二維離散型隨機變量相互獨立的判別準則*

陶　寶

(重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,重慶 400067)

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二維離散型隨機變量相互獨立的判別準則*

陶寶

(重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,重慶 400067)

在二維隨機變量獨立性定義的基礎(chǔ)上，根據(jù)聯(lián)合概率分布與邊緣概率分布的關(guān)系，給出了二維離散型隨機變量獨立性的判定定理；通過引入聯(lián)合概率分布矩陣概念，從矩陣形式、矩陣的秩以及向量線性關(guān)系的角度，提出了判別獨立性的新方法.

二維離散型隨機變量；相互獨立；聯(lián)合概率分布矩陣；秩

設(shè)二維隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率分布函數(shù)為F(x，y)，隨機變量X和Y的邊緣概率分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，若對任意x，y∈R，都有

(1)

則稱隨機變量X與Y相互獨立.

若(X，Y)為二維離散型隨機變量，聯(lián)合概率分布列為

文獻[1]和[2]指出，隨機變量X和Y的邊緣分布列分別為

聯(lián)合概率分布列和邊緣概率分布列可以反映在同一個表格中，見表1.

表1　聯(lián)合概率分布列與邊緣概率分布列

若(X，Y)是二維連續(xù)型隨機變量，文獻[3]討論了(X，Y)變換的概率分布，文獻[4-5]討論了X與Y相互獨立性的判定準則.若(X，Y)為二維離散型隨機變量，關(guān)于X與Y相互獨立性的判定，文章給出了若干結(jié)論.

定理1對于二維離散型隨機變量(X，Y)，X與Y相互獨的充分必要條件是：

(2)

證明只需證明式(1)和式(2)等價.假設(shè)式(1)成立，為證式(2)，不妨假設(shè)x1

即式(2)成立．反過來，假設(shè)式(2)成立，那么

即式(1)成立，于是式(1)和式(2)等價.

在實際問題中，經(jīng)常碰到二維離散型隨機變量(X，Y)的取值為有限對的情形，這時它的聯(lián)合概率分布列和邊緣概率分布列可用矩陣形式表示.矩陣

由矩陣乘法的定義和定理1，立即可得以下結(jié)論.

定理2對于二維離散型隨機變量(X，Y)，X與Y相互獨立的充分必要條件是：

(3)

由矩陣的秩的性質(zhì)，對矩陣A和B，有秩(AB)≤min{秩(A)，秩(B)}，結(jié)合定理2，立即得到以下結(jié)論.

定理3對于二維離散型隨機變量(X，Y)，X與Y相互獨立的充分必要條件是A的秩為1.等價地，X與Y不相互獨立的充分必要條件是A的秩大于1.

證明若X與Y相互獨立，由定理2知，秩(A)≥1，秩(AIm)=1，于是秩(A)=1.

反過來，若A的秩為1，記A=(β1，β2，…，βm)，不妨設(shè)A的列向量組β1，β2，…，βm的極大無關(guān)組為β1，則β1，β2，…，βm均可由β1線性表示，記為βj=kjβ1(j=1，2，…，m).于是有：

即X與Y相互獨立.

由定理3，立即可得以下推論：

推論1對于二維離散型隨機變量(X，Y)，X與Y相互獨立的充分必要條件是矩陣A中任意兩個行(列)向量線性相關(guān)；等價地，X與Y不相互獨立的充分必要條件是在矩陣A中存在兩個行(列)向量線性無關(guān).

推論2對于二維離散型隨機變量(X，Y)，X與Y相互獨立的充分必要條件是矩陣A中任意兩行(列)元素對應(yīng)成比例；等價地，X與Y不相互獨立的充分必要條件是在矩陣A中存在兩行(列)元素對應(yīng)不成比例.

[1] 袁德美,安軍,陶寶.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:高等教育出版社,2011

YUAN D M,AN J,TAO B.Probability Theory and Mat-hematical Statistics[M].Beijing:Higher Education Press,2011

[2] 茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京:高等教育出版社,2011

MAO SH S,CHENG Y M,PU X L.Probability Theory and Mathematical Statistics Tutorial[M].Beijing:Higher Edu-cation Press,2011

[3] 陶寶,袁德美.二維連續(xù)型隨機變量變換的概率分布[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,32(5):34-36

TAO B,YUAN D M.Probability Distribution of the Mapping for the Bivariate Continuous Random Variable[J].Journal of Chongqing Technology and Business University(Natural Science Edition),2015,32(5):34-36

[4] 王群,彭小帆.二維連續(xù)型隨機變量相互獨立的一個充分條件[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2015,31(5):72-75

WANG Q,PENG X F.A Sufficient Condition for the Independence of Two-dimensional Continuous Random Varia-bles[J].College Mathematics,2015,31(5):72-75

[5] 劉春霞.二維連續(xù)型隨機變量獨立性的判定[J].長春大學(xué)學(xué)報,2015,25(4):53-55

LIU CH X.Determination of Independence of Two-dimen-sional Continuous Random Variables[J].Journal of Chang-chun University,2015,25(4):53-55

責(zé)任編輯：李翠薇

Criterion for the Mutual Independence of Bivariate Discrete Random Variables

TAO Bao

(College of Mathematics and Statistics, Chongqing Technology and Business University, Chongqing 400067, China)

Based on the independence definition of bivariate random variables, according to the relationship between the joint probability distribution and marginal probability distribution, the critical theorem is introduced for the independence of bivariate discrete random variables. With the concept of the joint probability distribution matrix, the new methods of judging independence are given from the aspect of matrix representation, the rank of matrix and linear relations among vectors.

bivariate discrete random variables; mutual independence; joint probability distribution matrix; rank

10.16055/j.issn.1672-058X.2016.0005.019

2016-01-07;

2016-03-02.

重慶工商大學(xué)教育教學(xué)改革研究重點項目(130114)；重慶市教委教學(xué)改革項目(1203057).

陶寶(1979-)，男，四川達縣人，講師，碩士，從事極值理論研究.

G642

A

1672-058X(2016)05-0095-03