的重力勢能而向上滾動(dòng)的。下端時(shí)導(dǎo)軌很窄，圓錐體的中心其實(shí)比較高，在軌道的高端，金屬圓錐體的重心要低一些。在金屬圓錐體放在低端稍微擾動(dòng)就會(huì)向重心低的高端方向運(yùn)動(dòng)了。

為了驗(yàn)證自己的看法，就動(dòng)手做一個(gè)魔盒，試一試，效果很好。這里筆者將做法和幾個(gè)關(guān)鍵的尺寸介紹如下：如圖1中，R為圓錐體中部圓柱的半徑，l1為中部圓柱的長度，l2為整個(gè)圓錐體的總長度；圓錐體可以用金屬的也可以用密度較大的木質(zhì)的，可以到小工廠去請(qǐng)工人師傅車一個(gè)，但錐體部分一定要打磨的很光滑.魔盒可以用三角板或其它扳子訂一個(gè)，在兩條斜邊AB和CD上固定金屬條或粗鐵絲，也將其打磨光滑.其尺寸是l1要稍小于魔盒上BC邊的長；l2要大于魔盒上AD邊的長；R要大于魔盒上AI的高度，這是最最關(guān)鍵的部分，一般AI=R為比較理想；斜邊AB和CD根據(jù)條件越長越好。

圓錐體能夠沿著斜坡向上爬的原因是：對(duì)稱的圓錐體重心在其中心位置，它兩端是圓錐體，魔盒的上部比下部寬，將圓錐體放在魔盒的下部，它處于一種不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，重心必然要下降，看上去，圓錐體好象在向上爬坡，實(shí)際上它的重心在下降.在圓錐體向上滾動(dòng)的過程中，隨著圓錐體重心的下降，重力勢能不斷減小，動(dòng)能增大，則速度隨著增大，所以我們看到圓錐體越滾越快.若圓錐體和魔盒的斜邊都很光滑，忽略摩擦力做功，圓錐體的機(jī)械能總保持不變，滿足機(jī)械能守恒定律。

二、雜技的頂云梯表演為什么有驚無險(xiǎn)？

在雜技表演中，有一個(gè)爬云梯的精彩節(jié)目，一個(gè)大力士的肩膀上放著一部長云梯，其他演員一個(gè)個(gè)從大力士的身上往云梯上爬去，一共要爬上去四個(gè)或五個(gè)演員，并且陸續(xù)爬到梯子的頂端，進(jìn)行各表演。觀眾們無不為此提心吊膽，梯子頭重腳輕是多么容易翻倒呀！可是，梯子盡管有一些搖擺，到底還是穩(wěn)住了。這是為什么呢？

在此節(jié)目中，大力士的承受能力是沒有什么竅門可尋的。肩膀上頂梯子的大力士演員，憑著他敏捷感覺，把梯子的基底位置隨時(shí)加以靈活調(diào)整。當(dāng)梯子向前傾時(shí)，他的肩膀立即向前挺；當(dāng)梯子向后倒時(shí)，他的肩膀也隨即向后退。這樣，使重力作用始終通過基底，梯子就倒不下來。

我想云梯為什么要搞那么高呢？矮一些不是更安全嗎？對(duì)于這個(gè)問題我反復(fù)思索，我想這是為了表演的驚險(xiǎn)還是別有原因呢。

帶著這個(gè)問題，我做了一個(gè)小實(shí)驗(yàn)。就是用手指頂一支鉛筆和一個(gè)較長的小木棍，結(jié)果發(fā)現(xiàn)長度大的木棍還容易控制一些。通過反復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)棍子越長越容易控制，長的棍子在要倒時(shí)可以有充裕的時(shí)間去調(diào)整，這時(shí)我就想到了單擺的周期問題。單擺的周期公式是：T=2π，其中l(wèi)是單擺的擺長，即單擺的懸點(diǎn)到擺球重心的距離；g是當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?。在某個(gè)地方重力加速度的不變的，可見擺長大，其周期就大；擺長小，其周期就小。

我們可以用這樣的實(shí)驗(yàn)來說明問題，用手指頂一支鉛筆和頂一根三米多長的竹桿。豎直放置的鉛筆或竹桿，先用左手扶作，只要一松手，都會(huì)失去平衡而傾倒，竹桿的重心較高，穩(wěn)定性不及鉛筆，它更難維持平衡。但是，另一方面，正因?yàn)橹駰U重心高，因此從開始傾斜至傾倒一個(gè)角度而倒下來，所需時(shí)間卻比鉛筆倒下的時(shí)間長得多。而且，竹桿倒下時(shí)的速度還與傾倒的角度有關(guān)：傾角越大，重心越低。這樣，竹桿就有更多的勢能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，傾倒時(shí)的速度也就越大。通過計(jì)算我們得到，對(duì)一支長16cm的鉛筆來說，當(dāng)頂端有1cm的偏離時(shí)，它的傾角約為3°左右，其頂端就要下降0.3cm左右.但對(duì)一根長三米的竹桿而言，它的頂端偏離平衡位置1cm時(shí)，傾角只有11分，杠頂下降0.003cm，重心只降低0.0015cm.可見，在偏離平衡的距離相同的情況下，竹桿越高，從離開平衡位置到某一偏離位置需要的時(shí)間越長.這就是單擺的擺長越大，其周期就越大的道理.這樣，盡管杠桿長，重心高對(duì)穩(wěn)定性不利但是由于它開始傾倒時(shí)的速度很慢，因而在基底可以移到的情況下，就有充分的時(shí)間來調(diào)整竹桿的平衡，就能變不利為有利，杠子越長反而越容易保持平衡.所以說，頂長竹桿比頂鉛筆要容易.

由此可見，演員在梯頂時(shí)正是梯子重心位置最高、梯子的擺動(dòng)周期最大的情況，即倒得最慢的情況，頂梯子的演員就有足夠的時(shí)間來調(diào)整梯子的基底位置。所以，這個(gè)看上去好像是最緊張的場面實(shí)際上倒并非是最難表演的。相反在演員們上梯下梯，大家往往認(rèn)為是雜技表演的開始和終了時(shí)而不十分注意，其實(shí)卻是最難表演的場面。這時(shí)，重心位置不固定，有時(shí)甚至降得很低。這兩種情況，對(duì)頂梯子的演員來說，調(diào)整較為困難。為此，要求演員動(dòng)作敏銳，有節(jié)奏，每個(gè)動(dòng)作完成后必須有一定的間隙。