唯一分解整環(huán)R上的多項式環(huán)R[x]

盧夢霞，凡美金，趙廷芳

(周口師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 周口 466001)

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唯一分解整環(huán)R上的多項式環(huán)R[x]

盧夢霞，凡美金，趙廷芳

(周口師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 周口 466001)

主要從三個方面來討論唯一分解整環(huán)R上的多項式環(huán)R[x].首先，討論了唯一分解整環(huán)R和R[x]的內(nèi)在聯(lián)系；其次，討論了Q[x]中的元素f(x)的可約性；最后，討論了R[x]中的元素f(x)的根和f(x)表達式中系數(shù)的關(guān)系.

唯一分解整環(huán)；商域；本原多項式；單位

1　預(yù)備知識

設(shè)R是唯一分解整環(huán)，R[x]是R上的一個多項式環(huán).

定義1[1]R[x]中的元素f(x)是一個本原多項式.假如f(x)的系數(shù)的最大公因式是單位.

引理1[1]如果R[x]的一個非零多項式f(x)在Q[x]里能分解成兩個次數(shù)較低的多項式的乘積，則f(x)一定能在R[x]里分解成兩個次數(shù)較低的多項式的乘積.

引理2[2]一個整環(huán)是唯一分解整環(huán)的充分必要條件是：

(1)R中任意序列a1,a2,…,an,…,

其中每一個ai+1都是ai的真因子(i=1,2,…)只能含有限項.

(2)R中每一個可約元都是素元.

2　主要結(jié)論

定理1[3]環(huán)R是唯一分解整環(huán)，當且僅當R[x]也是唯一分解整環(huán).

證 必要性:見參考文獻[4].

充分性:設(shè)f1(x),f2(x),…,fn(x),…,是一個真因子序列，如果元素個數(shù)是無限的話.

令gn(x)是fn(x)的一個本原多項式因子，于是存在dn∈R，使得

fn(x)=dngn(x)n=1,2,…

fn(x)=dngn(x)=qn+1(x)fn+1(x)=

由此可得

因R是唯一分解整環(huán)，可知存在正整數(shù)k，使得dn～dn+1.當n≥k時，于是由

?(gk(x))>?(gk+1(x))>…

此為不可能，故因子的序列只能是有限的.

設(shè)p(x)是可約多項式.

d(x)=q1(x)p(x)+

若d1(x)是R[x]的一個單位，則d1(x)是零次多項式d(x)∈R，進而知d(x)g(x)=q1(x)p(x)g(x)+q2(x)f(x)g(x)

定理2 設(shè)R是唯一分解整環(huán)，R[x]是環(huán)R上關(guān)于未定元x的多項式環(huán),設(shè)f(x)∈R[x]，令f(x)=a2n+1x2n+1+…+a0，若有一個素數(shù)p使得

p3?a0,p?a2n+1

則f(x)在Q[x]里是不可約的，其中Q是R的一個商域.

證 若f(x)在Q[x]里可約，則f(x)可以分解成R[x]的兩個次數(shù)較低的多項式的乘積，令

f(x)=(btxt+…+b0)(cmxm+…+c0)

(t,m<2n+1,t+m=2n+1).

總之，f(x)都不能有形如f(x)=(blxl+…+b0)(cmxm+…+c0)的分解式，即f(x)在Q上不可約.

[1]王高峽．唯一分解整環(huán)上的一元多項式環(huán)的因子分解[J]．湖北三峽學院學報，1999,21(5)：12-14．

[2]楊傳箴，徐先珍，許心正．唯一分解整環(huán)上的多項式環(huán)[J]．黑龍江大學自然科學學報，1989(1)：10-12．

[3]盧夢霞，凡美金，趙廷芳．幾種整環(huán)之間的探討[J]．周口師范學院學報，2015,32(5):34-35．

[4]郭世樂．整環(huán)上的一元多項式環(huán)[J]．福建師范大學福清分校學報，2004(2)：3-4．

Polynomial ring R[x] of unique factorization domain R

LU Mengxia,FAN Meijin, ZHAO tingfang

(School of Mathematics and Statistics, Zhoukou Normal University, Zhoukou 466001,China )

The properties of the polynomial ring R[x] of the ring R have been described in detail in many textbooks and papers. This paper mainly discusses the polynomial ring R[x] of the unique factorization domain Rfrom three aspects. First, the paper discusses the inner link between unique factorization domain R and R[x].Secondly, the paper discusses the reducibility of element f(x) in Q[x].Finally, the paper discusses the relationship between the roots of element f(x)in Q[x] and the coefficients of f(x) expression.

unique factorization domain; quotient domain; primitive polynomial; unit

2016-04-04;

2016-05-01

周口師范學院教學改革項目(No.J201215)

盧夢霞(1975- )，女，河南太康人，副教授，碩士，主要從事概率及代數(shù)學的教學與研究.

O153.3

A

1671-9476(2016)05-055-02

10.13450/j.cnki.jzknu.2016.05.014