劉慶濤
摘 要 文中主要介紹了模糊度量空間(簡(jiǎn)稱,F(xiàn)M-空間)()型相容映射的性質(zhì),然后給出FM-空間中相容映射的公共不動(dòng)點(diǎn)定理和相應(yīng)的推論。
關(guān)鍵詞 公共不動(dòng)點(diǎn) ()型相容映射 模糊度量空間
中圖分類號(hào):O177.91 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A DOI:10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.03.013
Common Fixed Point of FM- space () Type Compatible Mappings
LIU Qingtao
(Dalian Electronic School, Dalian, Liaoning 116023)
Abstract This paper introduces the fuzzy metric space (referred to, FM- space) () type compatible with the mapping of nature, and then gives FM- space compatible mapping Common Fixed Point Theorem and the appropriate inferences.
Key words Common Fixed Point; () type compatible mapping; fuzzy metric space
早前,Zadeh[3]首次給出了模糊集的概念,從此許多學(xué)者們開始研究模糊集理論及其應(yīng)用。Deng[5]給出了模糊度量空間概念之后,Erceg[2]、kramosil 和Michalek [1]、Kaleva a和Seikkala[4]也采用不同方式介紹這個(gè)概念,研究者們紛紛在不同方式下研究模糊度量空間的不同點(diǎn)問(wèn)題。本文主要是研究模糊度量空間中()型相容映射的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。
定義1.1[8] 設(shè)和是FM-空間 (, ,*) 中自身的兩個(gè)映射,若( , , ) = 1,HO>0;且中序列{}滿足 = = ,其中,則稱和是相容的(或接近交換)。
定義 1.2[9] 設(shè) 和是FM-空間(, ,*)中自身的兩個(gè)映射,若對(duì)任意>0有( , , ) = 1 and ( , , ) = 1,且中序列{}滿足 = = ,其中,則稱和是()型相容映射。
定義1.3[10] 設(shè) 和 是FM-空間(, ,*)中自身的兩個(gè)映射,若對(duì)任意>0有( , , )≥(, , )和( , , )≥( , , ),且中序列{}滿足 = = ,其中,則稱和是()型相容映射。
為了方便研究相容映射的不動(dòng)點(diǎn),為此給出下面性質(zhì)。
性質(zhì) 1.4 設(shè) (, ,*)是具有*≥,[0,1]的FM-空間,若和 是中兩個(gè)()型相容映射,若對(duì)于中的某一 ,有 = ,則 = = 。
證明:設(shè){}是中序列,對(duì)于=1,2,…,定義 = , = = 。于是當(dāng)時(shí),有→ = , → = 。因而(,, ) = ( , , )≥( , , ) = 1,即 = 。因?yàn)?= ,所以 = = = 。
性質(zhì) 1.5 設(shè)(, ,*)是具有*≥,[0,1]的FM-空間,和是中兩個(gè)()型相容映射,假設(shè)中序列{}滿足對(duì)中某一,使得 = = 成立, 那么
(1)若在處連續(xù),則 = 。
(2)若在處連續(xù),則 = 。
(3) 若和在處連續(xù),則 = 和 = 。
證明: (1) 因在處連續(xù),所以對(duì)中任意t,當(dāng)→時(shí),有 →, →。
從和是中兩個(gè)()型相容映射,可得
(, , )≥(, , )*(, , )≥(, , )*(, , ) = 1*1≥1
所以 = 。
(2) 與(1)證明類似。
(3)設(shè)和在處是連續(xù),當(dāng)→ +時(shí),有→。根據(jù)(1)可得→,且從的連續(xù)性可以得出→,因而 =。依據(jù)性質(zhì)1.4 , 有 = 成立。
定理 1.6 設(shè)(, ,*)是具有范數(shù)*≥,[0,1]的FM-空間,、、 和是中的自身映射,若滿足下列條件:
(1)()H眩ǎ┖停ǎ﹢H眩ǎ?
(2){, }和{, }是兩對(duì)()型相容映射。
(3)四個(gè)映射、、 和 其中之一是連續(xù)的。
(4)存在(0,1)滿足
(, , )≥(, , )*(, , )*(, , )*(, , (2))*(, , )
其中 , (0,2)和>0。
則、、 和 在中有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)。
證明:由條件(1),對(duì)于任意,定義序列{}滿足 = 和 = ,其中 = 0,1,2,…。
設(shè) = 和 = ,則HO>0和 = ,其中(0,1),依據(jù)條件(4)有
(, , ) = (, , )≥(, , )*(, , )*(, , )*(, , ())*(, , ) = (, , )*(, , )*(, , )*(, , ())*(, , )≥(, , )*(, , )*(, , )
因-范數(shù)*是連續(xù)的,且(, ,·) 是左連續(xù)的,令→1,得到
(, , )≥(, , )*(, , )
同理,可得
(, , )≥(, , )*(, , )
所以(, , )≥(, , )*(, , ),其中 = 1,2,3,…。
因此,對(duì)正整數(shù)、來(lái)說(shuō),有(, , )≥(, , )*(, , )
當(dāng)→+時(shí),有(, , )→1, 于是有(, , )≥(, , )。
根據(jù)引理1.9[10],{}是中的柯西序列。由的完備性,得出序列{}收斂中的點(diǎn)。同樣,{}的子序列{},{}和{}也收斂于點(diǎn)。
假設(shè)是連續(xù)的,因?yàn)楹褪牵ǎ┬拖嗳萦成洌瑥男再|(zhì)1.5可以得出當(dāng)→時(shí),有→, →。在 = 1的情況下運(yùn)用條件(4) ,可得
(, , )≥(, , )*(, , )*(, , )*(, , )*(, , )
當(dāng)→時(shí),有(, , )≥(, , )*(, , )*(, , )*(, , )*(, , )≥(, , )。根據(jù)引理1.10[10],所以 = 。 因?yàn)椋ǎ〩眩ǎ嬖諞桓齙懵?= = 。再運(yùn)用條件(4),令 = 1,可得
(, , )≥(, , )*(, , )*(, , )*(, , )*(, , )
當(dāng)→時(shí), 有(, , )≥(, , )*(, , )*(, , )*(, , )*(, , )≥(, , )。引理1.10[10] 證實(shí)了 = 。因?yàn)楹褪牵ǎ┬拖嗳萦成洌?= = ,依據(jù)性質(zhì)1.4, 得到 = 。所以 = = = 。繼續(xù)利用條件(4),令 = 1,則有
(, , )≥(, , )*(, , )*(, , )*(, , )*(, , )
令→,可得(, , )≥(, , ),所以 = 。因?yàn)椋ǎ〩眩ǎ嬖諞桓齙懵? = = 。依據(jù) = 1時(shí)的條件(4),可得
(, , ) = (, , )≥(, , )*(, , )*(, , )*(, , )*(, , )
即 = 。因?yàn)楹褪牵ǎ┬拖嗳萦成?,?= = , = ,因而 = = = 。所以是、、和的一個(gè)公共點(diǎn)。
現(xiàn)在假設(shè)是連續(xù)的, 由和是()型相容映射,從性質(zhì)1.5可以得到當(dāng)→時(shí)有→, →。在 = 1時(shí)依據(jù)條件(4),可得
(, , )≥(, , )*(, , )*(, , )*(, , )*(, , )
當(dāng)→時(shí),有(, , )≥(, , )*(, , )*(, , )*(, , )*(, , )≥(, , )。由引理 1.10[10] , 故 = 。再運(yùn)用條件(4),在 = 1情況下有
(, , )≥(, , )*(, , )*(, , )*(, , )*(, , )
令→,則(, , )≥(, , )*(, , )*(, , )*(, , )*(, , )≥(, , )
引理1.10[10] 證實(shí) = 。 因()H眩ǎǎ虼舜嬖諞桓齙懵?= = 。運(yùn)用條件(4),在 = 1情形下得到
(, , ) = (, , )≥(, , )*(, , )*(, , )*(, , )*(, , )≥(, , )
即有 = 。因和是()相容映射,且 = = ,由性質(zhì)1.4可得 = 。所以 = = = 。運(yùn)用條件(4),由 = 1可得
(, , ) = (, , )≥(, , )*(, , )*(, , )*(, , )*(, , )≥(, , )
因而 = ,且 是、、和的一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn)。
由條件(4)很容易得出的唯一性。同理,可以證明和其中之一是連續(xù)的情況。
定理 1.7 設(shè)和是完備模糊度量空間中的兩個(gè)自身映射,且具有范數(shù)*≥,HO[0,1],其中和之一是連續(xù)的。則和在中有公共不動(dòng)點(diǎn)的充要條件是中存在自身映射和滿足下列條件:
(1)()H眩ǎ┖停ǎ﹢H眩ǎ?
(2)或是連續(xù)的。
(3){, }和{, } 是兩個(gè)()相容映射。
(4) 存在(0,1)滿足
(, , )≥(, , )*(, , )*(, , )*(, ,() )*(, , )
其中, ,(0,2)和>0。
證明: 必要性。設(shè)和在中有公共不動(dòng)點(diǎn),則 = = ?,F(xiàn)定義兩個(gè)映射和,對(duì)任意,滿足 = , = , 則有 = = = = 。因此條件(1)、 (2)和(3)是成立的。因?yàn)椋ǎ?, ) = (, , ),所以條件(4) 成立。
充分性。顯然由定理1.6可得。
現(xiàn)在由定理1.6 在條件 = 和 = 下得出的一些推論。
推論1.8 設(shè) ()是具范數(shù)*≥ ,[0,1]的完備FM-空間, 若中兩個(gè)自身映射和滿足下列條件
(1)()H眩ǎ?
(2){, }是()型相容映射。
(3)和之一是連續(xù)的。
(4)存在(0,1)滿足
(, , )≥(, , )*(, , )*(, , )*(, ,())*(, , )
其中, ,(0,2)和>0。
則和在中有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn)。
如果用中的等同映射替換定理1.6的S和T,可以得到下面的結(jié)果。
推論 1.9 設(shè) ()是具*≥ ,[0,1]的完備FM-空間,中的兩個(gè)自身映射和滿足下列條件:
(1)和之一是連續(xù)的;
(2)存在(0,1)滿足
(下轉(zhuǎn)第32頁(yè))(上接第27頁(yè))
(, , )≥(, , )*(, , )*(, , )*(, ,())*(, , )
其中, ,(0,2)和>0。
則 和在中有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)。
推論1.10 設(shè)()是具*≥ ,[0,1]的完備FM-空間, 是中的自身映射,若存在(0,1)滿足對(duì)任意, ,有(, , )≥(, , )成立,則和在中有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)。
備注1.11 定理1.6 推廣和模糊了文獻(xiàn)[7]中的定理2.2。 推論1.10 延伸了巴拿赫壓縮定理,在文獻(xiàn)[8]中也稱作模糊巴拿赫壓縮。
參考文獻(xiàn)
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[10] 劉慶濤.模糊度量空間的()型相容映射及性質(zhì).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2016(2).