基于珠式模型的繩系衛(wèi)星安全交會過程建模與仿真

馮杰，孫鐵成，王劍，謝明玻

（火箭軍指揮學院，武漢430012）

基于珠式模型的繩系衛(wèi)星安全交會過程建模與仿真

馮杰，孫鐵成，王劍，謝明玻

（火箭軍指揮學院，武漢430012）

安全交會是繩系衛(wèi)星空間應用的一個重要拓展。為滿足安全交會的高精度需求，考慮重力、拉力和阻尼力的作用建立了繩系衛(wèi)星系統(tǒng)三維珠式模型。討論并選擇了一種勻速-勻減速展開策略，推導得到平衡位置零相對速度條件下的安全交會末端約束，在此基礎上基于反饋線性化基本原理設計了一種子星噴氣推力的安全交會控制律。數(shù)值仿真基于低軌道和地球同步軌道條件來進行，4個算例的仿真結果驗證了珠式模型條件下，勻速-勻減速展開策略及反饋線性化交會控制律的理論可行性，且交會控制力需求表現(xiàn)為同步軌道低于低軌。該方法可為繩系衛(wèi)星精確交會技術提供一定參考。

繩系衛(wèi)星，珠式模型，安全交會，反饋線性化

0　引言

最早的關于空間系繩的應用可追溯到1895年俄國科學家Konstantin Tsiolkovsky的文章“Day-dreamsofHeaven and Earth”，文中描繪了一種借助攀登高塔來“逃離”地球的設想［1］。在Tsiolkovsky新奇靈感的引導下，各種關于繩系衛(wèi)星空間應用的奇思妙想紛至沓來，歸納起來主要有空間在軌服務、導電系繩、軌道轉移、微重力、空間運輸、深空探測、交會與捕獲等［2-3］。

利用繩系衛(wèi)星實施空間交會與捕獲具有成本低、能耗少、可重復使用、污染小等諸多優(yōu)點，近年來一直受到國內外相關領域學者的廣泛關注。Williams［4］研究了小傾角條件下的三維繩系系統(tǒng)的空間交會和捕捉問題，假設系繩為剛性直桿，利用給定的交會條件，基于Legendre偽譜算法解得該問題的最優(yōu)控制律。為改善交會窗口，Williams和Blanksby［5］使用系繩上可變位置的調節(jié)質量（Actu-atorMass）來激勵交會過程中系繩末端的動力學響應，從而延長了交會時間。Lorenzini［6］提出了一種新的交會控制方法：將旋轉中的繩系系統(tǒng)位置、速度誤差通過開環(huán)控制反饋到空間負載上的吊鉤處。崔本延［7］介紹了在R-bar和V-bar方向的5種繩系交會對接方案，并對其進行了深入的分析和對比。陳輝［8］采用高斯偽譜算法研究了初始釋放條件固定、未定以及含有參數(shù)反饋時的空間繩系捕捉系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題。

從已公開發(fā)表的文獻來看，以往對繩系衛(wèi)星空間交會應用的研究絕大多數(shù)都未對交會速度作嚴格限定，且在建立動力學模型時往往忽略了系繩彈性、可彎曲性等因素（將系繩視作剛性桿或彈性直桿），難以滿足空間交會的高精度需求。本文重點研究柔性系繩條件下的繩系衛(wèi)星安全交會問題。安全交會一方面可有效減輕空間碎片的威脅；另一方面便于對“部分失效”目標實施在軌服務或回收，修復后再重復利用，從而節(jié)約成本。首先考慮重力、拉力和阻尼力的作用，建立了系繩珠式動力學模型；爾后討論了勻速—勻減速展開策略，分析得到了平衡位置安全交會的末端約束條件，并在此基礎上基于子星噴氣推力設計了一種反饋線性化交會控制律；最后完成了4個算例的數(shù)值仿真。

1　繩系衛(wèi)星動力學建模

1.1系統(tǒng)基本描述

關于繩系衛(wèi)星系統(tǒng)柔性系繩的建模方法主要有兩種，一是考慮系繩位形和分布質量的模型，二是采用質點、彈簧和阻尼單元來模擬系繩的模型。第1種模型得到的是連續(xù)偏微分方程，求解起來非常困難，利用Ritz法求近似解則計算效率無法保證，且誤差難以確定。第2種模型（即珠點模型）建模方便，得到的是一組非線性常微分方程組，當單元取到足夠多能夠較好地逼近系繩的空間運動，但計算效率會隨珠點數(shù)量增加而降低。為保證仿真效率，本文優(yōu)先選擇了第2種建模方法。

為突出對彈性系繩的模擬，建模前假設母、子星均為質點，不考慮這兩個端體的三維天平動和彈性響應的影響，也不考慮系繩的扭轉運動。另外假設母星的質量相比子星要大得多，即系統(tǒng)質心與母星位置重合。在以上假設的前提下，建立如圖1所示的繩系衛(wèi)星系統(tǒng)珠式模型。

為方便描述母、子星之間的相對運動，圖1中采用了自定義的坐標系。地心慣性坐標系OXYZ：原點在地球質心O，OX、OY均位于主星軌道面，OX軸指向設定的主星初始位置，OZ軸指向軌道面的正法向。主星軌道坐標系oxyz：原點在母星質心o（假設系統(tǒng)質心與主星質心重合），oy軸指向主星矢徑方向，oz軸與OZ軸同向，ox軸由右手法則確定。R0為由地心至主星的距離；mi為第i（i=1，…，n）個珠點的質量。

由于珠式模型中系繩是由無質量黏彈性的彈簧連接起來的珠點所組成的，因此，各珠點主要受到彈性力、阻尼力和重力的作用。根據牛頓力學原理，可得主星軌道坐標系內任意珠點mi的動力學方程組：

圖1　繩系衛(wèi)星系統(tǒng)珠式模型示意圖

其中Fig、Fis和Fid分別為珠點mi所受的重力、彈性力及阻尼力。為便于構造控制模型，將重力項Fig線性化展開：

將式（2）代入式（1），可得標量形式的動力學方程：

1.2質量方程

質量方程可寫為其中ρ為系繩線密度；mp為子星質量；Li為第i段系繩標稱長度。

1.3系繩拉力

第i段系繩的應變?yōu)?/p>

其中

根據胡克定律，第i段系繩拉力Ti為

則第i個珠點所受系繩拉力為

結合式（6）、式（7）和式（8），可得標量形式的系繩拉力方程

其中

且有k0=0。

1.4阻尼力

由于系繩材料的內部結構摩擦，應變能將會慢慢耗散，而縱向的伸長也會緩慢地變小。這個現(xiàn)象被稱作滯后阻尼，通常假設其與應變變化率呈比例關系。第i段系繩長度li為

式（11）對時間求導可得

則

又

由

式（13）可寫為

則第i段系繩上的阻尼力為

其中C為阻尼系數(shù)（與系繩材料有關）。第i個珠點所受阻尼力為

將其化為標量形式

其中

且c0=0。

2　面內安全交會過程規(guī)劃

2.1系繩展開策略

系繩完全展開后，可為安全交會控制過程提供初始狀態(tài)基準。對于長距離系繩，精確控制系繩拉力難度很大，因此，本文優(yōu)先選擇了基于展開速率的勻速-勻減速展開策略：初始條件中假設系統(tǒng)已經展開了兩個珠點并繼續(xù)保持勻速展開過程，釋放方向固定為oy軸反向；當?shù)箶?shù)第2個珠點展開完畢時，系統(tǒng)進入勻減速展開過程，保證最后一個珠點釋放結束時為0。這一過程的釋放程序為：

其中C1為展開速度，a為減速展開過程加速度，均為常量；k為已展開的珠點數(shù)；n為預定展開的珠點數(shù)。

另外，借助珠式模型實現(xiàn)系繩的展開，關鍵是如何處理增加珠點的狀態(tài)轉換過程。珠式模型中對于系繩展開過程的處理方式有兩種，第1種方式是保持系繩的珠點數(shù)目不變，但是在展開過程中，隨著釋放出來系繩部分的質量和長度變化，相應地改變模型中系繩中每個珠點的質量和珠點之間每一個繩段的標稱長度；第2種方式是保持珠點的質量和珠點之間繩段的標稱長度不變，但是以改變相鄰母星的珠點與母星之間連接繩段長度的方式來實現(xiàn)模型中系繩的展開，當這個繩段的長度增大到一定程度，就相應地在系繩中增加一個珠點。本文仿真過程中選擇了第2種珠點更新方式。

2.2面內安全交會的末端約束

利用系繩末端對空間目標實施安全交會需要考慮規(guī)避碰撞。碰撞的產生是由于在交會瞬間系繩末端與目標存在速度偏差，此外系繩長度誤差不僅會造成位置偏差，還會引起相對速度的偏差。安全交會的本質則是消除或盡量減小系繩末端與交會目標之間的相對運動趨勢。

設繩系網捕系統(tǒng)、目標載荷分別運行于半徑為Rs、Rp的共面圓軌道，與之相對應的角速度分別為ωs、ωp。建立面內軌道坐標系o-x1y1，如圖2所示。

圖2　面內軌道坐標系

理論上來說，只要系繩長度滿足需求，則可在任意位置對目標載荷實施安全交會。然而從歷次繩系空間實驗來看，系繩在完全展開后由于角速度不為零，會在平衡位置左右擺動多次，爾后逐漸在阻尼作用下停到平衡位置。因此，本文將交會點選為更具一般意義的平衡位置（即θ=0時）。

假設面內安全交會瞬間面內軌道坐標系內子星狀態(tài)為（x1，y1，x.1，y.1），則其必須滿足

2.3反饋線性化控制律

反饋線性化方法的目的是通過對非線性系統(tǒng)進行精確線性化處理后，將原系統(tǒng)變換成線性系統(tǒng)?？紤]借助子星噴氣推力的方式實現(xiàn)子星的安全交會過程，根據反饋線性化控制的基本原理，設線性化后子星的動力學方程為

其中（）1d為安全交會所需的末端狀態(tài)；ki（i=1，…，6）為增益系數(shù)，可根據系統(tǒng)初始、末端條件利用解析法求解。則子星噴氣推力控制律為：

其中Fx、Fy、Fz為子星噴氣推力在主星軌道坐標系內的三軸分量。

3　仿真算例

仿真時假設母星位于700 km、35 786 km（地球同步軌道）高的圓軌道，交會目標軌道高度對應為690 km和35 776 km，且兩者共形同面。地心引力常數(shù)GM取3.986 005×1014m3/s2，子星質量為100 kg。系繩仿真參數(shù)定為：系繩橫截面半徑為2mm；線密度μˉ為2.88 g/m；彈性模量E為30GPa；阻尼率取0.001；勻速展開過程展開速度為2m/s。由于系繩在展開過程中會產生彎曲現(xiàn)象，為避免交會控制時由于狀態(tài)約束過于苛刻所導致的系繩張力過大，仿真時對系繩展開長度未嚴格限定為10 km，而是額外多展開了一個珠點的長度，即系繩珠點數(shù)取101，相鄰珠點間的標稱繩長分別為0.1 km。

下頁圖3、圖4分別為繩系系統(tǒng)在低軌、同步軌道勻速—勻減速展開10.1 km系繩的整個過程。最終系繩均完全展開，且展開過程中系繩拉力始終保持為正，這說明勻速-勻減速展開策略能夠克服系繩松弛現(xiàn)象，從而有效降低系繩纏繞的風險。

安全交會控制的起點為系繩完全展開后進入狀態(tài)保持階段的某點，選擇標準為：面內角約為5°（若不足則取最大值），子星位于母星下后方且向前擺動。取增益系數(shù)，解得低軌、同步軌道交會控制時間分別為213 s和1 495 s。安全交會過程及控制歷程如圖5～圖8。

圖3　低軌道系繩展開過程

圖4　同步地球軌道系繩展開過程

圖5　低軌道安全交會過程

4　結論

圖6　同步地球軌道交會過程

圖7　低軌道安全交會控制歷程

安全交會是繩系衛(wèi)星高精度空間應用的一個重要拓展。為更精確地模擬彈性系繩的基本特性，基于珠式模型討論了系繩面內勻速—勻減速展開策略，對在平衡位置實施安全交會的末端條件進行了分析，并設計了一種反饋線性化交會控制律。4個算例的仿真結果基本驗證了所提方案的理論可行性，且表明對同等長度的系繩，同步軌道的交會控制力需求要低于低軌。在本文的基礎上將交會目標延伸至軌道面外，探索交會窗口的優(yōu)化方法，提高控制效率是下一步值得深入研究的問題。

圖8　同步地球軌道安全交會控制歷程

由以上仿真結果可見，最終子星均達到了式（23）所描述的末端條件。在對子星施加了噴氣推力的作用后，發(fā)現(xiàn)系繩平均應變水平及各珠點的速度大小相比展開過程有所增加。另外，同為10.1 km的繩長，控制力需求表現(xiàn)為同步軌道低于低軌。

通過4個算例的數(shù)值仿真，基本驗證了珠式模型條件下，勻速—勻減速展開策略及反饋線性化交會控制律的理論可行性。由于初始條件并不理想（系繩展開后未實施狀態(tài)穩(wěn)定控制，以削弱面內擺角），所以造成了控制力需求較高，且徑向控制力均大于切向（表現(xiàn)為將系繩拉直）。仿真時對于不同的軌道條件取了相同的珠點數(shù)量，但系繩模擬的平滑程度卻大不相同（同步軌道條件下要明顯優(yōu)于低軌），這說明對于低軌道繩系衛(wèi)星系統(tǒng)，需要更精細的分割系繩單元。

［1］PEARSON J.Konstantin tsiolkovski and the origin of the spaceelevator［C］//IAF，InternationalAstronauticalCongress，48th，Turin，Italy，1997，10.

［2］MANKALA K K.Satellite tether systems：dynamicmodeling and control［D］.Newark：University ofDelaware，2006.

［3］COSMO M L，LORENZINIE C.Tethers in space handbook［EB/OL］.1997［2000］.http：//www.nasa.gov/centers/marshall/pdf/337451main_Tethers_In_Space_Handbook_Section_1_2.pdf.

［4］WILLIAMSP.Spacecraft rendezvous on small relative inclination orbits using tethers［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2005，42（6）：1047-1060.

［5］WILLIAMSP，BLANKSBY C.Prolonged payload rendezvous using a tether actuatormass［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2004，41（5）：889-892.

［6］LORENZINI E C.Error-tolerant technique for catching a spacecraftwith a spinning tether［J］.Journal of Vibration and Control.2004，10：1473-1491.

［7］崔本廷.空間繩系的控制與應用［D］.長沙：國防科學技術大學，2006.

［8］陳輝.用系繩進行空間捕捉的最優(yōu)控制研究［D］.南京：南京航空航天大學，2008.

M odeling and Simulation of SafeRendezvousCourse Using Tethered Subsatellite Based on Bead M odel

FENG Jie，SUN Tie-cheng，WANG Jian，XIEMing-bo
（Rocket Force Command College，Wuhan 430012，China）

Safe rendezvous is an important development of the space application of tethered subsatellite.Considering the factors of gravity，tension and damping force，the three dimensional bead model is built to satisfy the high precision demand.The terminal condition for safe rendezvous in equilibrium is discussed.The deployment strategy of uniform speed-uniform deceleration and a kind of rendezvous law based on feedback linearization are also proposed.The academic feasibility of the deployment strategy and rendezvous law proposed is validated by four cases of numerical simulations in the conditions of LEO and GEO.Furthermore，the numerical results behave as the power requirement at GEO is less than the LEO.Themethod could provide a certain reference for the technology of high precision rendezvous.

tethered subsatellite，beadmodel，safe rendezvous，feedback linearization

V448.2

A

1002-0640（2016）09-0103-05

2015-07-25

2015-08-27

馮杰（1982-），男，湖北宜昌人，博士。研究方向：空間工程理論及其應用。