可數(shù)覆蓋性質(zhì)與集值選擇

周潤(rùn)波，燕鵬飛

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

可數(shù)覆蓋性質(zhì)與集值選擇

周潤(rùn)波，燕鵬飛

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

利用正規(guī)空間內(nèi)可數(shù)覆蓋性質(zhì)之間的相互關(guān)系，給出了可數(shù)仿緊性在選擇理論中的若干刻畫.

可數(shù)強(qiáng)仿緊；可數(shù)仿緊；可數(shù)中緊；可數(shù)亞緊；集值映射

自Michael在文獻(xiàn)[1]中以擴(kuò)張定理為基礎(chǔ)建立連續(xù)選擇理論以來，選擇理論因它的分析背景和較強(qiáng)的應(yīng)用性成為有趣的課題之一.Michael等在文獻(xiàn)[2-4]中證明了原像空間的仿緊性和亞緊性等覆蓋性質(zhì)與集值映射的選擇有密切的關(guān)系.近年來，文獻(xiàn)[5-6]給出了強(qiáng)仿緊性、緊性、族正規(guī)性的刻畫，其他覆蓋性質(zhì)的集值映射也先后被找到，但對(duì)可數(shù)覆蓋性質(zhì)并沒有給出一個(gè)系統(tǒng)的刻畫，可數(shù)覆蓋性質(zhì)和集值選擇有何聯(lián)系也是個(gè)謎.基于前人成果，本文給出了可數(shù)覆蓋性質(zhì)的一個(gè)較為系統(tǒng)的刻畫，并給出了可數(shù)仿緊性在選擇理論中的若干刻畫.

1　預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是拓?fù)淇臻g，(Y,d)為度量空間，2Y表示Y的非空子集族.

集值映射Φ:X→2Y稱為下半連續(xù)（簡(jiǎn)記l.s.c）（上半連續(xù)簡(jiǎn)記u.s.c），如果對(duì)于Y中的每個(gè)開集（閉集）U都有Φ-1(U)={x∈X:Φ(x)∩U≠?}是X的開集（閉集）.

X是可數(shù)仿緊（強(qiáng)仿緊、中緊、亞緊）的，如果X的任意可數(shù)開覆蓋存在局部有限（星有限、緊有限、點(diǎn)有限）開加細(xì).

2　主要結(jié)果

引理1[7]71空間X的可數(shù)補(bǔ)零覆蓋{Ui}可用星有限的可數(shù)補(bǔ)零覆蓋細(xì)分.

引理2[7]60正規(guī)空間X的點(diǎn)有限開覆蓋可由閉覆蓋一一細(xì)分.

定理1 在正規(guī)空間X中，下列條件等價(jià)：

1）X是可數(shù)強(qiáng)仿緊的； 2）X是可數(shù)仿緊的； 3）X是可數(shù)中緊的；

4）X是可數(shù)亞緊的； 5）X的每一可數(shù)開覆蓋是閉收縮的.

證明 1）?2）?3）?4）是顯然的.

4）?5）.設(shè){Un:n∈N}為X的任意可數(shù)開覆蓋.因?yàn)閄是可數(shù)亞緊的，所以{Un:n∈N}存在局部有限一一開加細(xì){Vn:n∈N}，由空間的正規(guī)性及引理2可知{Vn:n∈N}存在閉覆蓋一一加細(xì){Fn:n∈N}，即可知{Un:n∈N}是閉收縮的.

5）?1）.設(shè){Un:n∈N}為X的任意可數(shù)開覆蓋，由條件可知存在閉覆蓋一一加細(xì){Fn:n∈N}.記Cn=X-Un，由Fn?Un可知Fn∩Cn≠?.因?yàn)閄是正規(guī)空間，所以存在連續(xù)函數(shù)fn使得fn(Fn)≠0和 fn(cn)=0.則有，即{Un:n∈N}可由可數(shù)補(bǔ)零覆蓋一一細(xì)分.由引理1知它存在星有限補(bǔ)零覆蓋加細(xì)，所以空間X是強(qiáng)仿緊的.

定理2是選擇理論中一個(gè)經(jīng)典的定理.

定理2[2]647對(duì)于T2空間X，下列條件等價(jià)：

1）X是仿緊的；

2）對(duì)任意取值于度量空間Y的l.s.c集值映射Φ:X→F(Y)，存在l.s.cφ:X→C(Y)和u.s.cφ:X→C(Y)，使得對(duì)任意x∈X,φ(x)?φ(x)?Φ(x).

為在選擇理論中用集值映射給出可數(shù)覆蓋性質(zhì)的刻畫，先引入如下2個(gè)引理.

引理3 設(shè)X是正規(guī)可數(shù)仿緊空間，(Y,ρ)是可分完備度量空間，Φ:X→F(Y)為下半連續(xù)函數(shù)，則存在：

3）映射列{πn:n =1,2…}，其中πn:An+1→An滿足：,:β∈.

證明 因?yàn)閅為可分度量空間，則Y存在一組可數(shù)基，所以存在可數(shù)開覆蓋列{ωn={:β∈ Λn},n=1,2…}使得diam，對(duì)每個(gè)n和β∈Λn.因?yàn)閅的可數(shù)開覆蓋，所以存在局部有限一一加細(xì)，故存在閉收縮.由X的正規(guī)性，存在X的局部有限開覆蓋滿足：

引理4[8]297X為拓?fù)淇臻g，(Y,ρ)為完備度量空間.對(duì)于任意的i∈N,Φi:X→C(Y)為下半連續(xù)集值映射(上半連續(xù)集值映射)且滿足Φi(x)?O2-i(Φi+1(x)),Φi+1(x)?O2-i(Φi(x)),?x∈X .定義集值映射Φ:X →2Y，使得Φ(x)={limyi:yi∈Φi(x),ρ(yi,yi+1)≤2-i}.則有Φ:X→2Y為下半連續(xù)函數(shù)(上半連續(xù)集值映射)且Φ(x)∈C(Y).

定理3 對(duì)正規(guī)空間X，下列條件等價(jià)：

1）X是可數(shù)仿緊的；

2）對(duì)任意取值于可分完備度量空間的下半連續(xù)集值映射Φ:X→F(Y)，存在l.s.cφ:X→C(Y)和u.s.cφ:X→C(Y)，使得對(duì)任意x∈X,φ(x)?φ(x)?Φ(x)；

3）對(duì)任意取值于可分完備度量空間的下半連續(xù)集值映射Φ:X→F(Y)，存在l.s.cφ:X→C(Y)使得對(duì)任意的x∈X,φ(x)?φ(x)?Φ(x)，且是緊的對(duì)于X中的每一個(gè)緊集K；

4）對(duì)任意取值于可分完備度量空間的下半連續(xù)集值映射Φ:X→F(Y)，存在l.s.cφ:X→C(Y)使得對(duì)任意的x∈X,φ(x)?Φ(x).

b）?x∈X,i ∈N，φi(x)?O2i(Φ(x)).取，則有，故Φ(x)∩.取 y∈Φ(x)∩，則有.因φi(x)?φi(x)，故也有φi(x)?O2i(Φ(x)).

c）φi+1(x)?O2-i(φi(x)),φi(x)?O2-i(φi+1(x)).取∈φi+1(x)，則x∈?，故∈ φi(x),.取，則x∈，故存在β使得x∈,β∈(α)，因此有∈φi+1(x)滿足≤≤diam＜2-i.因 φi(x)?φi(x)，也有φi+1(x)?O2-i(φi(x)),φi(x)?O2-i(φi+1(x)).

d）φi(x)為l.s.c.對(duì)于Y中任一開集V，若?x0∈(V)，則有φi(x0)∩V ≠?，存在∈φi(x0)∩V，故.故當(dāng)時(shí)，，即φi(x)∩V ≠?.所以(V)為開集.故φi(x)為l.s.c，φi(x)為u.s.c.對(duì)于Y中的任意開集V，證明為開集.?x0∈(V)，有φi(x0)?V.因且為保閉集族.記.令，由保閉性可知F為閉集.令U=X-F.則?x∈U都有φi(x)?V .所以φi(x)為u.s.c.定義：

可知φ(x),φ(x)為緊值的下半連續(xù)集值映射.由b）得φ(x)?φ(x)?=Φ(x).

2）?3）.取X的任一緊集K，則存在上半連續(xù)函數(shù)φ(x)，使得φ(x)?φ(x)?Φ(x).因?yàn)棣?x)為保緊映射，則有φ(K)為緊集且為閉集.由?φ(K)可知為緊集.

3）?4）是顯然的.

4）?1）.證明X是可數(shù)亞緊空間，由定理3的條件1）即可知X是可數(shù)仿緊的.取X的任一可數(shù)開覆蓋{Uα:α∈Y}，令Y為離散拓?fù)淇臻g，則它是可度量化的.由Y為可數(shù)集知其為可分完備度量空間.定義集值映射：

因Φ-1(α)=Uα，可知Φ(x)為l.s.c.從而存在l.s.cφ:X→C(Y)使得對(duì)任意的x∈X,φ(x)?Φ(x)，于是有φ-1(α)?Φ-1(α).因φ(x)為緊集，即為有限集，所以{φ-1(α):α∈Y}為點(diǎn)有限開覆蓋.由此可知X為可數(shù)亞緊空間.

[1] MICHAEL E.Continuous selections I [J].Annals of Mathematics,1956,63(2): 361-382.

[2] MICHAEL E.A theorem on semi-continuous set-valued functions [J].Duke Mathematical Journal,1959,26(4): 647-651.

[3] 燕鵬飛.亞緊性和選擇理論[J].安徽大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1992(1): 9-13.

[4] 燕鵬飛.選擇理論中兩個(gè)結(jié)論的改進(jìn)[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論，1998,18(1): 131-134.

[5] CHOBAN M M,MIHAYLOVA E P,NEDEV S Y.On selections and classes of spaces [J].Topology & Its Applications,2008,155(8): 797-804.

[6] GUTEV V.Compactness-like properties and compact sections [J].Topology & Its Applications,2012,159(6): 1634-1639.

[7] 兒玉之宏，永見啟應(yīng).拓?fù)淇臻g論[M].方嘉琳，譯.北京：科學(xué)出版社，1984.

[8] NEDEV S.Selection and factorization theorems for set-valued mappings [J].Serdica,1980,6(4): 294-317.

[責(zé)任編輯：熊玉濤]

Countable Covering Properties and Set-valued Mapping

ZHOU Run-bo,YAN Peng-fei
(School of Mathematics and Computational Science,Wuyi University,Jiangmen 529020,China)

This paper makes characterizations of countable paracompacts in the section theory through the connection between the countable covering properties.

countable strong paracompacts; countable paracompacts; countable mesoparacompacts; countable metaparacompacts; set-valued mapping

O189.11

A

1006-7302（2016）01-0008-04

2015-09-25

周潤(rùn)波（1990—），男，湖南永州人，在讀碩士生，主要從事一般拓?fù)溲芯?；燕鵬飛，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，通信作者，主要從事一般拓?fù)溲芯?