等離子體可壓縮Euler-Maxwell系統(tǒng)光滑解的適定性

馮躍紅，王 術(shù)，李 新

（北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院，北京 100124）

等離子體可壓縮Euler-Maxwell系統(tǒng)光滑解的適定性

馮躍紅，王 術(shù)，李 新

（北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院，北京 100124）

考慮等離子體物理中的可壓縮Euler-Maxwell系統(tǒng)，借助能量方法和對稱子技巧，研究了三維環(huán)上的周期問題.在初值為一個小攝動的條件下，證明了當(dāng)時間趨于無窮大時，該問題的整體光滑解收斂到一個非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解.

Euler-Maxwell系統(tǒng)；等離子體；整體光滑解；非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解

等離子體Euler-Maxwell系統(tǒng)通常用來描述光滑帶電粒子流在電磁場中的輸運現(xiàn)象［1-2］.它由描述流體運動的可壓縮Euler方程和描述自洽電磁場的Maxwell方程通過洛倫茲力耦合而成，既具有流體力學(xué)方程的難點，也包含電磁場方程產(chǎn)生的困難，研究起來極具挑戰(zhàn)性.目前有許多關(guān)于等離子體物理模型的相關(guān)研究，如小參數(shù)漸近極限問題、數(shù)值計算、解的整體存在性以及漸近性態(tài)等.對于簡化的一維Euler-Maxwell系統(tǒng)，文獻(xiàn)［3］運用補償緊性法證明了熵解的整體存在性.關(guān)于小參數(shù)漸近極限問題的研究，參見文獻(xiàn)［4］及其參考文獻(xiàn).對于光滑解的整體存在性及其漸近性態(tài)問題的研究，參見文獻(xiàn)［5-9］，對于數(shù)值計算方面的研究，參見文獻(xiàn)［10］，然而上述問題都是在Euler-Maxwell系統(tǒng)的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解附近展開研究的，目前僅文獻(xiàn)［11］通過迭代法在時空Sobolev空間中對非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，而在常用Sobolev空間意義下尚無非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解附近的光滑解適定性的相關(guān)研究.本文旨在回答上述問題.

1　模型與定理

本文研究形式如下的等離子體可壓縮Euler-Maxwell系統(tǒng):

式中:（t，x）∈R R+×T T，這里T T=（R R/Z Z）3表示三維空間中的環(huán).未知變量分別為:密度n＞0，速度u= （u1，u2，u3），E為電場強(qiáng)度，B為磁場強(qiáng)度，壓差函數(shù)h（n）滿足h′（n）＞0.光滑周期函數(shù)b=b（x）≥常數(shù)＞0表示靜止的離子密度.

本文研究系統(tǒng)（1）～（4）的周期問題，其初始條件為

滿足相容性條件

為系統(tǒng)（1）～（4）的一個非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解.

眾所周知，當(dāng)n＞0時，方程（1）～（4）為可對稱化的雙曲組.于是借助Kato［12］的結(jié)果可知，只要初值光滑，周期問題（1）～（6）就一定存在局部唯一光滑解.

命題1（光滑解的局部存在唯一性，參見文獻(xiàn)［12-14］） 令式（6）成立，整數(shù)s≥3.對給定常數(shù)κ＞0，初值-nν≥2κ.則如果

那么存在T＞0使得問題（1）～（6）存在局部唯一光滑解，滿足:（t，x）∈［0，T］×T T，及

本文的主要結(jié)果如下.

則周期問題（1）～（5）存在唯一整體光滑解

并且對于任意t＞0，滿足進(jìn)而有

式中:Hs（T T）表示環(huán)T T上s階常用Sobolev空間，其范數(shù)簡記為:‖·‖s.

注:方程組（1）～（4）中速度耗散項-u在證明定理1的過程中起關(guān)鍵作用.

2　準(zhǔn)備工作

對于多重指標(biāo)α=（α1，α2，α3）∈N N3，記

現(xiàn)在設(shè)（n，u，E，B）為周期問題（1）～（6）的唯一光滑解.令

于是系統(tǒng)（1）～（4）可改寫為

其初始條件為

滿足如下相容性條件:

注意到

這里

此處

其中（e1，e2，e3）為R R3的標(biāo)準(zhǔn)正交基，I3為3×3單位矩陣.

由此可得

為一對稱矩陣.從而再由 A0（n）的正定性知，式（16）關(guān)于W是可對稱化的雙曲組.

3　主要結(jié)果的證明

命題2（先驗估計） 令式（15）成立，整數(shù)s≥3，T＞0.設(shè)U為命題1給出，定義在區(qū)間［0，T］上，周期問題（10）～（14）的局部光滑解，則存在δ＞0充分小，使得若

則對于任意t∈［0，T］估計式（7）成立.

3.1命題2的證明

證明基于以下4個引理，記常數(shù)C＞0不依賴任意時間t＞0和T，在不同的地方值可以不同.

引理1 在命題1的條件下，存在δ＞0充分小，若式（17）成立，則對任意t∈［0，T］有

證明:對于α∈N N3，|α|≤s，對式（16）求?α，然后乘以對稱子A0（n），有

其中

由Moser型積分不等式［13-14］可得

令式（19）在空間L2（T T）上與?αW內(nèi)積可得

其中

由式（10）和Moser型積分不等式可得

直接計算可得

對于第4項，由A0和L的定義可得

接下來，對Maxwell方程（12）、（13）做標(biāo)準(zhǔn)的能量估計，可得

最終，聯(lián)合式（21）、（23）～（26），關(guān)于|α|≤s求和，注意到A0的正定性可得式（18）.證畢.

引理2 在命題1的條件下，存在δ＞0充分小，若式（17）成立，則對任意t∈［0，T］有證明:注意到

這里

于是式（10）可以改寫為

對于α∈N N3，|α|≤s-1，對式（28）求?α，然后在空間L2（T T）上與?α內(nèi)積，并關(guān)于|α|≤ s-1求和可得

顯然有

因此

類似可得

故而聯(lián)合式（29）～（33）可得式（27）.證畢.

引理3 在命題1的條件下，存在δ＞0充分小，若式（17）成立，則對任意t∈［0，T］有

證明:對于α∈N N3，|α|≤s-1，對式（28）求?α，然后在空間L2（T T）上與?αF內(nèi)積可得

現(xiàn)在開始估計式（35）的右端各項.首先，由式（10）與下面關(guān)系式

可得

接下來，與引理2證明過程類似，可得

最終，聯(lián)合式（35）～（39），關(guān)于|α|≤s-1求和，可得式（34）.證畢.

引理4 在命題1的條件下，存在δ＞0充分小，若式（17）成立，則對任意t∈［0，T］有

證明:對于α∈N N3，|α|≤s-2，對式（10）求?α，然后在空間L2（T T）上與-?αΔ×G內(nèi)積可得

進(jìn)而關(guān)于|α|≤s-2求和可得式（40）.這里用到了:對任意1≤i≤3，有

事實上，由ΔG=0與?iΔ-1Δ是從Lp到Lp的有界算子［15］，1＜p＜∞，可得上述結(jié)論.證畢.

命題2的證明.首先定義

其中待定系數(shù)0＜ε＜m3＜m2＜m1＜1.注意到，i= 1，2，3，只要0＜mi＜1充分小，就有Es（U（t））≈‖U（t）‖2s.進(jìn)而對式（18）、式（27）×m1、式（34）× m2，以及式（40）×m3可得

此處用到了Cauchy-Schwarz不等式.令0＜ε＜，可知:存在常數(shù)γ，C＞0使得

再由條件（17）可得，存在常數(shù)γ2＞0有

由此可得估計式（7）成立.證畢.

最后給出定理1中解的整體存在性的證明.

3.2定理1的證明

解的整體存在性可由命題1給出的局部存在性、命題2給出的先驗估計式（7）結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)的連續(xù)性討論方法得到，參見文獻(xiàn)［16］.進(jìn)而由式（7）可得

再由系統(tǒng)（10）～（13）可知

故而有

于是可知式（8）成立.證畢.

4　結(jié)論

1）借助能量方法和對稱子技巧，在初值為一個非常數(shù)平衡解的小攝動前提下，建立了周期問題光滑解的一致先驗估計，然后利用對稱雙曲組光滑解的局部解存在性理論，并結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)的連續(xù)性討論方法，證明了該問題存在唯一整體光滑解.

2）運用泛函分析理論，證明了當(dāng)時間趨于無窮大時，該解的各個分量按不同的范數(shù)分別收斂至平衡態(tài).

3）推廣了常數(shù)平衡解的穩(wěn)定性理論，并對等離子體物理的發(fā)展提供必要理論依據(jù).

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（責(zé)任編輯 呂小紅）

Well-posedness of Solutions to the Compressible Euler-Maxwell System Arising From Plasmas

FENG Yuehong，WANG Shu，LI Xin
（College of Applied Sciences，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

This paper is concerned with the compressible Euler-Maxwell equations arising from plasmas. By using the techniques of symmetrizer and energy method，the well-posedness of solutions to periodic problems with prepared initial values was investigated.It shows that the periodic problems have globally smooth solutions near a non-constant steady state with an asymptotic stability property.

Euler-Maxwell system；plasmas；global smooth solution； non-constant stationary solution

O 175.29

A

0254-0037（2016）02-0309-06

10.11936/bjutxb2015040046

2015-04-18

國家自然科學(xué)基金資助項目（11371042）；北京市自然科學(xué)基金資助項目（1132006）

馮躍紅（1980—），男，講師，主要從事應(yīng)用偏微分方程方面的研究，E-mail:fyh@bjut.edu.cn