基于點(diǎn)映射胞軌跡法的強(qiáng)非線性系統(tǒng)混沌演化與激變研究

楊慶超，孫方旭，柴　凱，李　爽

(海軍工程大學(xué) 科研部,武漢　430033)

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【基礎(chǔ)理論與應(yīng)用研究】

基于點(diǎn)映射胞軌跡法的強(qiáng)非線性系統(tǒng)混沌演化與激變研究

楊慶超，孫方旭，柴凱，李爽

(海軍工程大學(xué) 科研部,武漢430033)

針對(duì)強(qiáng)非線性系統(tǒng)混沌演化與激變難以掌握，阻礙線譜混沌化技術(shù)工程化應(yīng)用的問題，采用點(diǎn)映射胞軌跡法對(duì)強(qiáng)非線性系統(tǒng)的全局性態(tài)進(jìn)行了研究；研究結(jié)果表明：隨著激勵(lì)力幅值的增加，系統(tǒng)經(jīng)歷了不止一次的對(duì)稱破缺分岔，逆對(duì)稱破缺分岔過程，系統(tǒng)通過不同形式由周期狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

強(qiáng)非線性系統(tǒng)；點(diǎn)映射胞軌跡法；混沌演化；激變

低頻線譜噪聲在水中傳播距離遠(yuǎn)，且頻譜結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，對(duì)水下航行器的聲隱身性能構(gòu)成了嚴(yán)重威脅。樓京俊等[1-3]提出當(dāng)非線性隔振系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，其頻譜為連續(xù)譜，可改變線譜頻譜結(jié)構(gòu)特征并削弱集中在線譜上的能量，達(dá)到隔振和削弱線譜強(qiáng)度的目的，即線譜混沌化控制方法。對(duì)于一個(gè)非線性隔振系統(tǒng)，該方法的關(guān)鍵在于充分認(rèn)識(shí)非線性隔振系統(tǒng)通向混沌狀態(tài)的道路，控制系統(tǒng)參數(shù)使非線性系統(tǒng)由周期狀態(tài)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，且在外界環(huán)境改變時(shí)，使系統(tǒng)始終保持在混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。另一方面，工程上一般通過施加反饋?zhàn)饔昧?shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的主動(dòng)控制，深入認(rèn)識(shí)非線性隔振系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的道路，為非線性隔振系統(tǒng)混沌化反控制奠定基礎(chǔ)。本文針對(duì)強(qiáng)非線性系統(tǒng)，采用點(diǎn)映射胞軌跡法對(duì)其通向混沌的道路開展研究，為線譜混沌化技術(shù)實(shí)現(xiàn)工程化奠定基礎(chǔ)。

1　強(qiáng)非線性隔振系統(tǒng)模型的建立

單自由度強(qiáng)非線性隔振系統(tǒng)如圖1所示，其運(yùn)動(dòng)微分方程為

(1)

式(1)中，K1X+K3X3為非線性彈性回復(fù)力。

(2)

(3)

將式(2)和式(3)代入式(1)得

(4)

圖1　非線性隔振系統(tǒng)

2　點(diǎn)映射胞軌跡法

采用數(shù)值方法研究強(qiáng)非線性系統(tǒng)的全局性態(tài)時(shí)，如果對(duì)一個(gè)初始條件積分，理論上經(jīng)過充分長的時(shí)間后，系統(tǒng)的最終行為就確定了吸引子的位置，但該方法計(jì)算精度低且不實(shí)用。胞映射方法[4-6]認(rèn)為，狀態(tài)空間從理論上看是連續(xù)的，而實(shí)際上，所取的初始點(diǎn)無論如何都不能完全連續(xù)，若兩點(diǎn)之間的初始距離為h，當(dāng)所找的點(diǎn)與已知點(diǎn)的距離小于h，即可認(rèn)為是同一點(diǎn)。胞映射方法的基本思想是把相空間離散為有限個(gè)胞，考察從每一個(gè)胞出發(fā)的胞軌道，最終便可確定由胞表示的吸引子及其吸引域。相比于一般的胞映射方法，點(diǎn)映射胞軌跡法增加了一個(gè)描述狀態(tài)空間的尺度，并以此作為性態(tài)保持標(biāo)準(zhǔn)。在此條件下，點(diǎn)映射胞軌跡法比一般胞映射方法具有更好的計(jì)算精度和更好的經(jīng)濟(jì)性，其計(jì)算流程如圖2所示。

圖2　點(diǎn)映射胞軌跡法計(jì)算流程

3　強(qiáng)非線性系統(tǒng)混沌演化與激變

首先采用跟蹤延拓法，即將 fk求得的解直接作為 fk+1= fk+Δf 時(shí)的初始計(jì)算條件，對(duì)隨f變化時(shí)強(qiáng)非線性系統(tǒng)式(4)的全局形態(tài)進(jìn)行計(jì)算分析，尋找一些系統(tǒng)吸引子性態(tài)發(fā)生變化的節(jié)點(diǎn)。

圖3　非線性系統(tǒng)(4)在0.01≤f≤50區(qū)間變化的分岔圖(ξ=0.1，ω=1.6)

參考非線性系統(tǒng)隨激勵(lì)力f變化的分岔圖3，典型初始條件節(jié)點(diǎn)分區(qū)如下：

當(dāng)0.24≤f≤0.87時(shí)，存在兩個(gè)周期1解，且為大振幅和小振幅解，此時(shí)可采用諧波平衡法求出其響應(yīng)曲線如圖4所示；此時(shí)對(duì)系統(tǒng)采取認(rèn)為干擾，將系統(tǒng)解控制在小振幅解上，對(duì)于系統(tǒng)的振動(dòng)噪聲控制具有重要意義。

圖4　系統(tǒng)在區(qū)間0.24≤f≤0.87變化時(shí)振幅響應(yīng)曲線

由上述分析可知，強(qiáng)非線性系統(tǒng)在區(qū)間0.01≤f≤50變化時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)了兩個(gè)混沌區(qū)間，第一個(gè)混沌現(xiàn)象是由周期1解通過對(duì)稱破缺分岔及倍周期分岔形成，在此時(shí)混沌吸引子和周期3吸引子并存。第二個(gè)混沌現(xiàn)象是由周期3解通過對(duì)稱破缺分岔及倍周期分岔形成，此時(shí)混沌吸引子充滿了整個(gè)相平面。

4　總結(jié)

對(duì)于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，如果想對(duì)全局性態(tài)進(jìn)行較為精確的描繪，攝動(dòng)法在多數(shù)情況下都不再適用，此時(shí)通過點(diǎn)映射胞軌跡法分析非線性系統(tǒng)的全局性態(tài)可以得到較為理想的結(jié)果。針對(duì)的強(qiáng)非線性系統(tǒng)，由分析結(jié)果可知，隨著激勵(lì)力幅值的增加，系統(tǒng)行為十分復(fù)雜，通往混沌的過程不能被簡單的歸結(jié)為對(duì)稱破缺分岔—倍周期分岔—混沌的過程，隨著激勵(lì)力幅值的增加，系統(tǒng)經(jīng)歷了不止一次的對(duì)稱破缺分岔，逆對(duì)稱破缺分岔等過程。

圖5　強(qiáng)非線性系統(tǒng)在不同f下的點(diǎn)映射胞軌跡圖

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(責(zé)任編輯唐定國)

StudyonEvolutionandCrisisofChaosAttractorinStronglyNonlinearSystemBasedonPMUCRMethod

YANGQing-chao,SUNFang-xu,CHAIKai,LIShuang

(OfficeofResearch&Development,NavalUniversityofEngineering,Wuhan430033,China)

Fortheproblemthatitisdifficulttograsptheevolutionandcrisisofthechaosattractorinstronglynonlinearsystem,andtheengineeringapplicationofthelinespectrachaotificationwasobstructed,andtheglobalbehaviorofthestronglynonlinearsystemwasstudiedbasedonPMUCRmethod.Theresultshowsthattherearemorethanoncesymmetrybreakingbifurcationandinversesymmetrybreakingbifurcationprocessandtheroadsturningintochaosarevarious.

stronglynonlinearsystem;PMUCR;chaosevolution;chaoscrisis

2016-04-15；

2016-05-18

國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目“準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)混沌化技術(shù)研究”(51509253)和“潛艇機(jī)械設(shè)備混沌振動(dòng)自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制研究”(51579242)

楊慶超(1987—)，男，博士，主要從事噪聲與振動(dòng)控制研究。

10.11809/scbgxb2016.09.032

format:YANGQing-chao,SUNFang-xu,CHAIKai,etal.StudyonEvolutionandCrisisofChaosAttractorinStronglyNonlinearSystemBasedonPMUCRMethod[J].JournalofOrdnanceEquipmentEngineering,2016(9):138-141.

TJ451

A

2096-2304(2016)09-0138-04

本文引用格式：楊慶超，孫方旭，柴凱，等.基于點(diǎn)映射胞軌跡法的強(qiáng)非線性系統(tǒng)混沌演化與激變研究[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2016(9):138-141.