非線性Klein-Gordon方程的最低階混合元超收斂分析新模式

樊明智, 王芬玲

(許昌學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 許昌 461000)

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非線性Klein-Gordon方程的最低階混合元超收斂分析新模式

樊明智, 王芬玲

(許昌學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 許昌 461000)

非線性Klein-Gordon方程; 超逼近性和超收斂結(jié)果; 混合有限元新模式; 半離散和全離散格式

本文考慮如下的非線性Klein-Gordon方程

(1)

其中Ω?R2為有界矩形區(qū)域，?Ω為Ω的邊界，X=(x,y)，f(X,t)∈L2(Ω)，γ是正常數(shù)，u0(X)，u1(X)是已知充分光滑的函數(shù)，假設(shè)a(u)，g(u)滿足如下條件：

(i)a(u)關(guān)于u一致有界，即存在正常數(shù)a0,a1滿足,a0≤a(u)≤a1；

(ii)a(u)和g(u)對變量滿足Lipschitz條件，即存在正常數(shù)L使得

|ξ(u1)-ξ(u2)|≤L|u1-u2|,u1,u2∈R,ξ=a,g.

Klein-Gordon方程具有豐富的實際背景和物理意義，它用于描述相對論量子力學(xué)和量子場論中自旋為零的粒子的最基本方程和Schr?dinger方程的相對論形式，對于它的研究值得物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家的高度關(guān)注.關(guān)于Klein-Gordon方程已有研究, 例如文獻[1]對無界區(qū)域上一維Klein-Gordon方程建立一個顯式差分格式, 并給出該格式的穩(wěn)定性和收斂性結(jié)果；文獻[2]和[3]研究了一維情形下的數(shù)值解；文獻[4]討論了二維Klein-Gordon方程存在唯一的整體解.不難看出,當(dāng)a(u)=1和g(u)=sinu時，問題(1)變成了sine-Gordon方程, 因此sine-Gordon方程是問題(1)的特殊情況, 并得到一些有價值的成果[5～8], 由于Klein-Gordon方程比sine- Gordon方程復(fù)雜, 使問題的處理更為困難. 因此據(jù)我們所知到目前為止尚未見到有關(guān)問題(1)混合元格式的高精度分析.

混合有限元方法與傳統(tǒng)Galerkin有限元方法相比具有對空間的光滑度要求較低、并能同時得到原始變量和流量的誤差估計等突出優(yōu)勢, 已成為一種常用的數(shù)值逼近方法.對于經(jīng)典的混合有限元格式來說,混合元空間要滿足Brezzi-Babu?ka條件[9，10](簡記為B-B條件),給構(gòu)造合適的空間對帶來一定的困難. 最近文獻[11、12]給出了二階橢圓問題新的混合有限元逼近格式, 具有自由度小且當(dāng)逼近空間對滿足包含關(guān)系時, B-B條件成立,同時又能避開散度算子帶來的困擾等特點,文獻[13]將此方法應(yīng)用到線性拋物方程, 給出關(guān)于時間半離散混合格式和全離散化混合有限元格式,但僅僅得到了最優(yōu)誤差估計,文獻[14]及[15]進一步研究了二階橢圓問題和線彈性問題在新格式下的超收斂性,文獻 [16]將其推廣到線性Sobolev方程得到了非協(xié)調(diào)混合元格式半離散格式下的超收斂性和向后歐拉全離散格式下關(guān)于空間步長的超逼近性.

1　混合元的構(gòu)造和性質(zhì)及問題的逼近

定義有限元空間：

其中Qij=span{xrys,0≤r≤i，0≤s≤j}.

Ih|K=IK，Πh|K=ΠK，

引理1[17]若u∈H3(Ω)，則

((u-Ihu),vh)=O(h2)|u|3|vh|1，?vh∈Vh.

(2)

進一步地，若u∈H4(Ω)，則

(3)

(4)

利用文獻[17]中類似的方法可得如下的結(jié)論：

引理2若u∈H3(Ω)則

證明為了得到高精度估計引進誤差函數(shù)[17]：

令u-Ihu=φ，對ω1∈Q01做Taylor展開有

ω1=ω1(x,y)=ω1(xK,yK)+(y-yK)ω1y.

(5)

于是

∫Kφxω1dxdy=∫Kφxω1(xK,yK)dxdy+∫Kφx(y-yK)ω1ydxdy.

(6)

∫Kφxdxdy=∫KF″(y)φxdxdy=(∫l3-∫l1)F′(y)φxdxdy-∫KF′(y)φxydx=

F′(yK+hy,K)(φ(xK+hx,K,yK+hy,K)-φ(xK-hx,K,yK+hy,K))-

F′(yK-hhy,K)(φ(xK+hx,K,yK-hy,K)-φ(xK-hx,K,yK-hy,K))-

(F(yK+hy,K)∫l3φxydx-F(yK-hy,K)∫l1φxydx)+∫KF(y)φxyy=∫KF(y)uxyy,

(7)

(8)

根據(jù)式(6)～(8)和逆不等式可知

(9)

同理可證

(10)

利用式(9)和(10)該引理2得證.

(Rhu,v)=(u,v)，?，

(11)

(12)

接下來，我們給出插值和投影之間的超收斂估計.

證明根據(jù)式(2)和(11)得

從而引理3得證.

(13)

(14)

(15)

2　半離散格式下的超逼近和超收斂

(16)

(17)

證明首先令

(18)

(20)

由Cauchy和Young不等式及式(12)可知

(21)

基于式(11)得

(22)

由假設(shè)(i)和(ii)可知

(23)

(24)

根據(jù)式(21)～(24)將(20)變形為

(25)

對(25)從0到t積分,并注意到ξ(X,0)=ξt(X,0)=0得

(26)

將Gronwall引理應(yīng)用于(26)可知

(27)

借助(27)和引理3有，

從而(16)式得證.

另一方面，利用引理2和引理3得

(((,

(28)

注1若將式(15)和(18)中的Rh換成插值Ih時可得如下結(jié)論：

(1)結(jié)合式(3)可得半離散超逼近結(jié)果

此時，u∈H4(Ω)的要求比本文定理1中的u∈H3(Ω)的光滑度要高.

(Ⅱ)借助于文獻[5～7]中的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移技巧有

顯然與定理1相比對ut的光滑度要求稍高.

注2若僅用投影時雖然可以得到關(guān)于空間步長的超逼近性，但如何構(gòu)造關(guān)于投影的后處理算子仍然是懸而未決的問題.因此，到目前為止無法直接得到關(guān)于投影的超收斂結(jié)果.

圖1　大單元

(29)

(30)

定理2在定理1的條件下，有如下的整體超收斂結(jié)果

(31)

(32)

證明利用定理1和(29)可知，

即式(31)得證.

同理借助定理1和式(30)可證式(32)，定理2證畢.

3　全離散格式及超逼近分析

在本節(jié)中我們將主要討論全離散格式下的誤差估計，僅討論a(u)=a(X)的情形.

為了方便起見，我們引入下面一些記號：

(33)

其中utt(X,0)=-a(X)u1(X)+γΔu0(X)-g(u0(X))+f(X,0).

(34)

(35)

證明為了進行誤差估計，記

un-Un=(un-Rhun)+(Rhun-Un)=ξn+ηn，

(36)

(38)

(39)

不難看出，(39)的右端各項分別變形為

(40)

(41)

(42)

接下來我們給出(39)式右端的估計，注意到

(43)

借助于(43)有

(44)

根據(jù)(11)可知

G2=0.

(45)

利用假設(shè)(i)和插值理論得

(46)

利用假設(shè)(i)和(43)將G4估計為

(47)

借助泰勒展開式直接計算有

(48)

利用式(48)有

(49)

對式(50)關(guān)于j從1到n-1求和得

(51)

由初始條件和泰勒展開式得

因此，再結(jié)合U1的定義可知

(52)

再借助于式(52)并注意到ξ0=0得

(53)

利用式(53)將式(51)變形為

(54)

利用引理3和三角不等式有

即式(34)得證.

定理3得證.

注3若將式(36)中的Rh換成插值Ih時，結(jié)合(3)可得如下結(jié)論：

(55)

(56)

此時式(55)和式(56)中對解的光滑度要求比定理3偏高.

注4本文方法對拋物方程、雙曲方程、拋物積分微分方程、雙曲積分微分方程均使用.

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責(zé)任編輯：周倫

A New Scheme of the Lowest Order Mixed Element Superconvergence Analysis for Nonlinear Klein-Gordon Equations

FAN Ming-zhi, WANG Fen-ling

(SchoolofMathematicsandStatistics,XuchangUniversity,Xuchang461000,China)

With help of the bilinear elementQ11andQ01×Q10element, the lowest order new mixed finite element scheme for nonlinear Klein-Gordon equations is proposed, which can satisfy Brezzi-Babuska condition antomatically on anisotropic meshes. Based on integral indentity result of bilinear element, a superconvergence estimate between the interpolation and Riesz projection, with the high accuracy analysis method ofQ01×Q10element and nterpolation post-processing technique,the superclose properties and superconvergence results of the orginal variable u and flux variable in H1-norm and L2-norm for semi-discrete and fully-discrete schemes can he deduced, which can’t be deduced by the interpolation and Riesz projection alone.

nonlinear Klein-Gordon equations; superclose properties and superconver-gence results; mixed finite element new scheme;semi-discrete and fully-discrete schemes.

2016-04-19

河南省教育廳自然科學(xué)基金項目(14A110009)；河南省高等學(xué)校重點科研項目(16A110022)；許昌市科技發(fā)展計劃項目(1504004)

樊明智(1969—), 男, 河南鄢陵人，教授, 碩士, 研究方向：有限元方法及應(yīng)用.

1671-9824(2016)05-0001-09

O242.21

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