以中學數(shù)學的整體視角來處理初中數(shù)學教學

龔劍燕 黃夏炎

中考結(jié)束后，許多初三畢業(yè)生參加了“初中高中銜接班”的學習。初高中之間的數(shù)學教學的落差較大，這個確實是實情。這里既有初中教學內(nèi)容較少而高中教學內(nèi)容較多導致的課堂教學容量的區(qū)別，也有教學中初中和高中的老師僅僅考慮本學段而缺乏中學數(shù)學的整體視野的原因。筆者嘗試在教學中從中學數(shù)學的整體視角來處理初中數(shù)學的課堂教學，以圖減少學生升入高中后的“不適應感”，順利投入高中數(shù)學學習中。

一、數(shù)學概念的整體處理

1.關(guān)于函數(shù)的概念

初中數(shù)學教學中，函數(shù)概念是這樣的：有兩個互相依存的變量，一個變量發(fā)生變化時，另一個變量隨之發(fā)生變化。這兩個變量的相互關(guān)系，叫做函數(shù)關(guān)系。前者叫自變量，后者叫應變量。

這樣的函數(shù)定義，可視之為“變量依存說”。它與高中學段的“集合映射說”有很大不同。“變量依存說”對于生活中的一些實例中的函數(shù)模型，解釋得很不直觀。比如搭乘單一票價的無人售票的公交車，搭乘路程的大小與票價之間的關(guān)系，學生就往往不認為這是函數(shù)關(guān)系（實際上這是常函數(shù)模型）。再比如信函重量與郵資的關(guān)系，學生往往也不認為這是函數(shù)關(guān)系（實際上這是分段函數(shù)模型）。

我在教學中，對常函數(shù)的處理是給學生講清楚“不變”也是“變”，變化的幅度為“零”。這樣就較好地解釋了常函數(shù)也是一種函數(shù)。而我在教學中，對于分段函數(shù)的處理，則強調(diào)“漸變”、“突變”都是變。在此基礎(chǔ)上，向?qū)W生簡單地介紹“集合映射說”，主要著力點在“對應”，在“對于一個自變量的取值，應變量有唯一確定的值與自變量的值對應”，略去集合的概念和映射的概念。實踐證明，這樣的處理手法對于學生準確理解函數(shù)概念有幫助。

2.關(guān)于拋物線與二次函數(shù)的關(guān)系

二次函數(shù)圖象是拋物線，拋物線卻未必是二次函數(shù)的圖象。關(guān)于這一點，學生往往不甚了了。

初中數(shù)學教材中，呈現(xiàn)的是上下開口的拋物線圖象，明確上下開口的拋物線，其方程為y關(guān)于x的二次方程，形如y=ax2+bx+c。（從這點出發(fā)，可以通過明確拋物線上的三個普通點來列出三個方程，解出a、b、c，也可以通過一個頂點和一個普通點來列出三個方程）

但是，教學中不能把二次函數(shù)圖象與拋物線完全等價起來。這是因為拋物線是具有特殊形狀的一類曲線的統(tǒng)稱，它只有在上下開口的情形下，其曲線方程才是一個二次函數(shù)。而決定一條曲線是不是拋物線的唯一因素是形狀而不是開口方向。

教學中，筆者把繪有一個一個開口向上的拋物線的坐標紙順時針旋轉(zhuǎn)90o，再把y軸換成x軸，把x軸負方向換成y軸，向上開口的拋物線就變成了新坐標系下的開口向右的拋物線了。此時，原先的縱坐標y要換成橫坐標x，原先的橫坐標x要換成-y。那么，開口向上的拋物線y=x2就變成了x=（-y）2即y2=x。這樣的圖形，顯然還是拋物線，但是這樣的方程卻不是二次函數(shù)了（甚至連函數(shù)都不是）。通過這樣的“玩”數(shù)學，學生能夠更好地理解拋物線與二次函數(shù)圖象的不等價關(guān)系。

3.關(guān)于方程的解與不等式的解集

現(xiàn)行初中數(shù)學教材中，方程或者方程組如果有有限個解，結(jié)果就用列舉法表述，稱為“解”，而不等式或者不等式組如果有無窮多個解，則用不等式來表述結(jié)果，稱為“解集”。從更高觀點看，稱一個不等式如“x≥2”為解集（更本質(zhì)地說，是“集合”），顯然不妥當。這很可能是由于初中數(shù)學學習中，集合概念與其余內(nèi)容關(guān)系不大，所以就沒有引入集合概念。

但是筆者在教學過程中，告訴了學生“解集”是“解的集合”的簡稱（但不去觸碰“集合”這個具體的概念），而集合對表達形式有要求，區(qū)間就是集合的一種表示法。把不等式“x≥2”轉(zhuǎn)而用區(qū)間“[2，+∞）”來表示，這里只涉及到兩個新概念：區(qū)間的開閉、+∞和-∞。學生接受并無困難。

用區(qū)間來代替不等式來作為不等式和不等式組的解集，一是簡潔性和科學性得到了保障，二是能讓學生能更深刻地領(lǐng)會解的本質(zhì)。如“x≥2”和“y≥2”都可以用區(qū)間“[2，+∞）”來表示，這表明解集實際上是所有不小于2的數(shù)的全體，它與用x還是y來表示未知數(shù)并無關(guān)系。

二、用中學數(shù)學常用的數(shù)學思想的培養(yǎng)來統(tǒng)攝教學過程

1.算法化的數(shù)學思想

數(shù)學問題的呈現(xiàn)形態(tài)千變?nèi)f化，但算法能讓一類問題的解決辦法程序化。所以算法化是中學數(shù)學中非常重要的數(shù)學思想。

比如，二元一次方程組的加減消元法的解法教學中，如果在一兩個簡單的數(shù)字系數(shù)的方程組的解法示例后，出示以下字母系數(shù)的二元一次方程組：

解字母系數(shù)方程組的過程經(jīng)過算法化后，學生能對每一步的目的更加清晰，每一步變形的前提和理由和限制理解更為深刻，再解數(shù)字系數(shù)的二元一次方程組，明顯正確率提高不少。

用算法化的數(shù)學思想來統(tǒng)攝二元一次方程組的教學過程，能讓學生在問題的解決過程中更加具有方向感，問題的解決過程更加數(shù)學化。

2.多個定理、概念的統(tǒng)一本質(zhì)揭示

如同高中數(shù)學教學中橢圓，拋物線，雙曲線的統(tǒng)一定義一樣，初中數(shù)學教學過程中，相交弦定理，割線定理，切割線定理也可以統(tǒng)一為圓冪定理。

要實現(xiàn)三個定理的統(tǒng)一，在相交弦定理的教學過程中，就要著眼于兩弦AB，CD的交點P，以點P為所涉線段的“起點”，把相交弦定理表述為PA·PB=PC·PD，而不是依線段自然順序表述為AP·PB=CP·PD。事實上，著眼于兩弦交點P后，在嚴格證明相交弦定理以后，我用幾何畫板軟件作圖，拖動點P到圓外，形成割線定理，切割線定理的基本圖形，學生絕大多數(shù)都能立即指出可能的結(jié)論，相關(guān)結(jié)論的嚴格證明學生也大多數(shù)能自行完成。

3.分類討論思想

對于一個數(shù)學問題，如果較為復雜，或者不易找到一個一次性就能解決問題的方案，就可以把問題所涉情形分成幾類，分別進行討論解決。這就是分類討論的數(shù)學思想。

例如：一個等腰直角三角形的一條邊長為，則另外兩條邊的長度為多少？

如果已知的是底邊，那么另外兩條需要求長度的是腰，如果已知的是腰，那么另外兩條需要求長度的分別是另一條腰和底邊。這就必須要分類來考慮。

再比如：一次函數(shù)y=kx+b自變量和函數(shù)值的取值范圍，恰好都是[-4，8]（即-4≤x≤8，-4≤y≤8），求該一次函數(shù)的解析式。

顯然應該對一次項系數(shù)分別為正數(shù)還是負數(shù)兩種情況分別進行思考。

在教學中，要反復審視腦海中閃現(xiàn)的解決方案是否能涵蓋問題的所有情形。如果不能，那就要對未能涵蓋的部分另行進行解決。

教學中貫徹分類討論的數(shù)學思想，既要形而下——教給學生準確的分類方法（統(tǒng)一的分類標準、不重復不遺漏），又要形而上——讓學生形成用科學的數(shù)學思想方法來思考問題的思維習慣。