三次Bezier曲線的生成與拼接

李紅林

【摘 要】本文利用VC++編程環(huán)境，生成兩段三次Bezier曲線，并對(duì)曲線進(jìn)行連續(xù)性條件討論，且實(shí)現(xiàn)了曲線拼接。

【關(guān)鍵詞】三次；Bezier；連續(xù)性；曲線拼接

【Abstract】In this paper， the VC++ programming environment is used to generate three Bezier curves， and the continuity conditions are discussed， and the curves are achieved

【Key words】Cubic； Bezier； Continuity； Curve Splicing

Bezier曲線是由法國(guó)人Bezier于20世紀(jì)70年代初為解決汽車外型設(shè)計(jì)而提出的一種新的參數(shù)表示方法[1]。Bezier 方法是曲線、曲面造型中的一個(gè)里程碑，它以逼近原理為基礎(chǔ)，應(yīng)用Bezier方法，可逼近數(shù)學(xué)曲線、曲面或設(shè)計(jì)師勾畫(huà)的草圖，起到輔助設(shè)計(jì)的作用[2-3]。由于實(shí)際應(yīng)用中的線和面形狀復(fù)雜，用單一曲線、曲面無(wú)法表示，所以有必要對(duì)曲線、曲面進(jìn)行拼接。

1 定義

1.1 Bezier曲線的定義

2 三次Bezier曲線的生成

在VC++6.0 環(huán)境下，新建一個(gè)基于MFC的單文檔工程。在工程View.cpp中添加Bezier曲線生成函數(shù)，當(dāng)n=3時(shí)，生成任意兩條三次Bezier曲線，如圖1所示。

3 三次Bezier曲線的拼接及連續(xù)性

樣條曲線是由各個(gè)多項(xiàng)式曲線段連接而成，為了保證各個(gè)曲線段在連接點(diǎn)處是光滑的，需要滿足各種連續(xù)性條件[5]。連續(xù)性有參數(shù)連續(xù)性和幾何連續(xù)性。若兩條相鄰參數(shù)曲線段在連接點(diǎn)處具有n階連續(xù)導(dǎo)矢，即n階連續(xù)可微，則將這類連續(xù)性稱為n階參數(shù)連續(xù)性條件，記為Cn。若只要求兩條相鄰參數(shù)曲線段在連接點(diǎn)處的n階導(dǎo)矢成比例，而不要求必須相等，則將這類連續(xù)性稱為n階幾何連續(xù)性，記為Gn。因參數(shù)連續(xù)性條件比幾何連續(xù)性條件更加苛刻一些。所以，在三次Bezier曲線拼接時(shí)以幾何連續(xù)性為例。

設(shè)兩條三次Bezier 曲線的控制點(diǎn)列分別為Pi（i=0，1，2，3）和Qj（j =0，1，2，3）。若將P（t）段與Q（t）相連，則在連接點(diǎn)處達(dá)到G0、 G1、G2連續(xù)的充要條件是：

（1）G0連續(xù)：P（1）=Q（0）。即P（t）的終點(diǎn)與Q（t）的起點(diǎn)重合，如圖2 所示，曲線在連接點(diǎn)處不能保證是光滑連接。

（2）G1連續(xù)：是兩段相鄰曲線在連接點(diǎn)處不僅達(dá)到G0連續(xù)，同時(shí)一階導(dǎo)數(shù)成比例，即P（1）=αQ（0），其中α是比例系數(shù)。具有G1連續(xù)，在連接點(diǎn)處有公共的切矢方向，即P2，P3（Q0），Q1三點(diǎn)共線，如圖3所示。

（3）G2連續(xù)：指兩段相鄰曲線段的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)在交點(diǎn)處均成比例。P（1）=αQ（0），P（1）=βQ（0）。G2連續(xù)除了滿足G1 條件外，還滿足：副法矢方向相同、曲率相等。

4 結(jié)論

本文首先對(duì)三次Bezier曲線進(jìn)行了簡(jiǎn)單分析與實(shí)現(xiàn)；其次對(duì)曲線的連續(xù)性進(jìn)行分析；最后對(duì)生成的三次Bezier曲線進(jìn)行拼接。該拼接方法可實(shí)現(xiàn)任意次的Bezier曲線的拼接。

【參考文獻(xiàn)】

[1]杜曉增，丁宇辰.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)[M].2版.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2013：103.

[2]嚴(yán)蘭蘭，宋來(lái)忠，李軍成.有理Bezier 曲線的拼接[J].三峽大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，27（5）：469-471.

[3]楊林英.Bezier曲線的拼接及擴(kuò)展[D].蘭州：西北師范大學(xué)，2013.

[4]蘆殿軍.Bezier 曲線的拼接及其連續(xù)性[J].青海大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，22（6）：84-86.

[5]銀紅霞，杜四春，蔡立軍.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)[M].北京：水利水電出版社，2005：133-134.

[責(zé)任編輯：楊玉潔]