中考幾何中常見的最值問題

王明

摘要：關(guān)于中考幾何題中的最值問題，往往知識(shí)面廣、綜合性大、應(yīng)用性強(qiáng)，而且情境新穎，能很好地考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì)。而在解題中要高度重視模型思想的教學(xué)，要突出建模過程，讓學(xué)生深刻體會(huì)模型思想，在過程中體會(huì)和掌握數(shù)學(xué)中常用的、重要的基本模型。

關(guān)鍵詞：最值；建模

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決幾何最值問題時(shí)，困難主要有兩個(gè)方面：一是對(duì)解決這類問題常用的幾種數(shù)學(xué)模型認(rèn)識(shí)不充分，掌握不到位；二是這類問題一般是以動(dòng)態(tài)形式呈現(xiàn)的，學(xué)生難以掌握運(yùn)動(dòng)中的數(shù)量關(guān)系而導(dǎo)致無法入手。本文主要談?wù)勅绾卫脭?shù)學(xué)模型求此類最值的問題。

解決幾何最值問題的理論依據(jù)：①兩點(diǎn)之間線段最短；②直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中，垂線段最短；③三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（三點(diǎn)共線時(shí)取到最值）。根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最值問題的關(guān)鍵，通過轉(zhuǎn)化減少變量，向此三個(gè)定理靠攏從而解決問題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問題的高效手段?，F(xiàn)舉例闡述，供讀者在解決這類問題時(shí)參考。

一、運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”模型

【例1】（2012海安模擬）如圖：點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上運(yùn)動(dòng)，若∠AOB=45°，OP= ，則△PMN的周長(zhǎng)的最小值為 .

【分析】作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D.連接OC，OD.則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)。根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以證得：△COD是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解。

【解答】解：作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D.連接OC，OD.則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng).

∵P、C關(guān)于OA對(duì)稱，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP

同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD

∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD.∴△COD是等腰直角三角形.

則CD= OC= ×3 =6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，正確作出圖形，理解△PMN周長(zhǎng)最小的條件是解題的關(guān)鍵。

【例2】如圖，A、B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)，點(diǎn)A到直線的距離AM=4，點(diǎn)B到直線的距離BN=1，且MN=4，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，|PA﹣PB|的最大值為 .

【分析】作點(diǎn)B于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，則PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，則當(dāng)A，B′、P在一條直線上時(shí)，|PA﹣PB|的值最大.根據(jù)平行線分線段定理即可求得PN和PM的值然后根據(jù)勾股定理求得PA、PB′的值，進(jìn)而求得|PA﹣PB|的最大值。

【解答】解：作點(diǎn)B于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連AB′并延長(zhǎng)交直線l于P。

∴B′N=BN=1，

過D點(diǎn)作B′D⊥AM，

利用勾股定理求出AB′=5

∴|PA﹣PB|的最大值=5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖：軸對(duì)稱變換，勾股定理等，熟知“兩點(diǎn)之間線段最短”是解答此題的關(guān)鍵。

二、運(yùn)用“垂線段最短”模型

【例3】（2010蘇州）如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，2），⊙C的圓心坐標(biāo)為（-1，0），半徑為1.若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值是 .

【分析】根據(jù)三角形的面積公式，△ABE底邊BE上的高AO不變，BE越小，則面積越小，可以判斷當(dāng)AD與⊙C相切時(shí)，BE的值最小.根據(jù)勾股定理求出AD的值，然后根據(jù)相似三角形求出OE的長(zhǎng)度，代入三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解。

【解答】如圖，由題意知：當(dāng)DA是圓C的切線時(shí)，OE最長(zhǎng)，此時(shí)△ABE面積最小.

AC=2+1=3.CD=1.

由勾股定理得 .

可以證明 ，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OE的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵。

三、建立“函數(shù)”模型

【例4】（2012海淀二模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=DC=2，AD=1，R、P分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)R與B不重合，點(diǎn)P與C不重合），點(diǎn)E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，求線段EF的取值范圍.

【分析】如圖，由點(diǎn)E、F分別是線段AP、RP的中點(diǎn)，不難想到連結(jié)AR構(gòu)造三角形中位線的基本圖形，發(fā)現(xiàn)線段EF的長(zhǎng)為線段AR的一半，所以題中兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、R其實(shí)對(duì)EF長(zhǎng)有影響的只是動(dòng)點(diǎn)R，這樣就把求線段EF長(zhǎng)的取值問題轉(zhuǎn)化成線段AR的長(zhǎng)的取值問題來研究.再由條件∠ABC=60°，AB=2想到作梯形的高線，構(gòu)造Rt△ABG和Rt△AGR，則線段AG、BG為定值.在Rt△AGR中，通過勾股定理可以用線段GR來表示線段AR的長(zhǎng)，從而可以建立線段AR長(zhǎng)關(guān)于變量線段GR長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式。

【解答】 連結(jié)AR，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，設(shè)BR=x，EF=y，易求BG=1，AG= ，則GR=x-1.

在Rt△ARG中， ∵AR2=AG2+GR2.化簡(jiǎn)得y=

由題意，可知0

所以當(dāng)x=1，即點(diǎn)R與點(diǎn)G重合時(shí)，y取最小值 ；

當(dāng)x=3，即點(diǎn)R與點(diǎn)G重合時(shí)，y取最大值 .

所以 ≤EF≤ .

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線性質(zhì)，勾股定理建立函數(shù)關(guān)系。動(dòng)態(tài)問題中的一些量是有關(guān)聯(lián)的，運(yùn)動(dòng)中總隱有常量和變量，可以通過函數(shù)來捕捉運(yùn)動(dòng)中的各個(gè)量，建立函數(shù)模型來準(zhǔn)確刻畫量與量之間的關(guān)系。

以幾何為背景的最值問題在中考試題中通常以選擇、填空的壓軸題頻繁出現(xiàn)。這類試題“小而精”，集多個(gè)知識(shí)點(diǎn)于一體，能全方位地考查學(xué)生的基本知識(shí)、基本技能、解題技巧、以及數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，成為中考試題中的一朵奇葩。希望教師能在平時(shí)教學(xué)中，多給學(xué)生練習(xí)，總結(jié)這類題型的解題方法。

在解題中要高度重視模型思想的教學(xué)，要突出建模過程，讓學(xué)生深刻體會(huì)模型思想，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的“形成——建立——求解”的全過程，在過程中體會(huì)和掌握數(shù)學(xué)中常用的、重要的基本模型。