α－雙對角占優(yōu)矩陣的討論及其應(yīng)用

韓貴春， 高會(huì)雙

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼 028000）

α－雙對角占優(yōu)矩陣的討論及其應(yīng)用

韓貴春， 高會(huì)雙

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼 028000）

根據(jù)矩陣對角占優(yōu)理論，給出了嚴(yán)格α2－雙對角占優(yōu)矩陣的充要條件，作為應(yīng)用得到H－矩陣的判定條件，從而拓展了H－矩陣的判定準(zhǔn)則，同時(shí)給出了判定H－矩陣的算法和程序.并用數(shù)值例子說明結(jié)論的有效性和優(yōu)越性.

α－雙對角占優(yōu)矩陣；M－矩陣；H－矩陣

引 言

H－矩陣是矩陣?yán)碚撝惺种匾木仃囶?，它在?jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理、動(dòng)力系統(tǒng)、電力系統(tǒng)理論以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中都有著廣泛的應(yīng)用.主要原因是由于H－矩陣在穩(wěn)定性研究以及求解大型線性方程組的迭代解法中的重要作用.但是在實(shí)際應(yīng)用中，判定一個(gè)矩陣是否為H－矩陣是非常困難的事情.因此，研究H－矩陣的性質(zhì)以及簡捷實(shí)用的數(shù)值判定方法，具有十分重要的理論價(jià)值和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.國內(nèi)外學(xué)者在研究H－矩陣判定條件方面做了大量的工作，并且已經(jīng)獲得了一些十分有意義的成果（文［1－6，8－10］）.本文根據(jù)矩陣對角占優(yōu)理論，給出了嚴(yán)格α2－雙對角占優(yōu)矩陣的充要條件，作為應(yīng)用得到H－矩陣的一些判定條件，同時(shí)給出了判定H－矩陣的算法和程序.另外，用數(shù)值例子說明結(jié)論的有效性和優(yōu)越性.

1　定義與引理

顯然有M＝M1∪M2∪M3∪M4∪M5∪M0.

若對任意i∈N都有｜aii｜≥（＞）Ri，則稱A為（嚴(yán)格）對角占優(yōu)矩陣，記為A∈D0（A∈D）；若對任意（i，j）∈M都有｜aiiajj｜≥（＞）RiRj，則稱A為（嚴(yán)格）雙對角占優(yōu)矩陣，記為A∈DD0（A∈DD）；若存在正對角陣X使得AX∈D，則稱A為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，記為A∈D＊.

設(shè)A＝［aij］n×n∈Cn，n，若對任意（i，j）∈M有aij≤0，則稱A為Z型矩陣；若A為Z型矩陣且A－1≥0，則稱A為M－矩陣.A的比較矩陣定義為μ（A）＝（珘aij）∈Rn×n，其中

由于H－矩陣主對角元素aii≠0（i∈N），所以本文總假定所涉及矩陣主對角元素aii≠0（i∈N），并且設(shè)A＝［aij］n×n∈Cn，n為n階復(fù)方陣，記N｛1，2，…，n｝，M｛（i，j）｜i≠j；i，j∈N｝；RiRi（A）：

若μ（A）為非奇異M－矩陣，則稱A為非奇異H－矩陣（簡稱為H－矩陣）（文［1］），其等價(jià)條件為A為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣（文［2，3］）.

由于α－雙對角占優(yōu)矩陣是H－矩陣中的非常重要的矩陣類，所以我們首先給出α－雙對角占優(yōu)矩陣的定義.

定義1.1［4］設(shè)A＝［aij］n×n∈Cn，n，若存在α∈［0，1］，使

則稱A為（嚴(yán)格）α1－雙對角占優(yōu)矩陣，記為A∈DD1（α0）（A∈DD1（α））.

定義1.2［5］設(shè)A＝［aij］n×n∈Cn，n，若存在α∈［0，1］，使

則稱A為（嚴(yán)格）α1－雙對角占優(yōu)矩陣，記為A∈DD2（α0）（A∈DD2（α））.

引理1.1［4］設(shè)A＝［aij］n×n∈Cn，n，且A∈DD1（α），則A為H－矩陣.

引理1.2［4］設(shè)A＝［aij］n×n∈Cn，n，且A∈DD1（α0），若對于每一滿足｜aiiajj｜＝（RiRj）α（CiCj）1－α的（i，j）∈M都有A的一個(gè)非零元素鏈ai0i1，ai1i2，…，airj0或aj0j1，aj1j2，…，ajtj0，使得i0＝i或i0＝j(luò)，j0∈J（A），其中

則A為H－矩陣.

設(shè)A＝［aij］n×n∈Cn，n的有向圖為Γ（A），它的頂點(diǎn)序列i1，i2，…，ip，i1（P≥2）組成一個(gè)回路γ，C（A）表示Γ（A）的全體回路的集合，E（A）表示Γ（A）的邊集，i∈γ∈C（A）表示i為回路γ上的頂點(diǎn).

引理1.3［6］設(shè)A＝［aij］n×n∈Cn，n為不可約矩陣，且A∈DD1（α0）.若有ei＊j＊∈E（A）（（i＊，j＊）∈M），使得｜ai＊i＊aj＊j＊｜＞（Ri＊Rj＊）α（Ci＊Cj＊）1－α成立，則A為H－矩陣.

引理1.4［7］設(shè)σ，τ是任意兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，α∈［0，1］，則有ατ＋（1－α）σ≥τασ1－α，且等號(hào)成立的充要條件是τ＝σ，或α＝0，或α＝1.

2　主要結(jié)論

引理2.1 設(shè)A＝［aij］n×n∈Cn，n，則A∈DD2（α）的充分必要條件是M0＝?，且對任意的（s，t）∈M1，（i，j）∈M2，有

證明 必要性 假設(shè)A∈DD2（α），則顯然有M0＝?.對任意的（s，t）∈M1，有｜assatt｜＞αRsRt＋（1

對任意的（i，j）∈M2，有｜aiiajj｜＞αRiRj＋（1－α）CiCj，即α＜，得1－α＞

綜上，對任意的（s，t）∈M1，（i，j）∈M2，有＜1，所以（1）式成立.

充分性 由指標(biāo)集M1的定義可知，對任意的（s，t）∈M1，有0＜1，即0＜1－

由指標(biāo)集M2的定義可知，對任意的（i，j）∈M2，有

又由（1）式知存在α∈（0，1），使得

另外，對任意的（k，l）∈M3∪M4∪M5以及任意的α∈（0，1），顯然有

綜上所述，由條件M0＝?知，對任意（i，j）∈M＝M1∪M2∪M3∪M4∪M5存在α∈［0，1］，使得｜aiiajj｜＞αRiRj＋（1－α）CiCj，即A∈DD2（α）.

定理2.1 設(shè)A＝［aij］n×n∈Cn，n，若A滿足下列條件之一，則A為H－矩陣.

1）M0∪M1＝?；2）M0∪M2＝?.

證明：1）設(shè)M0∪M1＝?，則對任意的（i，j）∈M2，由0＜＜1知，存在α∈（0，1）使得－α，同時(shí)由引理1.4得

另外，對任意的（k，l）∈M3∪M4∪M5以及任意的α∈（0，1），根據(jù)引理1.4顯然有

綜上，A∈DD1（α），再根據(jù)引理1.1知A為H－矩陣.

2）設(shè)M0∪M2＝?，則對任意的（s，t）∈M1，由0＜1知，存在α∈（0，1）使得同時(shí)由引理1.4得

接下來，類似于1）中的證明過程可得，A為H－矩陣.

所以，在下面的討論中我們總是假設(shè)M1≠?且M2≠?.

定理2.2 設(shè)A＝［aij］n×n∈Cn，n，M0＝?，若對任意的（s，t）∈M1，（i，j）∈M2，A滿足不等式

則A為H－矩陣.

證明 我們分兩種情形分別討論.

情形1 如果對任意的（s，t）∈M1，（i，j）∈M2，有＜1，則由引理2.

1以及引理1.4知，對任意的（i，j）∈M＝M1∪M2∪M3∪M4∪M5存在α∈（0，1），使得

根據(jù)引理1.1知，A為H－矩陣.

且對于任意（p，q）∈M0≠?，有｜appaqq｜＝RpRq＝CpCq.如果存在非零元素鏈ai0i1，ai1i2，…，airj0或aj0j1，aj1j2，…，ajti0，使得i0＝p或i0＝q，j0∈G（A），其中

對任意的（s，t）∈M1＼（s0，t0），（i，j）∈M2＼（i0，j0）應(yīng)用情形1，得

對任意的（k，l）∈M3∪M4∪M5以及任意的α∈（0，1），根據(jù)引理1.4顯然有

綜上所述，令α＝α0∈（0，1），則對任意的（i，j）∈M＝M1∪M2∪M3∪M4∪M5，有｜aiiajj｜＞（RiRj）α（CiCj）1－α，即A∈DD1（α），根據(jù)引理1.1知A為H－矩陣.

定理2.3 設(shè)A＝［aij］n×n∈Cn，n，若對任意的（s，t）∈M1，（i，j）∈M2，A滿足不等式

由（3）式，顯然有

則A為H－矩陣.

證明 類似于定理2.2的證明過程知，對任意的（i，j）∈M1∪M2∪M3∪M4∪M5存在α∈（0，1）使得

另一方面，由條件知，對于任意的（p，q）∈M0有｜appaqq｜＝（RpRq）α（CpCq）1－α且存在非零元素鏈ai0i1，ai1i2，…，airj0或aj0j1，aj1j2，…，ajti0，使得i0＝p或i0＝q，j0∈J（A）.

綜上，根據(jù)引理1.2知A為H－矩陣.

定理2.4 設(shè)A＝［aij］n×n∈Cn，n為不可約矩陣，若對任意的（s，t）∈M1，（i，j）∈M2，A滿足不等式且對于任意（p，q）∈M0≠?，有｜appaqq｜＝RpRq＝CpCq.如果存在邊ei＊j＊∈E（A）（（i＊，j＊）∈M2），使得

成立，則A為H－矩陣.

證明 同定理2.3的證明過程，知對任意的（i，j）∈M1∪M2∪M3∪M4∪M5存在α∈（0，1）使得，｜aiiajj｜＞（RiRj）α（CiCj）1－α.

對于任意（p，q）∈M0≠?，有｜appaqq｜＝（RpRq）α（CpCq）1－α，即對任意的（i，j）∈M＝M1∪M2∪M3∪M4∪M5∪M0有

接下來，由（4）式知，對ei＊j＊∈E（A）（（i＊，j＊）∈M2），存在α∈（0，1），使得

根據(jù)引理1.3知A為H－矩陣.

3　算法和程序

下面給出定理2.2的算法和程序.

1）輸入矩陣A；

2）計(jì)算Ri，Ci（i∈N）（文中的記號(hào)）；

3）確定指標(biāo)集M1，M2，以及M0；

4）如果M0≠?，則判定方法失效；

5）若果M0＝?，則計(jì)算和

6）計(jì)算并驗(yàn)證定理2.2的條件，如果滿足條件則輸出結(jié)果“A為H－矩陣”.

上述算法利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB編制程序，所有結(jié)果應(yīng)用MATLAB 6.5實(shí)現(xiàn).程序如下：

4　數(shù)值例子

例

根據(jù)H－矩陣的定義：它的比較矩陣μ（A）為M矩陣，可驗(yàn)證A為H－矩陣.根據(jù)本文記號(hào)有

對于α∈［0，1］，由αx＋（1－α）y的凸性可知，不存在α∈［0，1］，使得a22＝2.0＞αR2＋（1－α）C2，此時(shí)用文［9］中的引理2是無法判斷的，若取對角陣X＝diag（1，0.9，0.8），則可使得AX滿足文［10］中的定理4.1的條件，即A為廣義嚴(yán)格α對角占優(yōu)矩陣，但對角矩陣X的找取較為麻煩.

根據(jù)本文定理2.2進(jìn)而計(jì)算得到

即滿足定理2.2的條件，所以矩陣A為H－矩陣.顯然本文定理2.2的判定方法較文［10］中的方法簡便.

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Discussion forα－Double Diagonally Dominant Matrices and Its Application

HAN Gui－chun， GAO Hui－shuang
（School of Mathematics，Inner Mongolia University for the Nationalities，Tongliao 028000，China）

Based on the theory of diagonally dominant matrices，a sufficient and necessary condition forα2－double diagonally dominant matrices is given.As its application，some new sufficient conditions for nonsingular H－matrices are obtained.So the criteria for nonsingular H－matrices are expanded.Meanwhile，the corresponding algorithm and program are given.In addition，the efficiency and advantage of the proposed criteria are shown by a numerical example.

α－double strictly diagonally dominant matrices；M－matrices；H－matrices

O151.21

A

1001－2443（2016）03－0220－06

10.14182／J.cnki.1001－2443.2016.03.003

2013－09－24

內(nèi)蒙古民族大學(xué)科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目（NMD1303）.

韓貴春（1978－），山東陽谷縣人，講師，碩士，主要研究領(lǐng)域：數(shù)值代數(shù).

引用格式：韓貴春，高會(huì)雙.α－雙對角占優(yōu)矩陣的討論及其應(yīng)用［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2016，39（3）：220－225.