多控制點(diǎn)水平井靶體邊界計(jì)算和繪圖

尹玲

（遼河油田分公司鉆采工藝研究院 遼寧 盤錦 124010）

多控制點(diǎn)水平井靶體邊界計(jì)算和繪圖

尹玲

（遼河油田分公司鉆采工藝研究院 遼寧 盤錦 124010）

為了在鉆井設(shè)計(jì)軟件中精確地繪制出多控制點(diǎn)水平井靶體，建立了靶體外邊界曲線的計(jì)算公式和繪圖。

鉆井設(shè)計(jì)；水平井；井眼軌道；控制點(diǎn)；曲邊長方體靶

1.長方體靶

約定：除非特別指明，具有長度量綱的參數(shù)其物理單位為m，角度的物理單位為弧度(rad)，井眼曲率以及角度變化率的物理單位為m-1。使用最多的水平井靶由兩個(gè)控制點(diǎn)A和B所確定(見圖1)，A點(diǎn)處靶窗矩形寬為、高為，其中和分別為A點(diǎn)的橫向和縱向允許設(shè)計(jì)偏差。B點(diǎn)處靶窗矩形寬為、高為，其中和分別為B點(diǎn)的橫向和縱向允許設(shè)計(jì)偏差。線段AB為設(shè)計(jì)井眼軌跡的一部分，稱為靶體軸線。通常情況下，B點(diǎn)處的允許設(shè)計(jì)偏差要大于A點(diǎn)處的允許設(shè)計(jì)偏差，這時(shí)，靶體不再是長方體，而是截頭方錐體。

圖1 水平井靶示意圖

2.曲邊長方體靶

為了具有幾何直觀性和計(jì)算公式簡潔明了，本文采用矢量數(shù)學(xué)符號來進(jìn)行相關(guān)計(jì)算公式的推導(dǎo)。

2.1 井眼軌跡模型

假設(shè)相鄰兩個(gè)控制點(diǎn)A和B之間的設(shè)計(jì)軌跡為一條三維空間曲線，井眼軌跡上任一點(diǎn)P的矢徑可根據(jù)井深來計(jì)算：

本文使用“列矢量”來表示矢量；上標(biāo)“T”表示矩陣和矢量的轉(zhuǎn)置運(yùn)算，上撇符號“'”表示對井深的一階導(dǎo)數(shù)，“"”表示對井深的二階導(dǎo)數(shù)，表示矢量求模函數(shù)。

井眼方向矢量定義為井眼軌跡切線方向上的單位長度矢量：

2.2 井眼軌跡的法平面

可以證明[6]：

可以證明[6]：、、是兩兩相互垂直的單位長度矢量，可以作為一個(gè)成右手系的空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸上的單位長度矢量，這個(gè)坐標(biāo)系稱為P點(diǎn)的局部坐標(biāo)系。假設(shè)Q點(diǎn)在局部坐標(biāo)系中的位矢為，則：

2.3 靶體軸線的伴隨曲邊長方體

對于靶體軸線(井眼設(shè)計(jì)軌跡從第一個(gè)控制點(diǎn)到最后一個(gè)控制點(diǎn)的那部分)上任意點(diǎn)P點(diǎn)，按照式(1)～(2)定義該點(diǎn)的橫向允許偏差w和縱向允許偏差h。在局部坐標(biāo)系中，矩形的中心為P點(diǎn)，寬和高分別為和。記矩形頂點(diǎn)的局部坐標(biāo)矢徑依順時(shí)針順序?yàn)?，，則有、、、。

2.4 曲邊長方體靶

當(dāng)水平井靶由多個(gè)控制點(diǎn)所確定時(shí)，相鄰兩個(gè)控制點(diǎn)之間的靶體為截頭方錐體(當(dāng)兩點(diǎn)之間設(shè)計(jì)井段為線段時(shí))，或者為曲邊長方體(當(dāng)兩點(diǎn)之間設(shè)計(jì)井段為曲線時(shí))，將這些截頭方錐體和/或曲邊長方體按照控制點(diǎn)的順序依次拼接，所形成的空間圖形即為多控制點(diǎn)水平井段的設(shè)計(jì)靶體，稱為曲邊長方體靶。

如果相鄰兩個(gè)控制點(diǎn)之間由多個(gè)設(shè)計(jì)井段組成，可以將上段曲邊長方體靶定義中的“控制點(diǎn)”改為“設(shè)計(jì)節(jié)點(diǎn)”，所形成的靶體仍為曲邊長方體靶。

當(dāng)靶體軸線的井眼曲率較小或者允許偏差較小時(shí)，曲邊長方體靶是截頭方錐體靶的合理推廣。但是當(dāng)井眼曲率大于允許偏差時(shí)，曲邊長方體靶的“內(nèi)側(cè)”曲邊會(huì)出現(xiàn)“折疊”現(xiàn)象。

2.5 井眼軌跡模型

前面給出了曲邊長方體靶的定義及有關(guān)計(jì)算公式。仔細(xì)分析上述定義可以發(fā)現(xiàn)，與特定井眼軌跡模型有關(guān)的參數(shù)只是矢徑、井眼方向矢量、曲線主法線矢量。所以，對于一般的靶體軸線曲線模型，只要能給出位矢、井斜角和方位角及其變化率的計(jì)算公式，就可以計(jì)算曲邊長方體靶。

根據(jù)微分幾何的知識[6]，可推導(dǎo)出下式：

這是劉修善公式[2]的矢量化形式。另外，下式恒成立[2]：

2.5.1 空間圓弧模型 假設(shè)已知空間圓弧AB的端點(diǎn)A和B的參數(shù)，則圓弧上任一點(diǎn)P的參數(shù)按下述公式計(jì)算[6]：

2.5.2 圓柱螺線模型

有以下公式：

3.繪圖算法

首先，依據(jù)設(shè)計(jì)井深增加的方向，根據(jù)式（19)等求出4條曲邊上足夠多的離散點(diǎn)，使得相鄰兩個(gè)離散點(diǎn)之間的直線距離足夠小，當(dāng)投影到計(jì)算機(jī)屏幕上時(shí)，這兩點(diǎn)之間橫/縱向不超過2個(gè)像素點(diǎn)。

如果是繪制三維圖形，只需要分別將這些離散點(diǎn)用線段連接即可(當(dāng)然還需要繪出第一個(gè)和最后一個(gè)控制點(diǎn)處的靶窗矩形)。

如果是繪制水平投影圖，則離散點(diǎn)的Z坐標(biāo)均相等，只需要繪制離散點(diǎn)即可。

4.結(jié)論

（1）利用法面坐標(biāo)給出了多控制點(diǎn)水平井靶的外邊界曲線的數(shù)學(xué)定義，推導(dǎo)出了設(shè)計(jì)軸線彎曲井段為空間圓弧曲線、圓柱螺線曲線、自然參數(shù)曲線時(shí)的外邊界曲線的具體計(jì)算公式，為鉆井軟件開發(fā)中的圖形繪制提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

（2）軟件開發(fā)實(shí)踐表明，在水平投影圖、垂直投影圖、剖面展開圖、三維圖形中，使用外邊界曲線公式可以繪制出多控制點(diǎn)水平井靶的精確圖形。

TP27

A

1009-5624（2016）05-0084-03最簡單形狀的水平井靶是一個(gè)長方體。當(dāng)水平井需要通過多個(gè)目標(biāo)點(diǎn)時(shí)，由于相鄰兩個(gè)目標(biāo)點(diǎn)之間的設(shè)計(jì)軌跡可能是彎曲井段，水平井靶外邊界線在水平投影圖上的投影不再是簡單的直線段，而是復(fù)雜的三維連續(xù)曲線。

尹玲，女，1968年6月生，2007年畢業(yè)于中國石油大學(xué)(華東)石油工程專業(yè)，現(xiàn)工作于遼河油田鉆采工藝研究院，助理工程師，主要從事鉆井監(jiān)督信息管理等技術(shù)工作