鋼絲繩數(shù)學(xué)模型及有限元分析

孫土貴，史天錄

（五邑大學(xué)機(jī) 電工程學(xué)院，廣東 江門 529020）

鋼絲繩數(shù)學(xué)模型及有限元分析

孫土貴，史天錄

（五邑大學(xué)機(jī) 電工程學(xué)院，廣東 江門 529020）

用UG中的規(guī)律曲線建立6×19西魯鋼絲繩、1×6單股鋼絲繩三維模型，針對(duì)西魯股第2層和第3層鋼絲位置關(guān)系進(jìn)行三次多項(xiàng)式曲線擬合，建立了二者捻角變化的三次曲線關(guān)系，保證鋼絲繩捻制后同一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期螺旋捻距的大小相同；同時(shí)建立了第3層鋼絲螺旋半徑與第2層鋼絲螺旋半徑之比隨第2層鋼絲捻角變化的三次擬合關(guān)系，確保鋼絲捻制后兩層絲剛好能接觸.利用Workbench對(duì)1×6單股鋼絲繩進(jìn)行有限元分析，鋼絲繩一段固定，對(duì)另一端每根絲加載荷.對(duì)比了中心絲與側(cè)絲接觸應(yīng)力，理論計(jì)算與有限元分析結(jié)果誤差在3%，驗(yàn)證了模型和網(wǎng)格的有效性.單股有限元最大應(yīng)力出現(xiàn)在側(cè)絲與側(cè)絲加載變型后相接觸點(diǎn).

鋼絲繩；西魯股；曲線擬合；有限元分析

鋼絲繩具有抗拉強(qiáng)度好、柔韌性好、穩(wěn)定可靠等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛用于電纜、重型機(jī)械、建筑等建造領(lǐng)域.國(guó)內(nèi)外研究人員對(duì)鋼絲繩的力學(xué)模型和失效機(jī)理做了很多工作，如文獻(xiàn)［1］的美國(guó)學(xué)者Costello從幾何、力學(xué)、微分學(xué)等基礎(chǔ)理論出發(fā)建立鋼絲繩的力學(xué)模型，預(yù)測(cè)鋼絲繩受載后的響應(yīng)；文獻(xiàn)［2］建立了不旋轉(zhuǎn)鋼絲繩三維模型，分析了單股鋼絲繩的應(yīng)力，簡(jiǎn)化整繩的三維模型并進(jìn)行有限元分析；文獻(xiàn)［3］推導(dǎo)了西魯鋼絲繩的位置關(guān)系，分析了捻角對(duì)其他參數(shù)的影響，對(duì)彈性鋼絲繩進(jìn)行了比較全面的分析，提出一些不足之處，如忽略摩擦等，總結(jié)了鋼絲繩統(tǒng)一方程式.為了更有效地找出鋼絲繩的失效點(diǎn)，本文主要針對(duì)鋼絲繩的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行擬合和有限元分析，以期為后續(xù)鋼絲繩建模、二次開發(fā)、參數(shù)優(yōu)化等提供理論指導(dǎo).

1　鋼絲繩模型

在鋼絲繩中，若干條側(cè)絲圍繞中心絲以一定捻角繞制而成股，若干側(cè)股圍繞中心股以一定捻角繞制成繩.絲繞成股分為左旋與右旋，股繞成繩也分為左旋和右旋，鋼絲繩的旋向取決其最外層側(cè)股繞中心股的旋向.中心股的主要作用是支撐側(cè)股，大多數(shù)的鋼絲繩由六根側(cè)股圍繞中心股組成，但股的側(cè)絲和層數(shù)不同.

空間螺旋結(jié)構(gòu)是鋼絲繩幾何結(jié)構(gòu)的主要特征，西魯股第2層鋼絲與第3層鋼絲之間位置關(guān)系比較復(fù)雜，需要對(duì)兩者之間的捻角和半徑進(jìn)行定性分析，從而為鋼絲繩結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與二次開發(fā)等提供理論指導(dǎo).本文建立了西魯鋼絲繩和單股鋼絲繩三維模型，利用三次擬合曲線表示鋼絲繩參數(shù)之間的關(guān)系，能更快速推導(dǎo)出鋼絲繩的幾何參數(shù)，減少計(jì)算量.為驗(yàn)證鋼絲繩理論計(jì)算的可行性，采用有限元分析方法對(duì)單股鋼絲繩受載后的應(yīng)力應(yīng)變進(jìn)行數(shù)值分析，從而根據(jù)有限元結(jié)果最大應(yīng)力確定鋼絲繩最易失效點(diǎn)，并與理論計(jì)算值進(jìn)行比較從而驗(yàn)證鋼絲繩模型的可行性.由于西魯鋼絲繩結(jié)構(gòu)較大，網(wǎng)格單元數(shù)量多，分析整繩需要的硬件要求高，本文只分析單股有限元.

本文根據(jù)微分幾何及矩陣相關(guān)理論與鋼絲的空間螺旋纏繞相結(jié)合，從而推導(dǎo)出絲與股的空間三維坐標(biāo)方程組.根據(jù)方程組通過(guò)UG軟件中的規(guī)律曲線功能生成各鋼絲的中心線，從而生成鋼絲繩的三維實(shí)體.推導(dǎo)西魯股的位置關(guān)系方程，把捻角之間的關(guān)系，捻角與鋼絲半徑之間的關(guān)系簡(jiǎn)單利用擬合函數(shù)來(lái)描述，獲得西魯股第3層鋼絲的捻角與半徑隨第2層捻角的變化規(guī)律.

1.1西魯鋼絲繩三維模型

以6×19西魯鋼絲繩為研究對(duì)象，設(shè)計(jì)參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)［1］.中心股側(cè)絲、第1層側(cè)股中心絲、外股中心絲都是一次螺旋線；第1層股側(cè)絲、外股側(cè)絲是二次螺旋線.利用UG中的規(guī)律曲線建立鋼絲的母線，然后對(duì)曲線進(jìn)行掃掠.圖1為西魯鋼絲繩的三維實(shí)體幾何模型與截面示意圖.

圖1　西魯鋼絲繩的三維實(shí)體幾何模型與截面示意圖

1.2西魯股

西魯鋼絲繩最外層股也稱西魯股，圖2為西魯股內(nèi)鋼絲的幾何關(guān)系.在西魯股內(nèi)，第2層鋼絲與第3層鋼絲之間是線接觸，這樣接觸應(yīng)力才能減小從而提高使用壽命.要保證鋼絲之間先接觸必須滿足3個(gè)條件：1）兩層側(cè)絲的數(shù)目相同；2）兩層鋼絲在一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)捻制高度L=2πr tan α相等（r為對(duì)應(yīng)鋼絲離中心股中心絲的螺旋半徑，α為鋼絲捻角）；3）兩層鋼絲的初相位相差π/m（m為同層側(cè)絲的數(shù)目）.文獻(xiàn)［3］考慮了每層鋼絲間不接觸的前提下取Rh/rh=0.99（Rh是繩內(nèi)股半徑或股內(nèi)絲半徑，rh為對(duì)應(yīng)的繩內(nèi)股螺旋半徑或股內(nèi)絲螺旋半徑），限制同層鋼絲不接觸.為計(jì)算兩層鋼絲捻制高度一樣L=2πr tanα，采取三次曲線擬合的方法限定兩層鋼絲繩間捻角的關(guān)系，捻角關(guān)系式為

圖2　三層鋼絲的西魯股截面示意圖

其中，Cα0為三次多項(xiàng)式常數(shù)項(xiàng)；Cα1為一次項(xiàng)系數(shù)；Cα2為二次項(xiàng)系數(shù)；Cα3為三次項(xiàng)系數(shù).

表1列出幾種側(cè)絲數(shù)m中鋼絲7的捻角α7隨鋼絲6的捻角α6變化的三次多項(xiàng)式常數(shù).

表1　捻角α7與α6之間擬合系數(shù)

圖3為捻角間關(guān)系圖，可以看出當(dāng)每層鋼絲數(shù)目增加，捻角會(huì)增大；隨著第2層鋼絲捻角不斷增大，第3層鋼絲的捻角也隨之增大，最后都變成90°捻角，說(shuō)明當(dāng)?shù)?層捻角接近90°時(shí)，鋼絲接近直鋼絲，第3層變成直線.為了限制第2層鋼絲與第3層鋼絲之間剛好接觸（不鑲嵌或不分離），西魯股中各鋼絲半徑的位置關(guān)系如式（2），為更好計(jì)算兩層絲之間關(guān)系，采用三次曲線擬合的方法表示：

圖3　捻角α7隨α6的三次擬合曲線

其中，γ為鋼絲位置之間的一個(gè)夾角；A為第7根鋼絲與第6根鋼絲螺旋半徑之比.表2列出4種不同側(cè)絲數(shù)目中A隨α6變化的三次多項(xiàng)式常數(shù)；圖4為這幾組數(shù)據(jù)的三次擬合曲線，從圖4可以看出，隨著鋼絲數(shù)目的增加外層鋼絲與第2層鋼絲半徑之比減少；捻角增大，它們之間的比例增大.

表2　A與α6之間擬合系數(shù)

圖4　A隨α6的三次擬合曲線

2　單股有限元分析

單股鋼絲繩是所有鋼絲繩的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，對(duì)于西魯鋼絲繩結(jié)構(gòu)，其中心股是單股鋼絲繩，其第2層股也是由單股結(jié)構(gòu)通過(guò)一次空間螺旋纏繞而成.因此，單股鋼絲繩的有限元分析是研究西魯鋼絲繩的基礎(chǔ)，通過(guò)單股分析可以進(jìn)一步對(duì)整繩做有限元分析.而鋼絲捻角之間的三次擬合為西魯鋼絲繩的有限元分析、二次開發(fā)等減少了計(jì)算量.

2.1有限元分析前處理

本次仿真參考文獻(xiàn)［1］的單股鋼絲繩參數(shù)，使用UG建立三維模型，將三維模型導(dǎo)入到Hypermesh中劃分網(wǎng)格，利用2D面網(wǎng)格功能中網(wǎng)格劃分在每根鋼絲端面劃分四邊形網(wǎng)格，設(shè)置劃分匹配為圓形端面，然后使用3D功能對(duì)實(shí)體進(jìn)行六面體網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格模型如圖5，其中單元數(shù)為28 434，節(jié)點(diǎn)數(shù)為33553.為ANSYS設(shè)置單元類型，將penta6單元設(shè)置為Solid45并關(guān)聯(lián)到六面體中去.六面體有8個(gè)節(jié)點(diǎn)，這樣的網(wǎng)格能有效地對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行約束，且能提高鋼絲繩的網(wǎng)格精度.

圖5　單股鋼絲繩的有限元模型

通過(guò)ANSYS 中Finite Element Modeler模塊導(dǎo)入Hypermesh文件，對(duì)鋼絲繩一端固定，限制其6個(gè)自由度，另一個(gè)端面添加拉力.由理論計(jì)算各個(gè)鋼絲的受載比重，中心絲受拉力F1=9 723 N ；側(cè)絲受拉力F2=9 073 N ；絲與絲之間忽略摩擦，因?yàn)镃ostello的模型理論計(jì)算中論證了鋼絲繩在受載時(shí)，摩擦對(duì)鋼絲繩的影響很小，特別是在小變形情況下.

2.2中心絲與側(cè)絲理論接觸應(yīng)力計(jì)算

單股鋼絲繩受載后會(huì)產(chǎn)生變形，圓截面變成橢圓形.根據(jù)Costello的理論計(jì)算公式，由鋼絲繩鋼絲中心線線應(yīng)力推導(dǎo)出中心絲與側(cè)絲的接觸線應(yīng)力.中心絲與側(cè)絲之間的接觸線應(yīng)力：

其中，Xc為折合到接觸點(diǎn)處單位長(zhǎng)度的力；X2為垂直于側(cè)絲母線且通過(guò)接觸點(diǎn)方向的母線上分力；p2為側(cè)絲的捻距.

鋼絲繩中心絲與側(cè)絲的接觸應(yīng)力計(jì)算公式：

其中ρ1=R1/sin2α2；σc為理論接觸點(diǎn)應(yīng)力；E為彈性模量；v為泊松比；ρ1為變形后中心絲接觸點(diǎn)處圓周的曲率半徑；α2為側(cè)絲捻角.

把文獻(xiàn)［1］的參數(shù)代入式（4）和（5），取中心絲受力后應(yīng)變?yōu)?.003，加載條件設(shè)鋼絲繩自轉(zhuǎn)為0，計(jì)算可得鋼絲繩的接觸應(yīng)力為1005.9 MPa.

2.3有限元分析結(jié)果

經(jīng)過(guò)上述有限元分析，Z軸方向變形云圖如圖6所示，鋼絲繩軸向變形呈層狀分布，以鋼絲繩中心軸對(duì)稱分布，說(shuō)明網(wǎng)格劃分均勻及精度能達(dá)到計(jì)算的要求.鋼絲靠近中心股區(qū)域變形比遠(yuǎn)離中心股區(qū)域小，符合實(shí)際.側(cè)絲比中心絲變形大，但是相差不明顯.

圖7為單股鋼絲繩受載后的應(yīng)力分布情況.中心絲和側(cè)絲應(yīng)力相接近，側(cè)絲與側(cè)絲接觸處應(yīng)力比較大，說(shuō)明應(yīng)力比較集中，這是由于側(cè)絲受載后，圓形截面變形成橢圓，相鄰側(cè)絲相互接觸導(dǎo)致應(yīng)力集中，這和理論數(shù)學(xué)模型計(jì)算結(jié)果相符合.側(cè)絲應(yīng)力比較大，同時(shí)反映出為什么鋼絲繩繩芯在實(shí)際運(yùn)用中容易松散.

圖6　單股鋼絲繩變形云圖

圖7　單股鋼絲繩應(yīng)力云圖

文獻(xiàn)［2］對(duì)僅有3根側(cè)絲的單股鋼絲繩的中心絲與側(cè)絲的應(yīng)力進(jìn)行了有限元分析，本文利用Workbench中提取實(shí)體功能直接對(duì)中心絲作分析，應(yīng)力云圖如圖8.中心絲與側(cè)絲接觸處應(yīng)力最大，通過(guò)式（5）計(jì)算可得，單股鋼絲繩的理論接觸應(yīng)力計(jì)算結(jié)果為1005.9 MPa，圖8中可以得出鋼絲繩有限元仿真計(jì)算結(jié)果最大接觸應(yīng)力為979.1MPa，兩者誤差為3%，說(shuō)明選擇的有限元網(wǎng)格類型符合此類鋼絲繩模型的分析要求，隨著網(wǎng)格再細(xì)化，有限元計(jì)算結(jié)果變動(dòng)越來(lái)越小，網(wǎng)格的精度越來(lái)越高.兩者之間的誤差反映出，參數(shù)方程建立起來(lái)的三維模型與Costello的力學(xué)理論基礎(chǔ)能有效的相結(jié)合，為鋼絲繩整繩有限元分析提供基礎(chǔ).

圖8　中心絲應(yīng)力云圖

3　總結(jié)與展望

本文利用UG建立了單股鋼絲繩和西魯鋼絲繩三維模型，分析了西魯股內(nèi)第3層鋼絲參數(shù)隨第2層鋼絲繩變化規(guī)律，并利用擬合函數(shù)表達(dá)出來(lái).利用Workbench有限元軟件計(jì)算了單股鋼絲繩受載后的應(yīng)力響應(yīng)，將中心絲接觸應(yīng)力的有限元結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，誤差在3%，從而驗(yàn)證了三維模型和有限元模型的有效性.

由于鋼絲繩受載情況復(fù)雜，下一步工作將建立鋼絲繩受彎曲后的三維模型，計(jì)算鋼絲繩接觸點(diǎn)的空間坐標(biāo)與模型做對(duì)比，由于西魯鋼絲繩整繩結(jié)構(gòu)龐大，后續(xù)可利用工程計(jì)算機(jī)幫助計(jì)算有限元；如單股三層鋼絲繩的有限元及理論計(jì)算；對(duì)西魯鋼絲繩的主要參數(shù)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化；推導(dǎo)西魯鋼絲繩受載后軸向應(yīng)變與旋轉(zhuǎn)應(yīng)變之間的關(guān)系，分析各個(gè)參數(shù)對(duì)兩個(gè)變量的影響程度；鋼絲繩繞滾輪受載后的力學(xué)模型.

［1］ COSTELLO G A.Theory of wire rope ［M］.2nd Edition.New York： Springer,1997.

［2］ 賈尚雨.不旋轉(zhuǎn)鋼絲繩的力學(xué)特性與失效研究［D］.廣州：華南理工大學(xué)，2011.

［3］ VELINSKY S A.Design and mechanics of multi-lay wire strands ［J］.Journal of Mechanical Sciences,1988,110（2）： 152-160.

[責(zé)任編輯：韋 韜]

Mathematical Model and Finite Element Analysis of Wire Ropes

SUN Tu-gui,SHI Tian-lu
(School of Mechanical and Electrical Engineering,Wuyi University,Jiangmen 529020,China)

A three-dimensional model is established using the curve function of UG for the 6×19 Seale wire rope and the 1×6 single-strand wire rope.Through the curve-fitting of the positional relationship by the third order polynomial between the second and third layers of the Seale wire rope,the third order polynomial relationship between two helix angles is established to ensure that the rope have the same lay length after twisting spiral.At the same time,the third order polynomial relationship of the helix radius ratio between the second and third layers of Seale wire is established to ensure that the two wires can contact with each other.A finite element analysis is made of the 1x6 single-strand wire rope using Workbench.A wire rope is fixed at one end and each strand at the other end is given load.The contact stress on the center wire and the side wire is compared and the theoretical calculation and finite element analysis result error is at 3%.The validity of the model and the gridding is verified.The maximum stress of single strands occurs at the contact point between the side wire and the loaded side wire.

wire rope; seale wire rope; curve-fitting; FEM

TD532

A

1006-7302（2016）01-0064-05

2015-09-16

五邑大學(xué)機(jī)械制造及其自動(dòng)化重點(diǎn)學(xué)科（2021501）

孫土貴（1989—），男，廣東湛江人，在讀碩士生，研究方向?yàn)殇摻z繩仿真、參數(shù)優(yōu)化與數(shù)學(xué)模型研究；史天錄，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，通信作者，研究方向?yàn)闄C(jī)電系統(tǒng)可靠性研究等.