滿模擬下的一些保持性*

李 娜

滿模擬下的一些保持性*

李 娜

令F和F'是兩個模態(tài)框架,本文(不用對應理論)首先證明當f是F到F'上的滿同態(tài)時,f具有一些保持性;第二,證明了如果Z是框架F到F'上的一個滿模擬,那么Z具有一些保持性質(zhì)。第三,證明了模擬的等價條件和互模擬的等價條件以及滿模擬和互模擬關系;第四,定義了生成子框架并證明了:如果F'是F的生成子框架,那么F'也具有一些保持性質(zhì);第五,定義了F和F'的不交并FF'并證明了它也具有一些保持性質(zhì)。最后,證明了任意的非空模型M與一個禁自返模型之間存在一個滿模擬。關鍵詞:滿同態(tài);滿模擬;互模擬;不交并

一、引言

數(shù)學家和邏輯學家都很少孤立地考察兩個集合A和A′之間的關系。而是考察帶有運算°和°′的兩個集合〈A,°〉和〈A′,°′〉，這樣的集合通常稱為結(jié)構。他們不僅對不同結(jié)構之間的關系感興趣，而且還對結(jié)構本身所具有的各種不同的性質(zhì)感興趣。他們研究哪些結(jié)構的性質(zhì)在這樣的關系或運算下保持？例如，如果兩個代數(shù)結(jié)構〈A,°〉與〈A′,°′〉是同態(tài)的，那么當°滿足結(jié)合律時，°′也滿足結(jié)合律，并稱同態(tài)保持運算的結(jié)合性。本文在模態(tài)邏輯的框架中討論，對于兩個框架(結(jié)構)F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉，在什么樣的條件下，當R具有某種性質(zhì)φ時，R′也具有。特別地，給出比同態(tài)弱的概念——滿模擬關系，證明：當R具有某些性質(zhì)φ時，R′也具有。即框架的自返性、對稱性、傳遞性、等價性、確定性、持續(xù)性、歐性、孤立性、稠密性等等在滿模擬下保持。

二、基本概念

定義1 設F=〈W,R〉是任意的一個二元組，F(xiàn)=〈W,R〉是一個框架，當且僅當，W是任意的一個非空集合，R是W上的任意的一個二元關系，即R?W×W。

定義2 令F=〈W，R〉是一個任意的框架，

(1)稱框架〈W,R〉是自返-框架，如果對于任意的w∈W，都有wRw。

(2)稱框架〈W,R〉是對稱-框架，如果對于任意的w,w′∈W，wRw′?w′Rw。

(3)稱框架〈W,R〉是傳遞-框架，如果對于任意的w,w′,w″∈W，wRw′并且w′Rw″?w′Rw″。

(4)稱框架〈W,R〉是等價-框架，如果R是自返的、對稱的和傳遞的。

(5)稱框架〈W,R〉是確定-框架，如果對于任意的w,w′,w″∈W，wRw′并且wRw″?w′=w″。

(6)稱框架〈W,R〉是持續(xù)-框架，如果對于任意的w∈W，存在u∈W使得wRu。

(7)稱框架〈W,R〉是歐性-框架，如果對于任意的u,v,w∈W，

uRv并且uRw?vRw或者wRv。

(8)稱框架〈W,R〉是孤立-框架，如果對于任意的x,a∈W，aRx?x=a。

(9)稱框架〈W,R〉是稠密-框架,如果對于任意的a,b∈W,aRb,存在一個x∈W使得

aRx并且xRb。

(10)稱框架〈W,R〉是樹狀-框架，如果對于任意a,b,c∈W使得

bRa并且cRa?bRc或者cRb。

(11)框架〈W,R〉的一個關系′是良基的,如果不存在如下的元素序列(ar|γ<ω)：

a0→a1→…→aγ→…(γ<ω)。

三、一些基本的保持性

定義3 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個框架。f是一個從W到W′的映射并且具有性質(zhì)：如果wRu那么f(w)R′f(u)(同態(tài)條件)，則稱f是框架F到框架F′的一個同態(tài)映射，記作 f：〈W,R〉→〈W′,R′〉。

定義4 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個框架。f是一個從W到W′的滿射并且具有性質(zhì)：對任意的w,u∈W，如果wRu，那么f(w)R′f(u)(同態(tài)條件)。則稱f是框架F到框架F′的一個滿同態(tài)并稱框架F和框架F′同態(tài)，記作 F～F′。如果存在一個從F到F′的一個雙射的同態(tài)，則稱F同構于F′，記作F?F′。

在定義4中，f(R)={f(w)R′f(u)|wRu,對任意的w,u∈W}。

定理5 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個框架。若F～F′，則下面的結(jié)論(1)—(11)成立：

(1) 如果關系R在F中是自返的，那么關系R′在F′中也是自返的。

(2) 如果關系R在F中是對稱的，那么關系R′在F′中也是對稱的。

(3) 如果關系R在F中是傳遞的，那么關系R′在F′中也是傳遞的。

(4) 如果關系R在F中是等價的，那么關系R′在F′中也是等價的。

(5) 如果關系R在F中是確定的，那么關系R′在F′中也是確定的。

(6) 如果關系R在F中是持續(xù)的，那么關系R′在F′中也是持續(xù)的。

(7) 如果關系R在F中是歐性的，那么關系R′在F中也是歐性的。

(8) 如果關系R在F中是孤立的，那么關系R′在F′中也是孤立的。

(9) 如果關系R在F中是稠密的，那么關系R′在F′中也是稠密的。

(10)如果關系R在F中是樹狀的，那么關系R′在F′中也是樹狀的。

(11)如果轉(zhuǎn)換關系→在F中是傳遞的、良基的，那么轉(zhuǎn)換關系→′在F′中也是傳遞的、良基的。

證明因為F～F′，所以，不妨設f是一個從W到W′的滿射并且滿足同態(tài)條件。

(1)對于任意的w′∈W′，因為f是一個從W到W′的滿射，所以存在w∈W使得f(w)=w′。因為關系R在F中是自返的，即：wRw，再由f的同態(tài)性可得：f(w)R′f(w)。即：w′Rw′，故：關系R′在F′中也是自返的。

(2)對于任意的u′,v′∈W′，假設u′R′v′成立，因為f是一個從W到W′的滿射，所以存在u,v∈W使得f(u)=u′并且f(v)=v′。由R′=f(R)可得：uRv。再由R的對稱性可得：vRu。再由R′=f(R)可得：f(v)R′f(u)。即：v′R′u′，故：關系R′在F′中是對稱的。

(3) 對于任意的u′,v′,w′∈W′，假設u′R′v′并且v′R′w′成立，因為f是一個從W到W′的滿射，所以存在u,v,w∈W使得f(u)=u′并且f(v)=v′并且f(w)=w′。又因R′=f(R)，所以，uRv并且vRw成立。由R在F中是傳遞的可得：uRw。再由R′=f(R)可得：f(u)R′f(w)，即：u′R′w′。故：關系R′在F′中是傳遞的。

(4)由(1)-(3)可得。

(5)對于任意的u′,v′,w′∈W′，假設u′R′v′并且u′R′w′成立，因為f是一個從W到W′的滿射，所以存在u,v,w∈W使得f(u)=u′并且f(v)=v′并且f(w)=w′。又因R′=f(R)，所以，uRv并且uRw成立。由R在F中是確定的可得：v=w。再由f是一個從W到W′的映射可得：f(v)=f(w)，即：v′=w′。故：關系R′在F′中是確定的。

(6)對于任意的u′∈W′，因為f是一個從W到W′的滿射，所以存在u∈W使得f(u)=u′。因為R是持續(xù)的，所以存在v∈W使得uRv成立。又因f是一個從W到W′的映射，所以f(v)∈W′。在利用uRv可得：f(u)R′f(v)。故：關系R′在F′中是持續(xù)的。

(7)對于任意的u′,v′,w′∈W′，假設u′R′v′并且u′R′w′成立，因為f是一個從W到W′的滿射，所以存在u,v,w∈W使得f(u)=u′并且f(v)=v′并且f(w)=w′。又因R′=f(R)，所以，uRv并且uRw成立。由R是歐性的得：vRw或者wRv。由f是一個從W到W′的映射并且R′=f(R)可得：f(v)R′f(w)或者f(w)R′f(v)成立，即：v′R′w′或者w′R′v′。故：關系R′在F′中是歐性的。

(8)對于任意的a′,x′∈W′，假設a′R′x′成立，因為f是一個從W到W′的滿射，所以存在a,x∈W使得f(a)=a′并且f(x)=x′。又因R′=f(R)，所以，aRx。由R在F中是孤立的可得：x=a。由f是一個從W到W′的映射可得：f(x)=f(a)，即：x′=a′。故：關系R′在F′中是孤立的。

(9)對于任意的a′,b′∈W′，假設a′R′b′成立，因為f是一個從W到W′的滿射，所以存在a,b∈W使得f(a)=a′并且f(b)=b′。又因R′=f(R)，所以，aRb。因為R在F中是稠密的，所以存在x∈W使得aRx并且xRb。又因R′=f(R)，所以，f(a)R′f(x)并且f(x)R′f(b)成立，即：a′R′x′并且x′R′b′。故：關系R′在F′中是稠密的。

(10)對于任意的a′,b′,c′∈W′，假設b′R′a′并且c′R′a′成立，因為f是一個從W到W′的滿射，所以存在a,b,c∈W使得f(a)=a′并且f(b)=b′并且f(c)=c′。又因R′=f(R)，所以，bRa并且cRa。由R在F中是樹狀的可得：bRc或者cRb成立。因為R′=f(R)，所以f(b)R′f(c)或者f(c)R′f(b)成立，即：b′R′c′或者c′R′b′。故：關系R′在F′中是樹狀的。

(11)由(3)可得傳遞性成立。假設在W′中存在如下的元素序列：

因為f是一個從W到W′的滿射，所以存在W中的元素aγ∈W(γ<ω)使得f(aγ)=aγ′。又因→′=f(→)，所以有a0→a1→…→aγ→…(γ<ω)，此與已知矛盾。于是，在W′中不存在如下的元素序列：

故：轉(zhuǎn)換關系→′在F′中也是良基的。

推論6 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個框架。若F?F′，則定理5中的(1)—(11)成立。

證明由F′F′可得：F～F′。利用本節(jié)的定理5可得本推論的證明。

定義7 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個框架。令Z?W×W′是一個非空二元關系，如果W′的每一個元素w′至少由W中的一個元素w使得wZw′，那么稱Z為W到W′的滿關系。特別地，當Z是集合W到集合W′上的一個映射時，并且W′的每一個元素w′至少由W中的一個元素w使得wZw′，那么Z叫做W到W′的滿射。

定義8 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個框架，令Z?W×W′是一個非空二元關系，如果下面的條件成立：

定義9 令F=〈W，R〉和F′=〈W′，R′〉是兩個框架，令Z?W×W′是一個非空的二元關系，如果下面的條件成立，則稱Z是從F到F′的一個互模擬。

(1)如果wZw′并且wRv，那么存在一個v′∈W′使得w′R′v′并且vZv′(向前條件)。

(2)如果wZw′并且w′R′v′，那么存在一個v∈W使得wRv并且vZv′(向后的條件)。

定理10 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個框架。令Z?W′W′是一個非空的二元關系，則下面的條件等價：

(1)Z是F到F′的一個模擬；

(2)Z(R)?R′，其中Z(R)={Z(w)R′Z(v)|wRv}。

證明(1)?(2)。設(Z(w),Z(v))∈Z(R)，因為Z是F到F′的一個模擬，由定義定義8得：如果wZw′并且對所有的v∈W，wRv，那么存在v′∈W′使得w′R′v′并且vZv′。由wZw′得：w′=Z(w)并且由vZv′得：v′=Z(v)。再由w′R′v′得：Z(w)R′Z(v)。故，Z(R)?R′。

(2)?(1)。如果wZw′并且對所有的v∈W，wRv，可得Z(w)R′Z(v)。取v′=Z(v)，即：w′R′v′并且vZv′。故，于Z是F到F′的一個模擬。

定理11 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個框架。令Z是W到W′的一個非空滿的二元關系，則下面的條件等價：

(1)Z是F到F′上的一個互模擬；

(2)Z(R)=R′，其中Z(R)={Z(w)R′Z(v)|wRv}；

證明(1)?(2)。因為Z是F到F′上的一個互模擬，由定義9的條件(1)可得：如果wRv，則Z(w)R′Z(v)；由定義9的條件(2)可得：如果Z(w)R′Z(v)，則wRv。

(2)?(1)。如果wZw′并且wRv，由(2)可得：Z(w)R′Z(v)。取v′=Z(v)∈W′并且w′=Z(w)，于是，w′R′v′并且vZv′。即：互模擬定義的條件(1)滿足。如果wZw′并且w′R′v′，取w′=Z(w)。由于Z是滿的，所以對于任意的v′∈W都存在v∈W使得v′=Z(v)。即：Z(w)R′Z(v)。由(2)可得：wRv。于是，互模擬定義的條件(2)滿足。

定理12 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個框架，并且令Z是W到W′的一個非空的二元關系，如果Z是F到F′上的一個滿模擬，那么Z是F到F′上的一個互模擬。

證明因為Z是F到F′上的一個模擬，由定義8，向前的條件成立；又因為Z是F到F′上的一個滿關系，所以對于任意的w′∈W′，都存在一個w∈W使得wZw′成立。如果wZw′并且w′R′v′，那么對于v′取存v∈W使得vZv′成立。因為w′R′v′,即：Z(w)R′Z(v),所以wRv。因此，向后的條件。故，Z是F到F′上的一個互模擬。

由定理12可知：滿模擬關系要比互模擬關系強。但是，作者將(另文)利用對應定理證明：在互模擬下，框架F=〈W,R〉具有性質(zhì)φ當且僅當框架F′=〈W′,R′〉也具有性質(zhì)φ。

令Z={(a,1),(b,2),(c,3),(d,3),(e,4),(f,5),(f,6)}，下圖是框架〈W，R〉到〈W′，R′〉的一個滿的互模擬。其中：W={a,b,c,d,e,f}，R={(a,b),(b,c),(b,d),(c,e),(d,e),(e,f)}，W(={1,2,3,4,5,6}，R(={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(4,6)}。

〈W,R〉 〈W′,R′〉

互模擬框架[1]

上圖中，Z是W到W′的一個滿的關系并且Z(R)={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(4,6)}=R′。

命題13(不用對應理論) 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個框架。令Z是F到F′的一個滿模擬，那么定理5中的(1)—(11)成立。

證明(1)對于任意的w′∈W′，因為Z是F到F′的一個從W到W′的滿關系，所以存在w∈W使得wZw′。又因關系R在M中是自返的，所以wRw。由于Z是F到F′的模擬，由定義8，取v′=Z(w)=w′并且w′R′w′。故，關系R′在M′中也是自返的。

(2)對于任意的w′,v′∈W′,假設w′R′v′，因為Z是一個從W到W′的滿關系，所以，存在w,v∈W使得wZw′并且vZv′。因為R是對稱的，所以，如果wRv，那么vRw。又因為Z是一個模擬，由vZv′并且vRw可得：存在w′∈W′使得wZw′并且v′R′w′。故，關系R′在F′中也是對稱的。

(3)對于任意的u′,w′,v′∈W′,假設u′R′w′并且w′R′v′，因為Z是一個從W到W′的滿關系，所以，存在u,w,v∈W使得uZu′并且wZw′并且vZv′。因為R是傳遞的，所以，如果uRw并且wRv，那么uRv。又因為Z是一個模擬，由uZu′并且uRv可得：存在v′∈W′使得vZv′并且u′R′v′。故，關系R′在F′中也是傳遞的。

(4)由(1)-(3)可得。

(5)對于任意的u′,v′,w′∈W′，假設u′R′v′并且u′R′w′成立，因為Z是一個從W到W′的滿關系，所以存在u,v,w∈W使得uZu′并且wZw′并且vZv′。因為R是確定的，所以，如果uRv并且uRw，那么v=w。又因為Z是一個模擬，由uZu′并且uRv(=w)可得：存在v′(=w′)∈W′使得u′R′v′(=w′)。即：v′=w′。故，R′是確定的。

′6)對于任意的w′∈W′,因為Z是一個從W到W′的滿關系，所以，存在w∈W使得wZw′。因為R是持續(xù)的，所以，對于w∈W，存在u∈W使得wRu。因為Z是一個模擬，由wZw′并且wRu可得：存在u′∈W′使得w′R′u′。故，R′是持續(xù)的。

(7)對于任意的u′,v′,w′∈W′，假設u′R′v′并且u′R′w′成立，因為Z是一個從W到W′的滿關系，所以存在u,v,w∈W使得uZu′并且wZw′并且vZv′。因為R是歐性的，所以，對于任意的u,v,w∈W，uRv并且uRw?vRw或者wRv。因為Z是一個模擬，由vZv′并且vRw可得：存在w′∈W′使得v′R′w′；或者，由wZw′并且wRv可得：存在v′∈W′使得w′R′v′。故，R′是歐性的。

(8)對于任意的x′,a′∈W′，如果a′R′x′成立，因為Z是一個從W到W′的滿關系，所以存在x,a∈W使得xZx′并且aZa′。因為R是孤立的，所以，對于任意的x,a∈W，aRx?x=a。因為x=a，所以，aRa。因為Z是一個模擬，由aZa′并且aRa可得：存在a′∈W′使得aZa′并且a′R′a′；由xZx′并且xRx可得：存在x′∈W′使得xZx′并且x′R′x′。由x′和a′的任意性可得：x′=a′。故，R′是孤立的。

(9)對于任意的a′,b′∈W′，假設a′R′b′成立，因為Z是一個從W到W′的滿關系，所以存在x,a∈W使得aZa′并且bZb′。因為R是稠密的，所以，對于任意的a,b∈W,aRb,存在一個x∈W使得aRx并且xRb。因為Z是一個模擬，由aZa′并且aRx可得：存在x′∈W′使得a′R′x′；由xZx′并且xRb可得：存在b′∈W′使得x′R′b′。于是，任意的a′,b′∈W′，當a′R′b′成立時，存在x′∈W′使得a′R′x′并且x′R′b′。故，R′是稠密的。

(10)對于任意的a′,b′,c′∈W′，如果b′R′a′并且c′R′a′成立，因為Z是一個從W到W′的滿關系，所以存在a,b,c∈W使得aZa′并且bZb′并且cZc′。因為R是樹狀的，所以，對于任意a,b,c∈W，bRa并且cRa?bRc或者cRb。因為Z是一個模擬，由bZb′并且bRc可得：存在c′∈W′使得b′R′c′；或者，由cZc′并且cRb可得：存在b′∈W′使得c′R′b′。故，R′是樹狀的。

(11)對于任意的a0′,a1′,…,aγ′,…∈W′(γ<ω)，如果存在如下的元素序列(ar′|γ<ω)：

由于Z是一個從W到W′的滿關系，所以存在a0,a1,…,aγ,…∈W(γ<ω)使得a0Za0′并且a1Za1′并且…并且aγZaγ′…(γ<ω)。即：

Z(a0)→′Z(a1)→′…→′Z(aγ)→′… (γ<ω)

因為Z是一個模擬，由Z(→)?→′可得：是良基的，因此，不存在如下的元素序列(ar|(γ<ω)：

a0→a1→…→aγ→… (γ<ω)

此與→是良基的矛盾。故，→′是良基的。

定義14 令F=〈W,R〉和F′=〈W′,R′〉是兩個框架。如果W′?W，R′是R在W′上的限制′即：R′=R∩(W′×W′)),那么稱F′是F的一個子框架。如果F′是F的一個子框架并且對所有的w∈W，下面的條件成立：

如果w∈W′并且Rwv，那么v∈W′，

定義16 令F1=〈W1,R1〉和F2=〈W2,R2〉是兩個框架。如果W1∩W2=?，稱框架F1和F2不相交。對于不相交的框架F1和F2，它們的不交并是F1F2=〈W,R〉，這里W=W1∪W2，R=R1∪R2。

命題17 令F1=〈W1,R1〉和F2=〈W2,R2〉是兩個框架。如果F1F2，那么定理5中的(1)—(11)成立。其中(11)滿足：如果轉(zhuǎn)換關系→在F1F2中是傳遞的、良基的，那么轉(zhuǎn)換關系→i在Fi中是傳遞的、良基的(i∈{0,1})。這里→=→1∪→2。

證明(1)對于任意的w1∈W1，因為W=W1∪W2，所以w1∈W并且w1Rw1。因為F1F2，所以，w1R1w1。即：關系R1在F1中是自返的。同理可證：關系R2在F2中是自返的。(2)-(11)的證明也類似。

四、滿模擬下的模型性

定義18 設〈W,R〉是任意的框架，V是〈W,R〉上對LPM公式的一個賦值，當且僅當，V是LPM公式集Form(LPM)與W的笛卡爾乘積Form(LPM)(W到集合{0,1}上的映射，即

V：Form(LPM)×W→{0,1}

并且滿足下面的條件：對任意的LPM公式φ，φ，ψ和任意的w∈W，

(1)如果φ是命題變項p，那么V(p,w)=1或者V(p,w)=0，且二者只居其一。

(3)如果φ是φ∨ψ，那么V(φ∨ψ,w)=0當且僅當V(φ,w)=0并且V(ψ,w)=0。

(4)如果φ是φ∧ψ，那么V(φ∧ψ,w)=1當且僅當V(φ,w)=1并且V(ψ,w)=1。

(5)如果φ是φ→ψ，那么V(φ→ψ,w)=0當且僅當V(φ,w)=1并且V(ψ,w)=0。

(6)如果φ是◇φ，那么V(◇φ,w)=1當且僅當存在一個w′∈W，若wRw′,則V(φ,w′)=1。

由定義18可得：

V(□φ,w)=1當且僅當對任意的w′∈W，若wRw′,則V(φ,w′)=1。

定義19 令M=〈W,R,V〉和M′=〈W′,R′,V′〉是兩個模型，令Z?W×W′是一個非空二元關系，如果下面的條件成立：

(1)對所有命題變項p，w∈V(p)當且僅當w′∈V′(p)；

定義20 令M=〈W,R,V〉和M′=〈W′,R′,V′〉是兩個模型，令Z是W到W′上的一個非空的二元關系，并且滿足定義19中的(1)和(2)以及下面的條件：

對于任意的w′∈W′，都存在一個w∈W使得wZw′成立，

則稱Z是從M到M′的一個滿模擬。

定理21 令M=〈W,R,V〉和M′=〈W′,R′,V′〉是兩個模型，并且令Z是W到W′的一個非空的二元關系，如果Z是M到M′上的一個滿模擬，那么Z是M到M′上的一個互模擬。

證明由定義19和定理20可得。

定理22 令M=〈W,R,V〉是任意的非空模型，則它與一個禁自返模型之間存在一個滿模

擬。

證明令M=〈W,R,V〉是已知模型，如果M本身是禁自返的，那么取M上的自同構即可。如果M不是禁自返的，那么構造模型M=〈W,R,V〉滿足：

(1)W=W+∪W-={w+|對每個w∈W}∪{w-|對每個w∈W}。

(2)R定義為：對每個w∈W，如果Rww，那么Rw+w-和Rw-w+，此時Rw+w+和Rw-w-不成立；對每個w∈W，如果并非Rww，那么Rw+w-和Rw-w+不成立，同時，Rw+w+和Rw-w-也不成立；對任意的w,w′∈W如果Rww′并且w≠w′，那么Rw+w′+,Rw-w′-,Rw+w′-,Rw-w′+。

(3)對所有命題變項p，w∈V(p)當且僅當w+∈V(p)或者w-∈V(p)；

顯然，模型M=〈W,R,V〉是禁自返的?，F(xiàn)在定義從M到M上的一個關系：

Z={(w,α)|對于任意的w∈W存在α∈W使得σ=w+或者α=w-}，

現(xiàn)在只需驗證：Z是從M到M上的一個滿模擬。

(1)根據(jù)V定義，對于每一個變元p和每一個w∈W，都有w∈V(p)?α∈V(p)，這里α=w+或者u=w-，因此Z滿足互模擬定義19的條件′1)。

′2)對于任意的w,w′∈W,wZα(α=w+或者α=w-)并且Rww′，如果w=w′，根據(jù)R定義可得：Rw+w-和Rw-w+。如果α=w+,則取Rw+w-，并且wZw-成立；如果α=w-，則取Rw-w+，并且wZw+成立。如果w≠w′,并且α=w+，因為Rww′，根據(jù)R的定義可得：存在w′+(w′-)并且Rw+w′+(Rw+w′-)，由Z的定義可知：w′Zw′+(w′Zw′-)；如果w≠w′，并且α=w-，因為Rww′，根據(jù)R定義可得：存在w′+(w′-)并且Rw-w′+(Rw-w′-)，由Z的定義可知：w′Zw′+(w′Zw′-)。因此，Z是W到W的一個模擬。

(3)由W的定義可知，對于每一個w∈W，都存在α∈W(α=w+或者α=w-)并且wZα，由此可得：Z是W到W上的一個模擬。反之，由Z的構造可知：對于每一個α∈W(α=w+或者α=w-)，存在w∈W并且wZα，由此可得：Z是W到W上的一個滿模擬。

推論23 一個模型與一個禁自反模型之間存在一個互模擬。

證明由定理21和22可得。

[1]李娜等.互模擬的一些基本性質(zhì)[J].云南師范大學學報，2010，(5).

責任編輯：陳 剛

PreservationundertheCircumstanceofFullSimulation

LI Na

With F and F’ as two modes, this paper studies the preservation for f, supposing it as an epimorphis from F to F, as well as some other logic values and transformations in terms of generation, framework and sub-frameworks and features.

epimorphism; full simulation; mutual simulation; disjoint

* 國家社科基金項目“超集、雙仿及其在模態(tài)邏輯計算機科學中的應用研究”[項目編號：08BZX049]。

B81

A

1003-6644(2016)05-0093-10作者李娜,女,漢族,河南開封人,碩士,南開大學哲學院教授(天津 300350)。