一維等間距δ勢(shì)壘中的波函數(shù)及其物理性質(zhì)

洪　云

(重慶工商大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，重慶 400067)

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一維等間距δ勢(shì)壘中的波函數(shù)及其物理性質(zhì)

洪云

(重慶工商大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，重慶 400067)

利用透射矩陣方法，通過求解定態(tài)薛定諤方程，得出了一維等間距分布δ勢(shì)壘中的波函數(shù)及其物理性質(zhì)；通過數(shù)值分析，討論了幾種等間距分布的δ勢(shì)壘中電子的透射系數(shù)和幾率流密度隨能量變化的特點(diǎn)。

隧穿效應(yīng)；δ勢(shì)壘；透射矩陣；透射系數(shù)；幾率流密度

微觀粒子的量子隧穿效應(yīng)是量子力學(xué)的重要內(nèi)容之一，是粒子具有波動(dòng)性的表現(xiàn)。量子隧穿現(xiàn)象在微電子學(xué)、半導(dǎo)體器件、新型材料和介觀物理等中都有重要的應(yīng)用。1970年，Esaki和Tsu在尋找負(fù)微分電阻的新器件的時(shí)候，從理論上給出了超晶格的概念，之后又在1973年首次在理論上研究了超晶格量子肼的隧穿問題；1974年，Chang和Esaki等人通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這一結(jié)論；1992年，Lilienfeld觀測(cè)到了電子從金屬到真空的隧穿現(xiàn)象[1]。在此之后，廣大的理論和實(shí)驗(yàn)工作者就半導(dǎo)體超晶格和量子肼的共振隧穿現(xiàn)象在理論以及實(shí)驗(yàn)上都進(jìn)行了廣泛深入的研究。

在電子隧穿問題中，如何計(jì)算電子穿過勢(shì)壘的透射系數(shù)和勢(shì)壘之間的電子幾率流密度等問題是計(jì)算隧道電流，研究隧道器件伏安特性，分析加速器中電子流強(qiáng)度的關(guān)鍵，而該問題的關(guān)鍵就在于求解一維定態(tài)薛定諤方程。由此，正確求解一維定態(tài)薛定諤方程成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)。眾所周知，可以用解析方法精確求解的一維定態(tài)薛定諤方程是非常有限的。于是，人們提出和發(fā)展了許多方法[2]，如變分法、有限元法、蒙特卡羅法、WKB近似法、Ariv函數(shù)近似法和透射矩陣(傳遞矩陣)法等。這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，其中變分法的適用范圍較窄，有限元法和蒙特卡羅法應(yīng)用起來較為復(fù)雜，WKB近似法和Airv函數(shù)近似法得出的結(jié)果不夠精確。上述方法中，只有透射矩陣法適用范圍較廣，使用起來較為簡(jiǎn)單，易于編程，并能夠非常準(zhǔn)確、快速地求解一維定態(tài)薛定諤方程。同時(shí)，在大部分的初等量子力學(xué)教材和文獻(xiàn)中都有標(biāo)準(zhǔn)的處理方法，給出了粒子隧穿單勢(shì)壘幾率的計(jì)算，但是對(duì)雙勢(shì)壘以及更多勢(shì)壘情況，隧穿現(xiàn)象沒有給出討論。此處應(yīng)用C.Cohen-Tannoudji，B.Diu和F.Lalo?提出的透射矩陣方法[3]，討論了一維等間距分布δ勢(shì)壘中的波函數(shù)及其物理性質(zhì)，并且推廣到了一維等間距非對(duì)稱分布δ勢(shì)壘中的情形；然后，通過Wolfram Mathematica軟件數(shù)值分析和模擬，得出了幾種不同δ勢(shì)壘分布情形下，電子的透射幾率和幾率流密度與電子能量的變化特點(diǎn)。

1　一個(gè)δ勢(shì)壘中粒子非束縛態(tài)的討論

1.1透射矩陣M(k)的定義及其性質(zhì)

(1)

可以令

(2)

在x<-l/2的區(qū)域中，函數(shù)eikx滿足方程(1)，此處的一個(gè)解記作vk(x)。當(dāng)x>l/2時(shí)，它必須是方程(1)的兩個(gè)獨(dú)立解eikx和e-ikx的線性組合。于是有：

(3a)

(3b)

式(3b)中，系數(shù)F(k)和G(k)不僅依賴于V(x)勢(shì)的形狀而且依賴于k的取值。

根據(jù)這個(gè)勢(shì)場(chǎng)的特殊性，則解vk(x)在x<-l/2與x<0，x>l/2與x>0全同，所以由vk(x)在x=0點(diǎn)處的連續(xù)性條件及其一階導(dǎo)數(shù)的躍變條件可得出F(k)和G(k)：

(3c)

(4a)

(4b)

由連續(xù)性條件和躍變條件可得：

(4c)

(5)

由式(3a)(3b)(4a)及(4b)，得：

(6a)

(6b)

其中，

(7)

由式(7)可得一個(gè)表示透射波幅和入射波幅關(guān)系的矩陣M(k)：

(8)

利用此矩陣，可將式(7)寫成：

(9)

因此，透視矩陣M(k)可以根據(jù)波函數(shù)在勢(shì)場(chǎng)“左側(cè)”的行為(式(6a))，推知它在勢(shì)場(chǎng)“右側(cè)”的行為(式(6b))。對(duì)于勢(shì)場(chǎng)V(x)=ν0δ(x)，可通過透射矩陣M(k)由波函數(shù)在δ勢(shì)壘左側(cè)的行為推知波函數(shù)在δ勢(shì)壘右側(cè)的行為。一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)任意形狀的勢(shì)場(chǎng)(可以呈現(xiàn)一個(gè)或多個(gè)勢(shì)壘、勢(shì)阱等)對(duì)其本征函數(shù)的影響都可以用一個(gè)2×2的透射M(k)矩陣來描述，并且可以寫為以下簡(jiǎn)單形式[3]

(10)

在定態(tài)時(shí)，有：

(11)

1.2反射系數(shù)和透射系數(shù)

(12)

(13)

從而反射系數(shù)和透射系數(shù)為

(14a)

(14b)

顯然，條件(11)保證了R1(ki)+S1(ki)=1。

反之，若粒子自右向左入射，則應(yīng)取A=0，同理可得相應(yīng)的反射系數(shù)R2(ki)和透射系數(shù)S2(ki)，可以看出R1(ki)=R2(ki)而且S1(ki)=S2(ki)，亦即只要能量已經(jīng)給定，一個(gè)勢(shì)壘(不論是否對(duì)稱)的可穿透性對(duì)于來自左方與來自右方的粒子永遠(yuǎn)是一樣的。

2　一維周期分布δ勢(shì)壘中粒子的物理性質(zhì)

2.1理論模型的建立

考慮由N個(gè)勢(shì)壘并列形成的周期勢(shì)V(x)，則各勢(shì)壘的位置依次在x=0,x=l,x=2l,…，x=(N-1)l處。此處，研究E>0的定態(tài)通過這些勢(shì)壘時(shí)，非束縛態(tài)本征函數(shù)φk(x)的行為如何。文中φk(x)是H的本征值方程的解，式中E和k依舊由式(2)相聯(lián)系：

(15)

(16)

因此，在N個(gè)勢(shì)壘的左側(cè)，即在x<-l/2的區(qū)域中，V(x)為零，其波函數(shù)可以表示為

(17)

如式(3)—(6)所示，在以點(diǎn)x=0為中心的第一勢(shì)壘范圍內(nèi)，可將式(12)的通解寫成

(18a)

(18b)

同樣，在以點(diǎn)x=l為中心的第二個(gè)勢(shì)壘的范圍內(nèi)，可得：

(19a)

(19b)

以此類推，在以點(diǎn)x=(n-1)l為中心的第n個(gè)勢(shì)壘的范圍內(nèi)，有:

(20a)

(20b)

最后，在N個(gè)勢(shì)壘的右側(cè)，即在x≥(N-1)l的區(qū)域中，V(x)仍然等于零，于是有:

(21)

接下來在x=-l/2,l/2,…,(N-1)l+l/2這些點(diǎn)，將φk(x)的這些表達(dá)式銜接起來。

(22a)

(22b)

其中各系數(shù)之間有如下關(guān)系：

(23)

M(k)就是引入的透射矩陣。因此，在第n個(gè)勢(shì)壘的左端，式(20)所確定的函數(shù)φk(x)與平面波的疊加結(jié)果式(22a)具有相同的函數(shù)值和相同的導(dǎo)數(shù)值。同樣，在這個(gè)勢(shì)壘的右端，φk(x)和式(22b)有相同的函數(shù)值及相同的導(dǎo)數(shù)值。利用這些結(jié)果就可以寫出周期勢(shì)場(chǎng)中的銜接條件。

(24)

(25)

同理，在第n個(gè)勢(shì)壘和第(n-1)個(gè)勢(shì)壘的銜接點(diǎn)(即x=nl-l/2處)，將式(22a)中的n換成(n+1)，并令所得結(jié)果的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值分別等于式(22b)的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值，得:

(26)

(27)

2.2周期分布δ勢(shì)壘下波函數(shù)波幅的過渡關(guān)系

為討論周期分布δ勢(shì)壘下的波函數(shù)，先定義矩陣D(k)為

(28)

利用該矩陣可將銜接條件式(26)寫成如下形式：

(29)

考慮到式(23)，可將式(29)改寫成

(30)

迭代這個(gè)關(guān)系式，并利用式(24)，便可得:

(31)

利用式(23)及式(31)，對(duì)銜接條件式(27)作變換可得:

(32)

亦即：

(33)

2.3一維等間距非對(duì)稱分布δ勢(shì)壘中波函數(shù)的物理性質(zhì)

由式(30)和式(31)的迭代關(guān)系特點(diǎn)，可將式(33)進(jìn)行推廣，其中經(jīng)過的N個(gè)勢(shì)壘分別對(duì)應(yīng)于N個(gè)透射矩陣Mn(k)：

(34)

由此對(duì)于非束縛態(tài)能量E>0的粒子在勢(shì)場(chǎng)V(x)(νn>0)中的波函數(shù)(15)，依然可以由式(17)—(21)給出，并且其波函數(shù)波幅的過渡關(guān)系依舊可以通過式(29)—(33)導(dǎo)出，只需要對(duì)通過對(duì)應(yīng)的第n個(gè)勢(shì)壘的透射矩陣加上下標(biāo)n即可，亦即

(35)

(36)

3　結(jié)果與討論

3.1單δ勢(shì)壘情形

先從單個(gè)的電子從左側(cè)入射一個(gè)δ勢(shì)壘的情形來討論。借助Wolfram Mathematica軟件[6-7]，由式(17)—(21)及其銜接條件、邊界條件可得出對(duì)應(yīng)于電子能量為E=10 eV,20 eV,30 eV定態(tài)波函數(shù)實(shí)部圖(見圖1)和電子通過勢(shì)壘的透射系數(shù)S和反射系數(shù)R分別與勢(shì)壘的高度v0和電子的能量E的關(guān)系(圖2和圖3)。

圖1　不同電子能量時(shí)，一個(gè)δ勢(shì)壘兩側(cè)的波函數(shù)(實(shí)部)圖Fig.1　Electronic energy, a wave function(solid)on either side of the barrier

圖2　透射系數(shù)S和反射系數(shù)R與δ勢(shì)壘的高度v0的變化關(guān)系(E=20 eV)Fig.2　The transmission coefficient S and the change of the reflection coefficient R and the height of the barrier v0

圖3　透射系數(shù)S和反射系數(shù)R與電子能量E的變化關(guān)系(V0=20 eV)Fig.3　Barrier height is transmission coefficient S and the change of the reflection coefficient R and the change of the electron energy E

由圖1—圖3可知，電子通過δ勢(shì)壘時(shí)的波函數(shù)實(shí)部以勢(shì)壘所在處為對(duì)稱軸，呈偶函數(shù)對(duì)稱分布；隨著電子能量E的不斷增加，勢(shì)壘高度v0的不斷降低，透射系數(shù)S逐漸增大，相應(yīng)的反射系數(shù)R逐漸減??；換言之，電子的能量與勢(shì)壘的高度相比越大，電子的勢(shì)壘貫穿效應(yīng)就會(huì)越明顯，即越會(huì)毫無障礙的通過勢(shì)壘。

3.22個(gè)δ勢(shì)壘情形

現(xiàn)在討論當(dāng)電子從左側(cè)遇到兩個(gè)δ勢(shì)壘時(shí)的情況，以從左向右的方向?yàn)檎较颉８鶕?jù)式(16)—(20)可得知，與定態(tài)波函數(shù)相聯(lián)系的幾率流密度為

(37)

圖4　總的反射系數(shù)R與電子能量E的變化關(guān)系Fig.4　The total reflection coefficient R and the reflection coefficient S and the change of the electron energy E

圖5　透射系數(shù)S與電子能量E的變化關(guān)系Fig.5　The reflection coefficient S and the change of the electron energy E

圖6　兩勢(shì)壘之間J+/J0與電子能量E的變化關(guān)系Fig.6　The barrier between J+/J0 and the change of the electron energy E

據(jù)圖4，5可以看到明顯的共振透射現(xiàn)象。正方向入射的電子透過勢(shì)壘后，遇到兩側(cè)的勢(shì)壘壁發(fā)生反射與透射。在電子能量E滿足一定條件的情況下，經(jīng)過多次反射而透射出去的波的相位相同，因而彼此相干疊加，使總的雙勢(shì)壘透射波波幅增加，從而出現(xiàn)共振透射。在電子能量E不斷增大之后總的透射系數(shù)趨近于1，意味著反射系數(shù)趨近于0，電子會(huì)更加毫無障礙的透過勢(shì)壘。

根據(jù)圖6，7可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)電子能量E與勢(shì)壘高度v相比較小的時(shí)候，兩個(gè)勢(shì)壘之間的正負(fù)方向的幾率流密度會(huì)在總正向入射幾率流密度的基礎(chǔ)上劇烈擺動(dòng)，甚至是入射幾率流密度的數(shù)十倍以上，可見共振現(xiàn)象的劇烈程度。隨著能量E的不斷增加，勢(shì)壘間正向的幾率流密度會(huì)趨近于入射前的幾率流密度的大小，負(fù)向幾率流密度趨近于0，這也說明了在勢(shì)壘之間，高能量的電子會(huì)更加毫無障礙地通過每一個(gè)勢(shì)壘。

3.33個(gè)δ勢(shì)壘以上情形

仿照兩個(gè)δ勢(shì)壘的假設(shè)和討論方法，針對(duì)3個(gè)δ勢(shì)壘的勢(shì)場(chǎng)情況進(jìn)行數(shù)值模擬，最后總結(jié)出一般的結(jié)論以適用于更多勢(shì)壘的情形。

圖7　J-/J0與電子能量E的變化關(guān)系Fig.7　The J-/J0 and the change of the electron energy E

圖8　總的反射系數(shù)R與電子能量E的變化關(guān)系Fig.8　The total reflection coefficient R and the change of the electron energy E

圖9　透射系數(shù)S與電子能量E的變化關(guān)系Fig.9　The reflection coefficient S and the change of the electron energy E

從圖8—圖11中可以看出，除了出現(xiàn)總透射系數(shù)為1的共振能級(jí)外，還出現(xiàn)了“次共振能級(jí)”?？梢?，在三勢(shì)壘系統(tǒng)中，影響其總透射系數(shù)的是一個(gè)比較復(fù)雜的能級(jí)之間的耦合，或者說是在各勢(shì)壘之間正負(fù)方向上電子波動(dòng)的復(fù)雜疊加。通過數(shù)值分析4個(gè)δ勢(shì)壘中的總透射系數(shù)與電子能量的關(guān)系變化(圖12)，可以發(fā)現(xiàn)該“次共振能級(jí)”仍只形成一組，并且隨著勢(shì)壘個(gè)數(shù)n的增加，該能級(jí)分布變得更加密集；在N個(gè)δ勢(shì)壘中，相鄰兩個(gè)共振能級(jí)之間會(huì)存在N-2個(gè)“次共振能級(jí)”。最后，隨著電子能量E的不斷增加，總透射系數(shù)趨近于1，周期δ勢(shì)壘對(duì)入射電子的阻礙會(huì)越來越小。

圖10　J1+/J0與電子能量E的變化關(guān)系Fig.10　The J1+/J0 and the change of the electron energy E

圖11　J2+/J0與電子能量E的變化關(guān)系Fig.11　The J2+/J0 and the change of the electron energy E

圖12　在4個(gè)δ勢(shì)壘中，總透射系數(shù)S與電子能量E的變化關(guān)系Fig.12　In the four potential barriers, the total reflection coefficient S and the change of the electron energy E

3.4非對(duì)稱等間距分布的δ勢(shì)壘對(duì)透射系數(shù)的影響

接下來，以兩個(gè)δ勢(shì)壘的情形為例，討論δ勢(shì)壘的非對(duì)稱周期分布對(duì)電子總的透射系數(shù)S的影響?？捎赏茝V后的等間距分布δ勢(shì)壘中波函數(shù)的銜接關(guān)系式(33)—(35)，就可以得到電子入射時(shí)總透射系數(shù)S與電子能量E隨著相對(duì)δ勢(shì)壘高度不同情況的變化關(guān)系(圖13)。

圖13　總透射系數(shù)S和電子能量E的變化關(guān)系Fig.13　The total reflection coefficient S and the change of the electron energy E

由圖13可以得出結(jié)論，隨著各等間距δ勢(shì)壘的相對(duì)高度逐漸接近，電子的共振現(xiàn)象就越明顯，在共振能級(jí)處形成了不完全隧穿(透射系數(shù)S≠1)。當(dāng)各勢(shì)壘的高度完全相同時(shí)，電子的共振達(dá)到最大，此時(shí)共振能級(jí)處的透射系數(shù)S皆為1。

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責(zé)任編輯：李翠薇

The Wave Function and Physical Properties of One-dimensionalEquidistant Distribution in δ Potential Barrier

HONG Yun

(College of Computer Science and Information Engineering, Chongqing Technology and Business University, Chongqing 400067,China)

In this paper, by using the transmission matrix method and by solving the Schr?dinger equation, the wave function and its physical properties of one-dimensional equidistant distribution of the delta potential barrier are obtained. With the numerical calculation, several characteristics of the electronic transmission coefficient and the probability current density changed with the series of the delta potential barrier energy are discussed.

tunneling effect, delta potential barrier, transmission matrix, transmission coefficient, probability current density

10.16055/j.issn.1672-058X.2016.0005.007

2016-03-04；

2016-04-20.

洪云(1968-)，女，四川達(dá)州人，高級(jí)實(shí)驗(yàn)師，從事實(shí)驗(yàn)物理研究.

O562

A

1672-058X(2016)05-0029-07