試論用二分法求方程的近似解

熊勇

一、內(nèi)容分析

本節(jié)課選自《數(shù)學必修1人教（A版）》第三章3.1.2， 89P“用二分法求方程的近似解”。本節(jié)課要求學生根據(jù)具體的函數(shù)圖象能夠借助計算機或信息技術(shù)工具計算器用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，體會數(shù)學來源于生活，服務于生活，用數(shù)學知識解決生活中的實際問題；它既是本冊書中的重點內(nèi)容，又是對函數(shù)知識的拓展，既體現(xiàn)了函數(shù)在解方程中的重要應用，同時又為高中數(shù)學中函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、二分法的算法思想打下了基礎，讓學生學會用二分法解決生活中的實際問題。

二、學情分析

學生已經(jīng)學習了函數(shù)，理解函數(shù)零點和方程根的關系， 初步掌握函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想。但是對于求函數(shù)零點所在區(qū)間，只是比較熟悉求二次函數(shù)的零點，對于高次方程和超越方程對應函數(shù)零點的尋求會有困難。另外算法程序的模式化和求近似解對他們是一個全新的問題，學生部容易理解。

三、設計思想

倡導積極主動、勇于探索的學習精神和合作探究式的學習方式；注重提高學生的數(shù)學思維能力，發(fā)展學生的數(shù)學應用意識；與時俱進地認識“用數(shù)學知識解決生活中的問題，讓數(shù)學服務于生活，讓同學們能夠?qū)W有所用”，強調(diào)數(shù)學的內(nèi)在本質(zhì)，注意適度形式化；在教與學的和諧統(tǒng)一中體現(xiàn)數(shù)學的文化價值；注重信息技術(shù)與數(shù)學課程的合理整合。

四、教學目標？？

通過具體實例理解二分法的概念，掌握運用二分法求簡單方程近似解的方法，從中體會函數(shù)的零點與方程根之間的聯(lián)系及其在實際問題中的應用；能借助計算器用二分法求方程的近似解，讓學生能夠初步了解逼近思想；體會數(shù)學逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一；通過具體實例的探究，歸納概括所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或規(guī)律，體會從具體到一般的認知過程。

五、重點？、難點

1、教學重點：用“二分法”求方程的近似解，使學生體會函數(shù)零點與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點處理問題的意識。

2、教學難點：方程近似解所在初始區(qū)間的確定，恰當?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解。

六、教學過程設計

1、創(chuàng)設情境，提出問題。問題1：在一個雷雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障。這是一條10km長的線路，為了使水庫在發(fā)生危險時能與指揮部聯(lián)系上，應該如何迅速查出故障所在？

如果沿著線路一小段一小段查找，山高路陡，雷雨交加，困難很多。每查一個點要爬一次電線桿子。10km長，大約有200多根電線桿子呢。

想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？

以實際問題為背景，以學生感覺較簡單的問題入手，激活學生的思維，形成學生解決問題的欲望。注意學生解題過程中出現(xiàn)的問題，及時引導學生思考，從二分查找的角度解決問題。

[學情預設] 學生獨立思考，可能出現(xiàn)的以下解決方法：

思路1：直接一個個電線桿去尋找。

思路2：通過先找中點，縮小范圍，再找剩下來一半的中點。

老師從思路2入手，引導學生解決問題：

如圖，維修工人首先從中點C。查用隨身帶的話機向兩個端點測試時，發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC段中點D，這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障在CD段，再到CD中點E來查。每查一次，可以把待查的線路長度縮減一半，如此查下去，不用幾次，就能把故障點鎖定在一兩根電線桿附近。

師：我們可以用一個動態(tài)過程來展示一下（展示多媒體課件）。

在一條線段上找某個特定點，可以通過取中點的方法逐步縮小特定點所在的范圍（即二分法思想）。

[設計意圖] 從實際問題入手，利用計算機演示用二分法思想查找故障發(fā)生點，通過演示讓學生初步體會二分法的算法思想與方法， 說明二分法原理源于現(xiàn)實生活，并在現(xiàn)實生活中廣泛應用。

1.利用函數(shù)性質(zhì)或借助計算機、計算器畫出函數(shù)圖象，通過具體的函數(shù)圖象幫助學生理解閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果兩個端點的函數(shù)值是異號的，那么函數(shù)圖象就一定與x軸相交，即方程（ ）0f x =在區(qū)間內(nèi)至少有一個解（即上節(jié)課的函數(shù)零點存在性定理，為下面的學習提供理論基礎）。引導學生從“數(shù)”和“形”兩個角度去體會函數(shù)零點的意義，掌握常見函數(shù)零點的求法，明確二分法的適用范圍。

2.我們已經(jīng)知道，函數(shù)（ ） ln26f xxx=+？在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點，且（2）f<0，（3）f>0。進一步的問題是，如何找出這個零點？

合作探究：學生先按四人小組探究。（倡導學生積極交流、勇于探索的學習方式，有助于發(fā)揮學生學習的主動性）

生：如果能夠?qū)⒘泓c所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點的近似值。

師：如何有效縮小根所在的區(qū)間？

生1：通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍。

生2：是否也可以通過“取三等分點或四等分點”的方法逐步縮小零點所在的范圍？

師：很好，一個直觀的想法是：如果能夠?qū)⒘泓c所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，可以得到零點的近似值。其實“取中點”和“取三等分點或四等分點”都能實現(xiàn)縮小零點所在的范圍。但是在同樣可以實現(xiàn)縮小零點所在范圍的前提下，“取中點”的方法比取“三等分點或四等分點”的方法更簡便。因此，為了方便，下面通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍。

合作探究：（學生2人一組互相配合，一人按計算器，一人記錄過程。四人小組中的兩組比較縮小零點所在范圍的結(jié)果。）

步驟一：取區(qū)間（2，3）的中點2.5，用計算器算得（2.5）0.084 0f≈？<。

由（3）f>0，得知（2.5）（3）0ff？<，所以零點在區(qū)間（2.5，3）內(nèi)。

結(jié)論：由于（2，3） （2，3）（2.5，3）（2.5，2.75）？？，所以零點所在的范圍確實越來越小了。如果重復上述步驟，在一定精確度下，我們可以在有限次重復上述步驟后，將所得的零點所在區(qū)間內(nèi)的任一點作為函數(shù)零點的近似值。特別地，可以將區(qū)間端點作為函數(shù)零點的近似值。

引導學生利用計算器邊操作邊認識，通過小組合作探究，得出教科書上的表3—2，讓學生有更多的時間來思考與體會二分法實質(zhì)，培養(yǎng)學生合作學習的良好品質(zhì)。

[學情預設]學生通過上節(jié)課的學習知道這個函數(shù)的零點就是函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標，故它的零點在區(qū)間（2，3）內(nèi)。進一步利用函數(shù)圖象通過“取中點”逐步縮小零點的范圍，利用計算器通過將自變量改變步長減少很快得出表3—2，找出零點的大概位置。

[設計意圖]從問題1到問題2，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化的思想方法，問題2有著承上啟下的作用，使學生更深刻地理解二分法的思想，同時也突出了二分法的特點。通過問題2讓學生掌握常見函數(shù)零點的求法，明確二分法的適用范圍。

3、問題3：對于其他函數(shù)，如果存在零點是不是也可以用這種方法去求它的近似解呢？

引導學生把上述方法推廣到一般的函數(shù)，經(jīng)歷歸納方法的一般性過程之后得出二分法及用二分法求函數(shù)）（xf的零點近似值的步驟。

對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且滿足）（af·）（bf0<的函數(shù)）（xfy =，通過不斷地把函數(shù)）（xf的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法。

2、求區(qū)間（a，b）的中點c；

3、計算（ ）f c：

（1）若（ ）f c =0，則c就是函數(shù)的零點；

（2）若）（af·（ ）f c <0，則令b= c（此時零點0（ ， ）xa c∈）；

（3）若（ ）f c·）（bf<0，則令a= c（此時零點0（ ， ）xc b∈）；

4、判斷是否達到精確度ε：

即若||abε？<，則得到零點零點值a（或b）；否則重復步驟2—4。

[設計意圖]以問題研討的形式替代教師的講解，分化難點、解決重點，給學生“數(shù)學創(chuàng)造”的體驗，有利與學生對知識的掌握，并強化對二分法原理的理解。學生在討論、合作中解決問題，充分體會成功的愉悅。讓學生歸納一般步驟有利于提高學生自主學習的能力，讓學生嘗試由特殊到一般的思維方法。利用二分法求方程近似解的過程，用圖表示，既簡約又直觀，同時能讓學生初步體會算法的思想。

例題剖析，鞏固新知。

例：借助計算器或計算機用二分法求方程732=+ xx的近似解（精確度0.1）。

兩人一組，一人用計算器求值，一人記錄結(jié)果；學生講解縮小區(qū)間的方法和過程，教師點評。

本例鼓勵學生自行嘗試，讓學生體驗解題遇阻時的困惑以及解決問題的快樂。此例讓學生體會用二分法來求方程近似解的完整過程，進一步鞏固二分法的思想方法。

思考：問題 1：用二分法只能求函數(shù)零點的“近似值”嗎？

問題 2：是否所有的零點都可以用二分法來求其近似值？

教師有針對性的提出問題，引導學生回答，學生討論，交流。 反思二分法的特點，進一步明確二分法的適用范圍以及優(yōu)缺點，指出它只是求函數(shù)零點近似值的“一種”方法。

[設計意圖]及時鞏固二分法的解題步驟，讓學生體會二分法是求方程近似解的有效方法。解題過程中也起到了溫故轉(zhuǎn)化思想的作用。

（四）理解定義、解決問題

1、下列函數(shù)中能用二分法求零點的是（ ）。

[設計意圖]讓學生明確二分法的適用范圍。

2、用二分法求圖象是連續(xù)不斷的函數(shù)）（xfy =在x∈（1，2）內(nèi)零點近似值的過程中得到（1.5）0f>，（1.25）0f<，（1）0f<，則函數(shù)的零點落在區(qū)間（ ）。

（A）（1，1.25）（B）（1.25，1.5）（C）（1.5，2） （D） 不能確定

[設計意圖]讓學生進一步明確縮小零點所在范圍的方法。

3。借助計算器或計算機，用二分法求方程3 lgxx=？在區(qū)間（2，3）內(nèi)的近似解（精確度0.1）。

[設計意圖] 進一步加深和鞏固對用二分法求方程近似解的理解。

七、教學反思

這節(jié)課既是一堂新課又是一堂探究課。整個教學過程，以提出問題學生解決問題為教學出發(fā)點， 以教師為主導，學生為主體，預設問題情境激發(fā)學生學習的積極性與主動性，激勵學生去探究問題、解決問。順應合理的邏輯結(jié)構(gòu)和認知結(jié)構(gòu)，符合學生的認知規(guī)律和心理特點，重視思維訓練，發(fā)揮學生的主體作用，注意數(shù)學思想方法的溶入滲透，滿足學生渴望的獎勵結(jié)構(gòu)。整個教學過程中，利用多媒體教學，使全體學生參與到教學中來，使抽象變得形象，學生容易接受，同時利用多媒體課件教學節(jié)省板書時間，從而給學生節(jié)約時間自練、自查、自糾，從分發(fā)揮學生的主動性。在上課過程中，我做到下面幾點：

（1）重視學生的學習體驗，突出他們的主體地位。訓練了他們用從特殊到一般，再由一般到特殊的思維方式解決問題的能力。不斷加強他們的轉(zhuǎn)化類比思想。

（2）注重將用二分法求方程的近似解的方法與現(xiàn)實生活中案例聯(lián)系起來，讓學生體會數(shù)學方法來源于現(xiàn)實生活，又可以解決生活中的問題。

（3）注重學生參與知識的形成過程，動手、動口、動腦相結(jié)合，使他們“聽”有所思，“學”有所獲，增強學習數(shù)學的信心，體驗學習數(shù)學的樂趣。

（4）注重師生之間、同學之間互動，注重他們之間的相互協(xié)作，共同提高。

總之，如何更好的選擇符合學生的具體情況，滿足教學目標的例題與練習，靈活把握課堂教學節(jié)奏仍是我今后工作中的一個重要研究課題。要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，自己首先要更新觀念，在教學中適度使用多媒體，讓學生參與到教學中來，能夠使學生在學習新知識的同時，激發(fā)起求知欲望，在尋求解決問題辦法的過程中獲得自信和成功的體驗，在學習中改善了他們的思維品質(zhì)，提高了學習數(shù)學的興趣與數(shù)學能力。