小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)分類及教學(xué)思考

胡桃根

在教學(xué)過(guò)程中從不同的角度對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分類，有利于加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解，更有針對(duì)性地把握教學(xué)要領(lǐng)。依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》，分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個(gè)領(lǐng)域。可發(fā)現(xiàn)，各領(lǐng)域知識(shí)的總體目標(biāo)是相對(duì)獨(dú)立、明確和集中的，在教學(xué)過(guò)程中要自始至終圍繞這一目標(biāo)、體現(xiàn)這一目標(biāo)、突出這一目標(biāo)。如數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域知識(shí)在教學(xué)時(shí)，多與數(shù)感、計(jì)算能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力等建立聯(lián)系，圖形與幾何領(lǐng)域知識(shí)多與空間觀念、想象、推理等掛鉤，統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域知識(shí)不能偏離統(tǒng)計(jì)觀念、數(shù)據(jù)收集與整理、分析與處理的意識(shí)與能力等。

從知識(shí)系統(tǒng)性的角度分，可以將知識(shí)分為基礎(chǔ)性、承接性和歸納總結(jié)性知識(shí)三大類。關(guān)于知識(shí)系統(tǒng)性的認(rèn)識(shí)，從縱向看，所有低年級(jí)的知識(shí)都是中、高年級(jí)的基礎(chǔ)，中年級(jí)的知識(shí)大多起過(guò)渡作用，而高年級(jí)的知識(shí)大多是對(duì)前面的總結(jié)提升。從橫向發(fā)展的角度看，要體現(xiàn)知識(shí)的聯(lián)系性。如圖形與幾何領(lǐng)域知識(shí)中的有關(guān)形體面積和體積的計(jì)算，都要依賴于計(jì)算能力的發(fā)展。

教學(xué)基礎(chǔ)性知識(shí)時(shí)，要將基礎(chǔ)打得扎實(shí)、牢固，必須對(duì)與此相關(guān)的后續(xù)知識(shí)有深入了解，才能使針對(duì)性更加明確；教學(xué)承接性知識(shí)時(shí)，要對(duì)相應(yīng)的知識(shí)有恰當(dāng)?shù)亩ㄎ?。如教學(xué)“認(rèn)識(shí)10”時(shí)，像9之前各數(shù)的認(rèn)識(shí)一樣僅僅就數(shù)的大小及表示、數(shù)的組成及相應(yīng)的加減法進(jìn)行教學(xué)是不夠的，要認(rèn)識(shí)到10不再是一個(gè)新創(chuàng)立的獨(dú)立符號(hào)，而是將0到9這十個(gè)符號(hào)中的1和0按十進(jìn)制原理進(jìn)行組合的開(kāi)始，10是個(gè)新的計(jì)數(shù)單位，具有非常重要的承接作用。歸納總結(jié)性知識(shí)在教學(xué)時(shí)，要弄清對(duì)哪些知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)，對(duì)必要的要加以提取以解決基礎(chǔ)問(wèn)題，同時(shí)，歸納總結(jié)的深度，條理及過(guò)程、方法等必須統(tǒng)籌兼顧，更重要的是要著力通過(guò)這一過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的內(nèi)化。如“加減法的意義及相互關(guān)系”就是典型的歸納總結(jié)性知識(shí)，之前學(xué)生進(jìn)行了大量的加減法計(jì)算，要通過(guò)對(duì)這些知識(shí)的回顧，通過(guò)相互討論、交流，歸納總結(jié)出其意義及相互關(guān)系，通過(guò)這一過(guò)程，促進(jìn)加減法意義的理解。

從知識(shí)類型看，數(shù)學(xué)知識(shí)可分為：數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)、公式（定理）等屬陳述性知識(shí)及計(jì)算與解決問(wèn)題等程序性知識(shí)。陳述性知識(shí)教學(xué)的總體要求是“講清楚”，首先，是要使學(xué)生理解為什么要學(xué)習(xí)相關(guān)的知識(shí)，也就是必要性合理性的理解。其次，是相關(guān)知識(shí)的要點(diǎn)及意義所在。再次，是相關(guān)知識(shí)的運(yùn)用與范圍等。程序性知識(shí)教學(xué)的總體要求是“快操作”，首先是操作的理論依據(jù)，其次是規(guī)范的操作步驟，再次是如何提高操作速度。

概念教學(xué)

概念教學(xué)時(shí)，一是不能忽視概念引入必要性的教學(xué)?？蓮臄?shù)學(xué)知識(shí)體系內(nèi)部聯(lián)系、數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系、數(shù)學(xué)文化等方面體會(huì)與挖掘必要性；也可從強(qiáng)化目標(biāo)、提升興趣、深化理解、自然順暢、時(shí)機(jī)恰當(dāng)?shù)确矫姘盐崭拍钜氲谋匾越虒W(xué)。二是要準(zhǔn)確把握相關(guān)概念的內(nèi)涵和外延。如教學(xué)“面積”時(shí)（見(jiàn)圖1）。

例1在揭示面積概念時(shí)，只就“物體表面”而沒(méi)涉及“平面圖形”本身不完善，而“物體表面”又只涉及平面就更不完善了。教學(xué)時(shí)，可以通過(guò)兩條途徑把握概念教學(xué)的相關(guān)要領(lǐng)：1.教學(xué)例1時(shí)擴(kuò)展物體表面的外延，舉例一些曲面、球面的例子；教學(xué)例2時(shí)，要完善面積概念，補(bǔ)充平面圖形的相關(guān)知識(shí)，如規(guī)則圖形和不規(guī)則圖形等都有面積；還要把握引入面積單位的必要性。2.整合教材（圖2）。

將“物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”改為“物體表面或平面圖形的大小就是它們的面積”，再來(lái)處理概念教學(xué)過(guò)程中涉及的各個(gè)關(guān)系。面積是個(gè)一級(jí)概念，物體表面和封閉圖形是二級(jí)概念即面積（的外延）指向了兩個(gè)方面；“物體表面”不僅指平面有面積，曲面與球面也都有面積；“平面圖形”無(wú)論是規(guī)則圖形還是不規(guī)則圖形，無(wú)論是叫得出名字還是叫不出名字的都有面積，這樣擴(kuò)充有助于深化對(duì)面積概念的全面、深入理解。三是要“講清楚”。首先要“理清楚”?；谛W(xué)生年齡特點(diǎn)、接受能力的考慮，小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念除已經(jīng)處理的外，還有相當(dāng)一部分沒(méi)有及時(shí)處理，小學(xué)數(shù)學(xué)的概念可分為已處理概念和暫未處理概念。如人教版課標(biāo)教材一年級(jí)上冊(cè)概念分布表。仔細(xì)觀察表格內(nèi)容且反思教學(xué)實(shí)踐，不難理解：（1）暫未處理概念大多數(shù)是要求老師處理的，因而這類概念的教學(xué)就成為教學(xué)難點(diǎn)。（2）暫未處理概念某冊(cè)雖未明確處理，但隨著年級(jí)的升高，有的又進(jìn)行了處理，成為定義性或描述性概念，如加法、減法等。因此，概念教學(xué)具有階段性、發(fā)展性。（3）術(shù)語(yǔ)一般是某些程序性知識(shí)的概括。（4）暫未處理概念中的描述性與概念的描述性有區(qū)別：一個(gè)是指教材對(duì)概念的描述，一個(gè)是指概念對(duì)客觀事物或教學(xué)行為的描述。

計(jì)算教學(xué)

計(jì)算教學(xué)有著明確的改革方向，必須借助計(jì)算教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、估算意識(shí)等，體現(xiàn)算法多樣化，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。

回歸到計(jì)算上，就是怎樣計(jì)算？為什么能這樣計(jì)算？要適時(shí)、恰當(dāng)?shù)貧w納算法、理解算理及多途徑提高計(jì)算速度。在計(jì)算教學(xué)中需要?dú)w納算法，符合程序性知識(shí)對(duì)“程序”的把握，只不過(guò)在什么時(shí)間，理解到何種程度的時(shí)候歸納，需根據(jù)不同的內(nèi)容有機(jī)把握。以“小數(shù)除以整數(shù)”為例（見(jiàn)圖3）。

在解決22.4÷4時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)單位的轉(zhuǎn)化，將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)“整數(shù)除法”求得結(jié)果。這一轉(zhuǎn)化過(guò)程為學(xué)生打開(kāi)了思路，同時(shí)結(jié)果也為學(xué)生提供了參考，在此基礎(chǔ)上尋求通用的、直接的方法——豎式計(jì)算，闡述算理，歸納算法。在歸納算法時(shí)要注意什么問(wèn)題呢？第一，要注意算法與算理的結(jié)合。22個(gè)1除以4可以商5個(gè)1，24個(gè)0.1除以4可以商6個(gè)0.1，為了表示出商中的5是1，6是0.1，在5和6之間點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)正好。第二，要注意歸納時(shí)所依據(jù)的“量”的問(wèn)題?？梢宰寣W(xué)生依據(jù)在例題學(xué)習(xí)時(shí)習(xí)得的方法，嘗試計(jì)算做一做的兩道題，再將例題和學(xué)生嘗試計(jì)算的兩題放在一起比較歸納。第三，要注意歸納的目的及方式和方法。引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較三道題中商的小數(shù)點(diǎn)位置與被除數(shù)小數(shù)點(diǎn)的位置關(guān)系，并在反思計(jì)算過(guò)程及相互討論的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納，習(xí)得了知識(shí)，又提升了能力。第四，要注意歸納的程度。學(xué)生剛接觸此類計(jì)算，只能就涉及的進(jìn)行歸納：按整數(shù)除法除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。其他的要待以后逐步完善。

計(jì)算，必須提出速度要求。要從增強(qiáng)學(xué)生分析數(shù)據(jù)特征、自覺(jué)運(yùn)用運(yùn)算的性質(zhì)定律及進(jìn)行適度量的訓(xùn)練等多途徑提高計(jì)算速度。

解決問(wèn)題教學(xué)

解決問(wèn)題的教學(xué)目標(biāo)是多元的，主要有：培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題等能力，掌握常見(jiàn)問(wèn)題的解題模式，尋求及優(yōu)化解題策略，滲透數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)相關(guān)知識(shí)的內(nèi)化，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)積極的情感等。

人教版教材在編排解決問(wèn)題時(shí)有明顯的特色：

一是以明確、特有的形式編排，揭示了教學(xué)解決問(wèn)題的基本過(guò)程（見(jiàn)下表）；

二是以“數(shù)學(xué)廣角”的形式編排了系列解決問(wèn)題（見(jiàn)圖4），集中介紹解題策略，滲透數(shù)學(xué)思想，學(xué)習(xí)經(jīng)典名題等；

三是解決問(wèn)題的內(nèi)容除涉及典型問(wèn)題、介紹策略及解決實(shí)際問(wèn)題外，還有一些活動(dòng)類題目，目的是通過(guò)這些活動(dòng)的開(kāi)展，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)相關(guān)知識(shí)的內(nèi)化。

回到程序性知識(shí)教學(xué)要領(lǐng)的把握上，解決問(wèn)題的教學(xué)要在分析題意，使學(xué)生理解解題依據(jù)的前提下，適時(shí)進(jìn)行“模式化”以提高解題速度。模式化是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法之一，只不過(guò)要用多種方式，通過(guò)多種途徑，在促進(jìn)學(xué)生理解的前提下自主探究并建立模式，而不是強(qiáng)塞、灌輸并讓學(xué)生死記硬背。

從課程內(nèi)容、知識(shí)系統(tǒng)、知識(shí)類型三個(gè)維度對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分類并思考，希望能給老師們以啟發(fā)。在日常教學(xué)活動(dòng)中，自覺(jué)不自覺(jué)地依據(jù)分類方法對(duì)具體課例進(jìn)行琢磨，能促進(jìn)教師對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解，有利于教師全面熟悉教材并靈活駕馭教材。

（作者單位：江西省南昌市教研室）

責(zé)任編輯 宋顯慶

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