事件獨立性的教學研究

周江霖+黃文蝶

摘 要 正確引導學生如何正確理解和掌握獨立性的概念是概率論教學中的一個重點，教學最終目的是使學生理解并且能正確使用獨立性進行概率計算。

關(guān)鍵詞 兩事件的獨立性 互斥

中圖分類號：G633.951 文獻標識碼：A

事件的獨立性是概率論中非常重要的概念之一，概率論中很多問題的前提都涉及到事件的獨立性，因此要求學生正確理解事件獨立性的定義，會區(qū)分獨立和互斥這兩個概念，掌握并運用事件的獨立性進行概率的計算方法。在講解獨立性盡量讓學生經(jīng)歷概念的形成及公式的探究、應用過程，培養(yǎng)學生觀察、分析、類比、歸納的能力，并滲透逆向思維的數(shù)學思想方法。提高學生自主學習的能力與探究問題的能力。下面介紹一下本堂課的教學步驟。

步驟一： 學生的學習是建立在已有認知結(jié)構(gòu)上的，所以從學生已學知識出發(fā)，既可以加深對學過知識的理解，又可以為學習新知識埋下伏筆。所以通過回顧上節(jié)課的學習的條件概率，引入本節(jié)課獨立性的定義。在條件概率中，我們講到，一般情況下，條件概率P（B|A）≠P（B），即A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率是有影響的；但我們可否設(shè)想一下，在什么情況下，這二者相等呢，首先來看一個例子：例1：3張獎券中只有一張能中獎，現(xiàn)分別由3名同學有放回的抽取，事件A為“第一名同學沒有抽到中獎獎券”，事件B為“最后一名同學抽到中獎獎券”。則問事件A的發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率嗎？顯然，由于是有放回抽取，事件A的發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率，于是有P（B|A）≠P（B）。

步驟二：從學習數(shù)學的過程可知，弄清數(shù)學概念是學生學好數(shù)學的基礎(chǔ)和前提，從而培養(yǎng)學生對數(shù)學問題的認知研究能力。通過步驟一中的例子，可以讓學生感受到如果事件A，B有P（B|A）≠P（B），則認為A與B相互獨立的；也就是B的發(fā)生的可能性大小不會受到A事件的影響。由于A作為條件，所以在條件概率中要求P（A）>0。

下面我們給出獨立性的定義

定義1：如果兩事件A，B中任一事件發(fā)生的可能性（或概率）都不受到另外一事件發(fā)生與否的影響，即P（B|A）=P（B），P（A|B）=P（A），則稱事件A與B是相互獨立的。

定義2：如果事件A與B滿足P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A與B相互獨立。

注示：定義1是事件獨立性的一個直觀定義，對于定義1要注意使用時候一定有P（A）>0這個條件，不能遺漏，還要注意在定義1中，是一個事件發(fā)生的概率（而不是發(fā)生與否）不會受到另外一個事件發(fā)生與否的影響，注意前面“概率”二字。所以相比較，定義2使用更方便，定義2不需要考慮這一點。

有了獨立的概念之后，許多學生容易混淆獨立和互斥，認為兩事件獨立，則兩事件就互斥。其實這完全是兩個概念，他們之間沒有直接的聯(lián)系。兩個事件互斥是從事件運算的角度來解釋P（A∩B）=0，即A與B沒有相同的樣本點。而獨立性是從概率的角度來刻畫的，是P（AB）=P（A）P（B），這二者不能混淆，教學中抽取例子說明獨立不一定互斥，互斥不一定獨立。

步驟三： 三個事件的獨立

設(shè)A，B，C是三個事件，如果同時滿足下面四個等式

P（AB）=P（A）P（B）

P（AC）=P（A）P（C）

P（BC）=P（B）P（C）

P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

則稱事件A，B，C相互獨立。

注示：三個事件相互獨立的直觀解釋：其中一個事件發(fā)生的概率不會受到另外一個事件或者其他兩個事件發(fā)生與否的影響。三個事件相互獨立中一定要滿足四個等式，缺一不可（特別很多學生認為前三個等式就足夠說明三事件相互獨立，這是錯誤的思想，課堂上可以舉例說明）。有了三事件的相互獨立，就很容易推廣到多個事件的相互獨立，這里就不再解釋。認識到三個事件的獨立后，很容易從三個事件的獨立推廣到多個事件的獨立，從而學生也能學會舉一反三。有了這個概念之后，我們可以給出一個具體的例子。古人云：“三個臭皮匠頂一個諸葛亮”。今天我們就從概率的角度來分析一下，是否有道理。已知諸葛亮解決問題的概率為0.8，臭皮匠甲解決問題的概率為0.5，臭皮匠乙解決問題的概率為0.45，臭皮匠丙解決問題的概率為0.4，且每個人必須獨立解題，現(xiàn)在請問三個臭皮匠真的能頂上一個諸葛亮嗎？分析此題，其實考察的就是三個事件的獨立性。利用三個事件的獨立性，我們很容易求出三個臭皮匠中至少有一個人解答出此題的概率為0.835，顯然應了古人的那句話，三個臭皮匠能賽過一個諸葛亮。講完此例題后，我們還可以假設(shè)如果在三個臭皮匠中制定一個規(guī)則，什么規(guī)則呢，就是少數(shù)服從多數(shù)，這意味著只有至少兩個臭皮匠解答出問題，臭皮匠這個團隊才會勝利。那么按照這個規(guī)則，不防讓學生試著計算臭皮匠團隊獲勝的概率是多少。提高了知識的趣味性，也吸引了學生的興趣。

步驟四：獨立性的性質(zhì)

在A，B；A，B；A，B；A，B這四對事件中，只要有一對獨立，剩余的其余三對也獨立。這個可以用兩事件獨立性定義2證明。這個性質(zhì)也可以通過事件獨立的定義，從直觀上去理解。 這個性質(zhì)在很多計算中得到應用，需要學生完全掌握，熟練應用。

結(jié)束語

獨立性是概率中一個非常重要的概念，但在實際生活中，常常不是要我們?nèi)プC明事件是否獨立，而是根據(jù)實際生活經(jīng)驗去判定獨立，然后利用獨立的性質(zhì)進行概率計算。希望每位老師能抓住重點，分析難點，讓每位學生能準確理解和運用獨立性。

參考文獻

[1] 張福利.隨機事件獨立性的探討[J].產(chǎn)業(yè)與科技論壇，2010，9（8）.

[2] 韓天紅.事件獨立性之分析[J].科技創(chuàng)新導報，2008（NO18）.

[3] 同濟大學應用數(shù)學系.工程數(shù)學概率統(tǒng)計簡明教程[M].高等教育出版社，2003.